高中数学常考中档题

.③3.[2015高考XX,理10]已知函数,则,的最小值是．[答案],.[解析],当时,,当且仅当时,等号成立,当时,,当且仅当时,等号成立,故最小值为.[考点定位]分段函数4.[2015高考XX,理14]若函数〔且的值域是,则实数的取值范围是．[答案][解析]当,故,要使得函数的值域为,只需〔的值域包含于,故,所以,所以,解得,所以实数的取值范围是．5.,则的最大值是分析：,可求得答案为76.函数的值域不可能是〔A．B．C．D．[答案]A[解析]试题分析：设,则函数为开口向上的抛物线,若判别式,此时函数的值域为,若判别式,则函数恒成立,此时函数有最小值,当时,的值域为；当时,的值域为,故不可能为A.故选7.设函数的最大值为,最小值为,则[答案]2[解析]试题分析：,所以为奇函数,其取值范围为,因此8.能判断出函数在上为增函数的是〔BA．若,且,则B．若,且,则C．若,且,则D．若,且,则9.对于函数,若对于任意的,为某一三角形的三边长,则称为"可构成三角形的函数"．已知函数是"可构成三角形的函数",则实数的取值范围是〔A〔A〔B〔C〔D10.定义在上的函数对任意两个不等的实数都,则称函数为"函数",以下函数中为"函数"的序号为.[答案]〔2〔4考点：函数的单调性．11.[2015高考XX,理10]设函数QUOTE则满足的取值范围是〔〔A〔B〔C〔D[答案]C[解析]当时,,所以,,即符合题意.当时,,若,则,即：,所以适合题意综上,的取值范围是,故选C.12.已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是___▲____.分析：因为是增函数,等价于,可得．13.已知函数,则关于的不等式的解集为〔A．B．C．D．[答案]A[解析]试题分析：,设,,所以为奇函数,图像关于原点对称,要,只需.14.已知函数满足,且当时,,则__________．[答案]15.已知是定义在上的奇函数,当时,,函数.如果对于,,使得,则实数的取值范围是.[答案][解析]试题分析：由题意得函数在上的值域A为函数在上的值域B的子集,又当时,,所以当时,,而因此由一元二次函数性质知从而16.函数,,若对,,,则实数的最小值是．[答案][解析]试题分析：,对称轴,在区间递减,∴,,是增函数,∴,,∴只需即可,解得：,故答案为：17.定义区间的长度为,函数的定义域与值域都是,则区间取最大长度时实数的值为〔A．B．-3C．1D．3[答案]D18.函数的部分图像可能是〔ABCD[答案]B．[解析]试题分析：显然为奇函数,其函数图象关于原点对称,故排除A,C,又∵存在,使得,排除D,故选B．考点：函数图象判断．六、函数与方程﹑函数模型及其应用函数零点概念方程的实数根。方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．存在定理图象在上连续不断,若,则在内存在零点。函数建模概念把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。解题步骤阅读审题分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题。数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式。解答模型利用数学方法得出函数模型的数学结果。解释模型将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。1.方程的根所在区间为〔A．B.C.D.[答案]C2.已知,为方程的两根,且,当时,给出下列不等式,成立的是〔A．B．C．D．[答案]A3.已知函数,函数恰有三个不同的零点,则的取值范围是〔A．B．C．D．[答案]D考点：函数的零点．4.已知函数,若方程有5个不同的实数根,则实数的取值范围为.分析：画出f<x>的图象,如图：由方程得易得5.设是定义在上的偶函数,任意实数都有,且当时,,若函数,在区间内恰有三个不同零点,则的取值范围是〔A．B．C．D．[答案]C②若,要使与的图象,恰有个交点,则,即,解得,综上的取值范围是,故选：C．七、导数及其应用导数及其应用概念与几何意义概念函数在点处的导数。几何意义为曲线在点处的切线斜率,切线方程是。运算基本公式〔为常数；；；〔,且；〔,且．；。运算法则；,；,．复合函数求导法则。研究函数性质单调性的各个区间为单调递增区间；的区间为单调递减区间。极值且在附近左负〔正右正〔负的为极小〔大值点。最值上的连续函数一定存在最大值和最小值,最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者,最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。1.等比数列中,,函数,则〔CA．B．C．D．2.函数y=f<x>的导函数的图像如图所示,则函数y=f<x>的图像可能是〔D试题分析：原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D．3.设函数f〔x在R上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是〔DA．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值4.在直角坐标系中,设是曲线：上任意一点,是曲线在点处的切线,且交坐标轴于,两点,则以下结论正确的是〔AA．的面积为定值B．的面积有最小值为C．的面积有最大值为D．的面积的取值范围是考点：1、求切线方程；2、求三角形的面积.5.函数在上是增函数,则实数的取值范围是〔BA．B．C．D．试题分析：函数导数时恒成立,即,设6.函数在区间上的图像大致是<B>考点：1、函数图像；2、导数在研究函数的单调性中的应用.7.若,则函数在区间上恰好有〔BA．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点[解析]易知在上为减函数,且由零点判定定理知,在函数在区间上恰好有一个零点,选B．8.已知函数,若函数有且只有两个零点,则k的取值范围为〔CA．B．C．D．9.设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围为〔DA．B．C．D．试题分析：由得,令,则若存在唯一的整数,使得等价于存在唯一的整数使,在同一坐标系内作出两个函数的图象,由图象可知等价于存在唯一的整数使等价于,解之得,故选D.10.为的导函数,若对,恒成立,则下列命题可能错误的是<D>A．B．C．D．[解析]对,恒成立,令x=0,则2f<0>>0,所以f<0>>0.当x>0时,,所以在上是增函数,所以f<1><4f<2>;当x<0时,,所以在上是减函数,所以.故选D.11.对任意x∈R,函数f<x>的导数存在,若f′<x>＞f<x>且a＞0,则以下正确的是〔AA．B．C．D．试题分析：设,那么,所以是单调递增函数,那么当时,,即,即12.定义在上的函数满足：,,是的导函数,则不等式〔其中为自然对数的底数的解集为〔AA．B．C．D．试题分析：由题意可知不等式为,设所以函数在定义域上单调递增,又因为,所以的解集为考点：导数在在函数单调性中的应用.13.设函数．〔1讨论函数的单调性；〔2若在区间上没有零点,求实数的取值范围．[答案]〔1函数的单调增区间是,单调减区间是；〔2又在上没有零点,∴在上恒成立由得,令,则,当时,∴在上是减函数,∴时,∴,即考点：利用导数研究函数的性质14．已知函数．〔1若t=0,求证：当x≥0时,；〔2若对任意x∈[1,+∞恒成立,求t的取值范围．[考点]利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．[分析]〔1求出函数f〔x的解析式,问题转化为证明ln〔x+1≥x﹣x2；令g〔x=ln〔x+1﹣x+x2,〔x≥0；根据函数的单调性证明即可；〔2问题转化为〔t+1lnx+tx2+3t﹣4x≥0,令φ〔x=〔t+1lnx+tx2+3t﹣4x,根据函数的单调性求出t的范围即可．[解答]解：〔1证明：t=0时,f〔x=lnx,f〔x+1=ln〔x+1,即证ln〔x+1≥x﹣x2；令g〔x=ln〔x+1﹣x+x2,〔x≥0；则g′〔x=＞0,∴g〔x在〔0,+∞递增,∴g〔x≥g〔0=0,即l〔x+1≥x﹣x2；〔2由f〔x≥4x⇒〔t+1lnx+tx2+3t﹣4x≥0,令φ〔x=〔t+1lnx+tx2+3t﹣4x,首先由φ〔1≥0⇒t≥1,此时φ′〔x=,令h〔x=2tx2﹣4x+t+1,∵t≥1,∴△=16﹣8t〔t+1＜0,∴h〔x＞0恒成立,即φ′〔x＞0,φ〔x在[1,+∞递增,故φ〔x≥φ〔1=4t﹣4≥0,综上,t≥1．15．已知函数〔Ⅰ求及x∈[2,3]时函数f〔x的解析式〔Ⅱ若对任意恒成立,求实数k的最小值．[考点]函数恒成立问题；分段函数的应用．[分析]〔Ⅰ由函数f〔x=可求f〔的值,由x∈[2,3]⇒x﹣2∈[0,1],可求得此时函数f〔x的解析式；〔Ⅱ依题意,分x∈〔0,1]、x∈〔1,2]、x∈〔2,3]三类讨论,利用导数由f〔x≤对任意x∈〔0,3]恒成立,即可求得实数k的最小值．[解答]解：〔Ⅰf〔=﹣f〔=f〔=×=．当x∈[2,3]时,x﹣2∈[0,1],所以f〔x=[〔x﹣2﹣〔x﹣22]=〔x﹣2〔3﹣x．〔Ⅱ①当x∈〔0,1]时,f〔x=x﹣x2,则对任意x∈〔0,1],x﹣x2≤恒成立⇒k≥〔x2﹣x3max,令h〔x=x2﹣x3,则h′〔x=2x﹣3x2,令h′〔x=0,可得x=,当x∈〔0,时,h′〔x＞0,函数h〔x单调递增；当x∈〔,1时,h′〔x＜0,函数h〔x单调递减,∴h〔xmax=h〔=；②当x∈〔1,2]时,x﹣1∈〔0,1],所以f〔x=﹣[〔x﹣1﹣〔x﹣12]≤恒成立⇔k≥〔x3﹣3x2+2x,x∈〔1,2]．令t〔x=x3﹣3x2+2x,x∈〔1,2]．则t′〔x=3x2﹣6x+2=3〔x﹣12﹣1,当x∈〔1,1+时,t〔x单调递减,当x∈〔1+,2]时,t〔x单调递增,t〔xmax=t〔2=0,∴k≥0〔当且仅当x=2时取"="；③当x∈〔2,3]时,x﹣2∈[0,1],令x﹣2=t∈〔0,1],则k≥〔t+2〔t﹣t2=g〔t,在t∈〔0,1]恒成立．g′〔t=﹣〔3t2+2t﹣2=0可得,存在t0∈[,1],函数在t=t0时取得最大值．而t0∈[,1]时,h〔t﹣g〔t=〔t2﹣t3+〔t+2〔t2﹣t=t〔1﹣t〔2t﹣1＞0,所以,h〔tmax＞g〔tmax,当k≥时,k≥h〔tmax＞g〔tmax成立,综上所述,k≥0,即kmin=0．八、等差数列﹑等比数列数列、等差数列等比数列一般数列概念按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。通项公式数列中的项用一个公式表示,前项和简单的递推数列解法累加法型解决递推数列问题的基本思想是"转化",即转化为两类基本数列等差数列、等比数列求解。累乘法型转化法待定系数法。比较系数得出,转化为等比数列。等差数列概念满足〔常数,递增、递减、常数数列。通项公式。〔公差不为0前项和公式为等差数列。等比数列概念满足〔的常数,单调性由的正负,的范围确定。通项公式,<公比不为1前项和公式公比不等于时,成等比数列。注：表格中均为正整数1．[2015高考北京,理6]设是等差数列.下列结论中正确的是〔A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则[答案]C[解析]先分析四个答案支,A举一反例,而,A错误,B举同样反例,,而,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于,则,选C.2．[2016高考XX理数]如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且,,〔.若〔A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列[答案]A[解析]试题分析：表示点到对面直线的距离〔设为乘以长度一半,即,由题目中条件可知的长度为定值,那么我们需要知道的关系式,过作垂直得到初始距离,那么和两个垂足构成了等腰梯形,那么,其中为两条线的夹角,即为定值,那么,,作差后：,都为定值,所以为定值．故选A．考点：等差数列的定义．3．[2015高考XX,理8]若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于〔A．6B．7C．8D．9[答案]D[解析]由韦达定理得,,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,．当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得,；当是等差中项时,,解得,,综上所述,,所以,选D．[考点定位]等差中项和等比中项．4．[2014XX理8]设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则〔A．B．C．D．[答案]C[解析]试题分析：因为是等差数列,则,又由于为递减数列,所以,故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.5．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列,为数列的前项和,则的值为〔A．-2B．-3C．2D．3[答案]C[解析]试题分析：成等比数列,即,.考点：数列的基本概念.6．[2015XX理14]设为等比数列的前项和,若,且,,成等差数列,则.[答案].[解析]试题分析：∵,,成等差数列,∴,又∵等比数列,∴.[考点定位]等差数列与等比数列的性质.7．[2016高考XX理数]设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=____,S5=_______.[答案][解析]试题分析：,再由,又,所以考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前项和．8．[2016高考新课标1卷]设等比数列QUOTEan满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为_______．试题分析：设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.考点：等比数列及其应用[名师点睛]高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.9．已知数列为等差数列,满足,其中在一条直线上,为直线外一点,记数列的前项和为,则的值为〔AA．B．C．D．试题分析：依题意有,故.10．已知等差数列的前项和分别为,若对于任意的自然数,都有,则〔AA．B．C．D．试题分析：＝,故选A．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式．九、数列求和及其数列的简单应用数列求和及数列的简单应用常用求和公式等差数列,特别。等比数列,特别。自然数平方和。自然数立方和。常用求和方法公式法如。常用裂项方法：；；；。分组法如,。裂项法如。错位相减法如。倒序相加法如。数列模型等差数列基本特征是均匀增加或者减少。等比数列基本特征是指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题。一个简单递推数列基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为,每年年底要拿出〔常数作为下年度的开销,即数列满足。1．如图所示是毕达哥拉斯树的生长过程；正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形上再连接着正方形……如此继续。若共得到31个正方形,设初始正方形边长为1,则最小正方形的边长为．2．[2017课标II,理15]等差数列的前项和为,,,则。[答案][解析]试题分析：设等差数列的首项为,公差为,由题意有：,解得,数列的前n项和,裂项有：,据此：。[考点]等差数列前n项和公式；裂项求和。3．[2015XX高考,11]数列满足,且〔,则数列的前10项和为[答案][解析]由题意得：所以[考点定位]数列通项,裂项求和4．已知数列满足,则=〔A．B．C．D．[答案]5．[2017课标1,理12]几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,是A．440 B．330 C．220 D．110[答案]A[解析]试题分析：由题意得,数列如下：则该数列的前项和为要使,有,此时,所以是之后的等比数列的部分和,即,所以,则,此时,对应满足的最小条件为,故选A.[考点]等差数列、等比数列的求和.6.[2017XX,理19]已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2〔Ⅰ求数列{xn}的通项公式；〔Ⅱ如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1<x1,1>,P2<x2,2>…Pn+1<xn+1,n+1>得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,所围成的区域的面积.[答案]<I>〔II〔II过……向轴作垂线,垂足分别为……,由<I>得记梯形的面积为.由题意,所以……+=……+=1\*GB3①又……+=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得=所以[考点]1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3."错位相减法".十、数学归纳法数学归纳法数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的,因此,数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n0〔例如n0=1时结论正确；然后假设当n=k时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确．1.设数列满足,.求证：；,十一、空间点、直线、平面位置关系空间点、直线、平面的位置关系基本公理公理1。用途判断直线在平面内。公理2不共线确定平面。确定平面。确定两平面的交线。公理3两直线平行。公理4∥,∥∥位置关系线线共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。点线面；。线面。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。面面∥,。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。平行关系……判定定理性质定理线面线线平行线面平行∥,,∥线面平行线线平行面面线面平行面面平行面面平行线线平行垂直关系线面线线垂直线面垂直∥线线垂直线线平行面面线面垂直面面垂直面面垂直线面垂直空间角……定义特殊情况范围线线角把两异面直线平移到相交时两相交直线所成的角。两直线平行时角为所成角为时称两直线垂直线面角平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角。线面平行或线在平面内时线面角为线面垂直时线面角为二面角在二面角的棱上一定向两个半平面内作垂直棱的垂线,这两条射线所成角。两个半平面重合时为两个半平面成为一个平面时为当二面角为时称两个平面垂直空间距离点面距从平面外一点作平面的垂线,该点与垂足之间的距离。线面距和面面距转化为点面距。线面距直线与平面平行时,直线上任一点到平面的距离。面面距两个平面与平面平行时,一个平面内任一点到另一个平面的距离。1.已知直线,和平面,,若,,,要使,则应增加的条件是A．B．C．D．[答案]C[解析]试题分析：由面面垂直的性质定理知答案为C考点：线面位置关系2.[2016高考XX理数]已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足则〔A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n[答案]C[解析]试题分析：由题意知,．故选C．考点：空间点、线、面的位置关系．3.如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA＝AB,则PB与AC所成的角是〔A．90°B．30°C．45°D．60°[答案]D考点：异面直线的夹角.4.已知正方体中,点E是棱的中点,则直线AE与平面所成角的正弦值是_________.[答案]设正方体棱长为1,,因为,直线AE与平面所成角的正弦值是考点：直线与平面所成的角5.如图,是正方体中上的动点,下列命题：①；②所成的角是60°；③为定值；④∥平面；⑤二面角的平面角为45°．其中正确命题的个数有〔A．2个B．3个C．4个D．5个[答案]C考点：线面平行的性质及判定线面垂直的性质及判定二面角的平面角应用6.如图所示,在直角梯形中,,分别是上的点,,且〔如图1.将四边形沿折起,连结〔如图2.在折起的过程中,下列说法中错误的个数是〔平面；②四点不可能共面；若,则平面平面；平面与平面可能垂直.A．0B．1C．2D．3[答案]B考点：线线,线面,面面平行,垂直关系[方法点睛]本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平行时,需证明平面外的线与平面内的线平行,则线面平行,一般可构造平行四边形,或是构造三角形的中位线,可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明面面平行,要证明面面垂直,根据判定定理需证明线面垂直,寻找线与平面内的两条相交线垂直,若是可能或不可能问题,可采用反证法,推出矛盾.7.如图,已知正方体的棱长为4,点,分别是线段,上的动点,点是上底面内一动点,且满足点到点的距离等于点到平面的距离,则当点运动时,的最小值是〔A．B．C．D．[答案]D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．8．〔本小题满分15分在四棱锥中,,,点是线段上的一点,且,．〔1证明：面面；〔2求直线与平面所成角的正弦值．19．本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识．同时考查空间想象能力和运算求解能力．满分15分．[解析]〔1由,得,又因为,且,所以面,……5分且面．所以,面面。……7分〔2过点作,连结,因为,且,所以平面,又由平面,所以平面平面,平面平面,过点作,即有平面,所以为直线与平面所成角．……10分在四棱锥中,设,则,,,∴,从而,即直线与平面所成角的正弦值为．……15分9．已知等腰梯形中〔如图1,,,为线段的中点,为线段上的点,,现将四边形沿折起〔如图2．⑴求证：平面；⑵在图2中,若,求直线与平面所成角的正弦值．19.〔本题满分15分〔1证明：连接CM2分.十二、空间向量与立体几何空间向量与立体几何空间向量重要概念共面向量一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。空间基底空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底。基本定理共线定理〔共线存在唯一实数,。共面定理与、〔不共线共面存在实数对,使．基本定理不共面,空间任意向量存在唯一的,使。立体几何中的向量方法线面标志方向向量所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫做直线的方向向量。法向量所在直线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。位置关系线线平行方向向量共线。线面平行判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。面面平行判定定理；两个平面的法向量平行。线线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。面面垂直判定定理；两个平面的法向量垂直。空间角线线角两直线方向向量为,。线面角直线的方向向量为,平面的法向量为,。二面角两平面的法向量分别为和,则。空间距离点线距直线的方向向量为,直线上任一点为,点到直线的距离。两平行线距离转化为点线距。点面距平面的法向量为,平面内任一点为,点到平面的距离。线面距、面面距转化为点面距。1．如图,四棱锥中,,侧面为等边三角形,．〔1证明：平面；〔2求与平面所成的角的正弦值.19．〔1证明：取AB中点E,连接DE,则四边形BCDE为矩形,DE=C=2,连接SE,则,,故为直角,即,由,,得平面平面〔2由平面知,平面平面,作,垂足为F,则平面,作,垂足为G,则连接SG,又,故平面,平面平面,作为垂足,则平面,则F到平面SBC的距离为,由,所以平面SBC,E到平面SBC的距离为设AB与平面SBC所成的角为,则〔向量法略十三、直线与圆的方程直线与圆的方程直线与方程概念倾斜角轴正向与直线向上的方向所成的角,直线与轴平行或重合时倾斜角为斜率倾斜角为,斜率〔,在直线上。直线方程点斜式在轴截距为时。两点式在轴截距分别为时。一般式〔,时斜率,纵截距。位置关系平行当不重合的两条直线和的斜率存在时,；如果不重合直线和的斜率都不存在,那么它们都与轴垂直,则//．垂直当两条直线和的斜率存在时,；若两条直线中的一条斜率不存在,则另一条斜率为时,它们垂直．交点两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。距离公式点点距两点之间的距离。点线距点到直线的距离。线线距到距离．圆与方程圆定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。标准方程圆心坐标,半径,方程。标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为,半径。一般方程<其中>…………相交相切相离直线与圆代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解几何法圆与圆代数法方程组有两解方程组有一组解方程组无解几何法或或[注：标准根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距]1.若实数x,y满足：,则的最小值是〔DA.2B.3C.5D.8试题分析：由于=,而点〔-1,0到直线的距离为,所以的最小值为3,所以的最小值为2.已知圆：和圆：都经过点A〔2,—1,则同时经过点〔D1,E1和点〔D2,E2的直线方程为〔AA．B．C．D．3.[2017XX,13]在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是[答案][解析]设,由,易得,由,可得或,由得P点在圆左边弧上,结合限制条件,可得点P横坐标的取值范围为.4.[2015XX高考,10]在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为[答案][解析]由题意得：半径等于,当且仅当时取等号,所以半径最大为,所求圆为[考点定位]直线与圆位置关系[名师点晴]利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m的函数后,利用基本不等式求最值,需注意一正二定三相等的条件.5.设A为圆<x－1>2＋y2＝1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|＝1,则P点的轨迹方程是<B>A．<x－1>2＋y2＝4B．<x－1>2＋y2＝2C．y2＝2xD．y2＝－2x[答案]B[解析]作图可知圆心<1,0>到P点距离为,所以P在以<1,0>为圆心,以为半径长的圆上,其轨迹方程为<x－1>2＋y2＝2.6.已知为正实数,直线与圆相切,则的最小值是〔BA．2B．4C．6D．87.从圆外一点向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为〔BA．B．C．D．0试题分析：圆的圆心为,半径为,从外一点向这个圆作两条切线,则点到圆心的距离等于,每条切线与的夹角的正切值等于,所以两切线夹角的正切值为,该角的余弦值等于,故选B．考点：直线与圆的位置关系8.已知圆：,过圆内定点P〔2,1作两条相互垂直的弦AC和BD,那么四边形ABCD面积最大值为〔DA．21B．C．D．42试题分析：因为,所以==当且仅当,即时,等号成立.故选D.9.点分别为圆：与圆：上的动点,点在直线上运动,则的最小值为.[答案]7试题分析：,,点关于直线的对称点设为,那么的最小值就是,故填：710.若直线：圆：交于两点,则弦长的最小值为〔BA．B．C．D．11.如图,已知直线与轴、轴分别交于两点,是以为圆心,1为半径的圆上一动点,连结,则面积的最大值是〔CA．8B．12C．D．十四、圆锥曲线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义、方程与性质定义标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆平面内与两个定点,的距离之和等于常数〔大于的点的轨迹叫做椭圆．[,]轴轴坐标原点椭圆中双曲线中双曲线平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数〔小于的点的轨迹叫做双曲线．[]抛物线平面内到一个定点和一条定直线〔定点不在定直线距离相等的点的轨迹是抛物线。[焦点到准线的距离等于,,焦参数]轴[离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比]轴注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为,。2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是。1.双曲线的焦距是___________,渐近线方程是___________．[答案],.[解析]由题意得：,,,∴焦距为,渐近线方程为.2.已知双曲线〔b>0,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点,四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为〔D〔A〔B〔C〔D试题分析：根据对称性,不妨设A在第一象限,,∴,∴,故双曲线的方程为,故选D.3.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点,且,则该双曲线的渐近线方程为〔CA．B．C．D．4.如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是________________.[答案][解析]由题意得,因此5.如图,分别是双曲线的左顶点、右顶点,过的直线与的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和轴分别交于两点,若,则的离心率是〔A．B．C．D．[答案]D6.已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上存在点使得是钝角,则椭圆离心率的取值范围是〔BA．B．C．D．7.在椭圆上有一点,椭圆内一点在的延长线上,满足,若,则该椭圆离心率取值范围是〔DA．B．C．D．试题分析：因为在椭圆内,所以以为直径,原点为圆心的圆在椭圆内部,所以,则,也即,故．又且,则,所以,注意到,则,即,而〔当且仅当取等号,所以,即,也即,所以,故椭圆离心率的取值范围是,故应选D．8.已知双曲线的左、右焦点分别为,双曲线的离心率为,若双曲线上一点使,则的值为〔BA．B．C．D．9.若椭圆和椭圆的焦点相同且．给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④．其中所有正确结论的序号是____．[答案]①③④[解析]10.设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若,则的值为〔A．36B．24C．16D．12[答案]B[解析]试题分析：设,,,抛物线焦点坐标为,准线方程,,∴点为重心,则,,而,,,∴．考点：抛物线简单几何性质．11.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点。若为的中点,则————。[答案]612.已知抛物线与圆有公共点,若抛物线在点处的切线与圆也相切,则______.[答案]考点：抛物线与圆．十五、圆锥曲线的热点问题曲线方程与圆锥曲线热点问题曲线与方程概念曲线上点的坐标都是方程的解,以的解为坐标的点都在曲线上,则称曲线为方程的曲线、方程为曲线的方程。求法直接法把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。定义法已知曲线类型,求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法〔待定系数法。代入法动点随动点运动,在曲线上,以表示,代入曲线的方程得到动点轨迹方程的方法。参数法把动点坐标用参数进行表达的方法。此时,消掉即得动点轨迹方程。交规法轨迹是由两动直线〔或曲线交点构成的,在两动直线〔曲线中消掉参数即得轨迹方程的方法。热点问题定点含义含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。解法把曲线系方程按照参数集项,使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点。定值含义不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。解法建立这个量关于其它量的关系式,最后的结果是与其它变化的量无关。范围含义一个量变化时的变化范围。解法建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式,求解这个函数的变化范围或者解不等式。最值含义一个量在变化时的最大值和最小值。解法建立这个量的函数关系式,求解这个函数的最值。1.[2017课标1,理10]已知F为抛物线C：y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为〔AA．16 B．14 C．12 D．10[解析]试题分析：设,直线方程为联立方程得∴同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当〔或时,取得等号.[考点]抛物线的简单性质2.[2016年高考XX理数]设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上任意一点,M是线段PF上的点,且=2,则直线OM的斜率的最大值为<C>〔A〔B〔C〔D1试题分析：设〔不妨设,则由已知得,,,,,故选C.3.已知抛物线,过点的直线交抛物线于、两点,设．〔I试求的值〔用表示；〔II若,求当最大时,直线的方程．[答案]〔I,；〔II．[解析]试题分析：〔I设,,．利用,；〔II由〔I知：,,．又,根据二次函数的知识得：当,即时,有最小值,的方程为：．试题解析：〔I设,,．∵,∴,,∴,,,,∴,,∵,∴,．此时,,直线的方程为：．考点：1、直线与抛物线；2、向量及其运算．4.[2016高考XX理数]〔本题满分15分如图,设椭圆〔a＞1.〔I求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长〔用a、k表示；〔II若任意以点A〔0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.[答案]〔I；〔II．[解析]试题分析：〔I先联立和,可得,,再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；〔II先假设圆与椭圆的公共点有个,再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时,的取值范围,进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：〔I设直线被椭圆截得的线