山东省淄博市鲁中艺术学校2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

山东省淄博市鲁中艺术学校2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．2.2012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间x的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像是参考答案：D3.若复数是纯虚数，则实数的值为（

）A.1

B.2

C.

1或2

D.－1参考答案：B略4.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（）A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表得：（1，6）

（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为p1=，点数之和大于5的概率记为p2=，点数之和为偶数的概率记为p3=，∴p1＜p3＜p2故选：C．【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.若非零向量，满足||＝||，(2＋)·＝0，则与的夹角为（

）A．150°

B．120°

C．60°

D．30°参考答案：B6.在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略7.若复数（i是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a等于

A．-1

B．

C．

D．3参考答案：D8.设集合，则等于

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.集合，则a的值为A.1 B.2 C. D.4参考答案：C略10.函数y＝(-＜x＜的图象是（

）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量＝（a＋b，sinC），

＝（a＋c，sinB－sinA），若∥，则角B的大小为_____________．

参考答案：略12.曲线和曲线围成的图形面积是

．参考答案：略13.若实数x，y满足的最小值为3，则实数b的值为

参考答案：14.（几何证明选讲选做题）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为

．参考答案：15.已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则 ．参考答案：-116.已知集合，集合若，则实数m的取值范围为__________________.参考答案：略17.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx（x∈R）．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+），即可求得f（）的值；（2）由A为三角形的内角，f（A）=sin（2A+）=1可求得A=，从而sinB+sinC=sinB+sin（﹣B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．【解答】（1）∵f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx=cos2x+sin2x，sin（2x+），∴f（）=1；（2）f（A）=sin（2A+）=1，而0＜A＜π可得：2A+=，即A=．∴sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+）．∵0＜B＜，∴＜B+＜π，0＜sin（B+）≤1，∴sinB+sinC的最大值为．19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝，求x2；（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．参考答案：20.（本小题满分12分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）

………4分

∴函数的最小周期

………6分

（Ⅱ）

是三角形内角，∴

即：

………8分∴

即：．

………10分将可得：

解之得：∴,,∴，．

………12分21.（本小题满分15分）已知抛物线上一个纵坐标为的点到焦点的距离为．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)设点，过作直线分别交抛物线于点和点，直线的斜率分别为，且．写出线段的长关于的函数表达式，并求四边形面积的最小值．参考答案：(Ⅰ)．………5分(Ⅱ)，与抛物线联立可得，，，.……………10分设点到直线的距离分别为，．，．．同理可得，．

……………12分

设，在上单调递增，，当且仅当即时取等号．

四边形面积的最小值为．

……………15分22.2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：甲电商：消费金额（单位：千元）[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5]频数50200350300100

乙电商：消费金额（单位：千元）[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5]频数250300150100200

（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X，试求出X的期望和方差．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）E（X）=3，D（X）=【分析】（Ⅰ）由频数分布表，能作出下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小．（Ⅱ）（i）利用等可能事件概率计算公式求解．（ii）利用二项分布的性质求解．【详解】（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，甲中位数在区间[2，3]内，