北邮考研信息个人搜集非-信号与系统第三章

§3.1一.一.LTI系统对复指数信号将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的.但这些基本信号应具备两个主要性质:由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号LI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单,以使得系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表示式. 续时间LTI的输入表示成复指数的线性组合,xta那么输出就一定 ytaHse 叶分析中sj,即仅考虑ej形式的复指数根据欧拉公式ejcostjsint, 叶分析中将信号表示成谐波关系的正弦信号的线性组eBUPT尹霄二.发展历1748年，欧拉(Euler)作中，发现弦的振荡模式均为x的正弦函垂数，并成谐波关1759年，拉格朗日(J.L.Lagrange)1822年，法国数学家叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时了热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。但其数学证明并不是很完善。叶并没有对叶级数的理论作出什么贡献，但洞察出了这个表示法的巨大，并前进了一步，将非周期信号表示成不完全成谐波关系的正弦信号的加权积分。BUPT尹霄1829年，狄里赫利(P.L.Dirichlet)在此条件下，一个周期信号才可以用一 叶级数表示泊松(Poisson) (Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数开辟了广阔的前景在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，变换法具有很多的优点。叶分析的进一步应叶“FFT”快 叶变换 叶分析法赋予了新的生命力BUPT尹霄三.频域分从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨叶变换 叶变换是 叶级数正交函数展开的础上发展而产生的，这方面的问题也称 叶分（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。BUPT尹霄四.四. 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用 叶变换， 叶级数相当本章最后研究抽样信号 叶变换，引入抽样定理BUPT Aft2c2t 三个特征量角频率 4 初相位42O4 BUPTft2c2tc3t 4 2 24OO232BUPT尹霄BUPT尹霄BUPT尹霄BUPT尹霄12f0262Hzf234567f2f2f2f2f21f2BUPTBUPTBUPT尹霄BUPT尹霄BUPT尹霄BUPT尹霄BBUPT主要三角函数形式指数函数形式的傅氏级两种傅氏级数频谱函数的对称性 叶级数的关周期信号的功 叶有限级数与最小方均BUPT尹霄BUPTBUPTBUPT尹霄 周期信级数分叶邮电大学电BBUPTcosnt,sinnt是一个11t在一个周期内由积T2t11t2T2Tnt1t 2T2sinnt1t 2mmBUPT尹霄周期信号ft,周期为T11T1a1f(t)dT余弦分量的幅度a2Tf(t)td正弦分量的幅度b2TtdBUPT求f(t)a0ancosn1tbnsinn1t (1)式两端乘以cosm1再积分f(t)cosmt1 aT0t积分结果为1 bsinntT1t积分结果为1T当 mcos2t1T12mBUPTf(t)aacosntbsinntf(t)c0cncosn1tnc0 ancncosc0cncosn1tcosnsinn1tsinnbncnsinca2 tannnana0:直流,平均n1基波(fundamental有的文献上也称为1次谐nn次谐波(harmonicBUPT尹霄正弦形f(t)d0dnsinn1tnf(t)aacosn1tbsinn1td0 andn bndncosd0dncosn1tsinnsinn1tcosnda2 tan nbnBUPT尹霄f(t)A tTT22ftTa01T22TTtdtTt122an2T2TTtcosntdt1121Tb 2T2ttdt nA1 112周期锯齿波 叶级数展开式ft0AsintAsin2tπ11直基谐BUPT1．ejntn系f(t) F)jt1TtF(n1)0f(t) d djntjn01Tf(t)ejntdT1BUPT求求f(t) Fj(4)式两端乘以ejmt,再积分Tf dt FjmT-jntjmn dt-jntjmTnn f(t dtTF f(t)ejnTBUPT尹霄f(t) Fn)j1FFn1Tf(t)ejntdn1T1周期信号可分解为,区间上的指数信号ejn的线性如给出F(n)，则ft惟一确定，(4(5)式是一1变换对BUPT尹霄三．三．两种系数之间的F1f(t dT利用欧拉公1Tf(ttdt f(t1Ttd1ajb2F 1Ttdt 1Ttd1ajb2BUPT尹霄Fc F1n2nFn21ce-FnFn由三角函数f(t)c0cncosn1tncnt11n欧拉公2cejnt-jnt1cejejnt1ce-je-22FejntFe-nBUPT尹霄F(nF(n)1FF(n)1幅频特F(n)2ab 11 2相频特 bnnaF(n1n1关于的偶函数（实际n取正值）关于的奇函数（实际n取正值）关于BUPTcn~Fn~离散谱，谱O相位n~OBUPTAcost A单边频单边频 Acost12ejt -t111Aejejt1Ae-je-22双边频谱,偶函O双边频谱,奇函BUPT尹霄例3-2-2已知f(t1sin1t2cos1tcos21tπ 4请画出其幅度谱和相位谱化为余弦形f(t)15cos(t0.15π)co2tπ1s14三角函数形式 叶级数的谱系三角函数形式的频谱c0cc1c152.2361O12c2O2BUPT尹霄f(t)15cos(t0.15π)cos2tπ1 41ft15ee1ee22 F指数形叶级FF1.12eF12FF21BUPT尹霄F0F(0)F1F(1)F1F(1)F2F(21)F2F(21)指数形式的频谱Fn011220.51.1211.120.252O22BUPT尹霄c1c0.25O12O2Fn0.5211.120.15O2 20.250.15BUPT叶级数的关系BUPT信号波形相对于纵轴是对称f(t)f(tf(tEbn0没有正弦 an f(t)42tdtFF(n)1ajb1Tn1n 22n叶级数中只含直流项和余弦F(n1)BUPT尹霄波形相对于纵坐标是反对称的f(t)f(ta f(t)dt=1 T2f12O a f(t) 22Tntdt0没有余弦12b2Tf(t)sinntd4nT101 f(t)sinntdtTFF(n)1ajb1n 22nF(n1)BUPT尹霄f(tf(t)ftT1O2Tt 2f(t)的傅氏级数偶次谐波为零a0n2,4,6anbnn1,3,5 a 2f(t)cosn1tdnT41b f(t)sin 42T11tdBUPT尹霄P96图3-5奇谐函数f(tf(tO2Ttcosf(tO2sinf(tTtO2TtO2TtcossinBUPT尹霄波形移动T1与原波形重f(t2称 T Tftft1T 2 f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分当n1,3,5当n2,4,6anbnan 2f(t)cosn1td4T14b f(t)sinn1td2nT1BUPTP f(t)dta 11aba c21FT22 周期信号平均功率=直流、基波及量有效值的平方和也就是说，时域和频域的能量Fn2~率随频率分布的情况，称为功率谱BUPT对对于三角函数形式f(t)aacosn1tbsinn1t平均功 Pf2(t)dtaacosntbsinntd11TTa2 ab 1 a ca 2122 2 c2 n12对于指数形式P f(t)dt F12T1nFF BUPT尹霄总平均功率=各次谐波的平均功率之六 叶有限级数与最小方均误差0n取前(2N1)项来近f(tfta acosntbsinn 1Sa 0Nat t1误差函Ntf(t)方均误E2(t)1tT2(t)d TtN1EN(t)f22ta21ab N2 nBUPT尹霄总总周期信号f(t) 叶级数有两种形两种频谱图的周期信号的频谱是离散谱，三个性引入负BUPT尹霄三角形 f(t)a0ancosn1tbnsinn1t=c0cncos(n1tn指数形f(t) F)jn1BUPT尹霄三角函数形式：cn~，n~指数函数形式：Fn~，n~ 2Fn关系F1cnFc (n1)(n1BUPT谐波性：频率只出现在n1n,Fn1对于双边频谱，负频率(n1)，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?ftejn和ejn，才能保证 (t)的实函数的性质不BUPT(t)t(tnT n分析：狄氏条件是叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，叶级数存在。TTOtFnFn 2tejntdt1 T1T1 2O22f(t)T(t) 1T满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽BUPT尹霄条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件3:在一周期内，信号绝BUPT尹霄例例不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。ft1O8BUPT尹霄例不满足条件2的一个ftsi2π,0t tft1O 对此函数，其周期为1，ftdt10BUPT尹霄在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期tTf(t)dtt与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数FnFnTftejntdtFTTftd1nftdtBUPT例 ft10t1，周期为1tft1 BUPT§3.3§3.3典型周期信号 叶级邮电大学电主要本节以周期矩形脉冲信号为例进行主要讨论：频谱的特点，频周期半波余弦周期全波余弦信号 BUPT尹霄一．一．频谱f(tEO脉宽为脉冲高度为周期为 ft是个偶函bn0,只有a0BUPT尹霄jnF) d12jn1TT12 1T2 jntdtejn1T Ejn2jnT jn112n2Esin1 2ESansin 2 1n 121BUPT尹霄3F3Fn1 2San11图中T1F(nO(1)包络线形状：抽样函数(2)其最大值在n0(3)离散谱（谐波性当n1（4)第一个零点坐标： （5）F(n1)是复函数（此处为实函数），幅度Fn0，相位为0，Fn0相位为BUPTej0cos0jsin0ecosjsinejcosjsin- e2cosjsin2 2BUPTT幅度1谱线间隔1T1当T，时，11为无限T1ft由周期信号非周期信号矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特离散性、谐波性、收敛性。BUPT尹霄二．频带F(n1O第一个零点集中了信号绝大部分能（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频BUPT尹霄P1Tf(t)dt F221以s,Ts为例，取主瓣内的频11 1P2F2F2F2F21213141F2F22F32F411110.181E而总功1Tf2(t)dt0.2ET1二者比 P5n90.5%PBUPT尹霄频率的信号来表示，此频率范围称为度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为B2π或B1，带宽与脉宽成反f对于一般周期信号，将幅度下1Fn1的频率区间定义为频带宽度 音乐信 扩音器与扬声器有效带宽约 15~20,000HzBUPT尹霄 一 叶变1.T1f(t谱系数F)11T2f(t djn0T2谱线间隔`101再用Fn1BUPTFF(n) 2f(t d11TjnT（1）11TFnFnFn 1 当T10,F(n)T1TFn有界 1n1连Flim TFnT2f(t djnTTT简称频谱1F()f(t dtFf(tj由f(t)求F称 叶变换F一般为复信号,故可表示F()|F()|ej(F~幅度频~相位BUPT尹霄FFlimT1F2．反变换f(t)应是F的反变换由复指数形式 叶级除以1，再乘以f(t) Fjn1f(t)F(n1jn11 TFn)jn 1当T1时1d,n12BUPT尹霄F) f(t dtFfjf(t) F12jdFF简 ftFBUPT尹霄二二FFejRjX 相实 虚 实量奇分f(t)ftfF f(t dj f(t)f(t ocostjsintd20fe(t)costdtj20fo(t)sintd实部,偶函 虚部，奇函BUPT f(t)td0eX f(ttd0关于关于关于arctanXFR2XR关于（奇分量为零ft偶函数F为实R,相位0（偶分量为零F为虚函数，只有X，相位2BUPTFF*三三叶变换的物理f(t)1FejtdFFej2π实函数1Fej()ejtd2π1Fcost2π积分为j1Fsint F1td2π dcostFBUPT尹霄Fdcostft0π求和振 正弦信无穷多个振幅为无穷小1Fd的连续余弦信 之和频域范围:0f(t)1FejtdFdej2π无穷多个幅度为无穷小1Fd的连续指信号之和，占据整个频域,BUPT尹霄四四 叶变换存在的条ftdt有限(充分条件即ft所有能量信号均满足此条件当引入函数的概念后，允许作傅里叶变换的BUPT尹霄§3.5矩形脉单边指直流信符号函其它信霄fftE2 2F FEnT2E 2FE 22n2 22n1π22nnBUPTFFE 2π2O2πF4πFESa22πO2π4πB2π或Bπ2πBUPT2π4π0二．二．单边指数fftEett0EtFFf(tOtEeut d幅度频谱：F 2相位频谱：BUPT尹霄幅度频谱：FFEEF2FEFE相位频谱：Oπ22OπBUPT尹霄三．三．直流f(t)E,tfE条件用定义F2π F2ElimSaft2ππEO BUPT尹霄Sa(FSa(SaπO2π,π,曲线下的面积π1不变π,能量压缩到0，面积不变，为1BUPT尹霄f(f(t)sgnttsgn(tt1ef1tsgnt ，求F1Ot求极限得到FeFe0tjdt dtj10Fjj2 F1 022BUPTej0cos0jsin0ecosjsinj2 ejcosjsin- -j22 2jsinBUPTF j e2 幅度频谱F虚奇函F(2O相位频谱:-j2ππ2jπ OπBUPT尹霄升余弦脉冲信号、双边指数信号等 叶变换利用质求取BUPT尹霄冲激函冲激单位阶跃函霄一．冲激F) tj dftF1 t看作1的矩形脉冲，0时B()满足绝对可积条件，不能用定义求。BUPT尹霄(t)ftF1 ()FO1fOtBUPTfttdtfFttejtdejttjBUPT三．三．单位阶跃ut1121ut122sgnt1Ot12OttO21π21sgntu(t)π2FππOOOBUPT尹霄 叶变基本霄意意叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论 叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系用性质求了解在通信系统领域中的应BUPT尹霄主要对称性奇偶虚实微分性线性性时域积分性BUPT尹霄1.1.若f(tF(),f(tF(则c1f1(t)c2f2(t)c1F1()c2F2( c1,c2为常2.例3-7-ut11sgntFπ2BUPT在.4的 叶变换的表示”中曾介绍过若f(t)为实函数f(tF()FFejRjXF关于关于关于关于FFBUPT设设f(t)是实函F()f(t dt fttdt ftsintd fttd显X ftsintd所FF已知FftFFftFBUPT尹霄关于的奇函XX关于的偶函RR无论f(t)为实信号还是复信号，都具有以 叶反变f(t) Fej2两边取f(t)2F (2)右端,与(1)比2(2)右端tt,与(1)比2BUPT尹霄四．尺度变换若f四．尺度变换若f(t)F(),则fat F,a为非零常数1a0<a<1时域扩展，频带压缩a>1时域压缩，频域扩展a倍a ftft,FFBUPT尹霄a因 Ffatfatejtd 当a0，令xattdtda1 1FfatfxeadxF当a0，aa a aa 令xatat t x,dtd a jx 1Ffat1fxeadx1fxeadx Fa a aa综合上述两种情 1FfatFaa BUPT尹霄f0ftFF：等效时Oftdtft等效：面积相OB等效频FFf012πFejtF ftdt F1BUPT尹霄fftF 2o2t2πo (1)0<a<1时域扩展，频带ft22F2Eπoto脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。BUPTE 域压缩，频域扩展af2t122F2to o持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。BUPT时BB B 1五．时移若f(tF(则f(tt0F()ejt若F(F 则f(ttF(j(j()t0幅度频谱无变化，只影响相位频谱相移t0 若f(tF(则fatb1Feja仿att的证明过1aBUPT尹霄a求图(a)所示三脉冲信号3-ftE令ft表示矩形O2 0信号，其频谱函数F0(aFFESa02 OBUPT尹霄F因ftftftTftT由时移性质知三脉冲函数ft的频谱函数F为O1 F2ESa12cosT O2πT(c)三脉冲信号的BUPT尹霄FF f(at d当a0时,设atbx,则t ,dtdx1 f(x edxF11aaa当a0时aa设atbx则txbxbdt1d eeaeF f(x)ee dx11f(x)eed1 f(x)ead Fe1aBUPT尹霄aaaa已知ftF 求f2t5的频谱密度函数Sa2 方法一：先标度变换，再时因为a2,所以f2t1FESa 22 4 因为b5，对t时移（向右）所以f2t5 e 4方法二：先时延再标度变 相对t时移5（向右）：ft5E ej 2j对所有压缩2：f2t5 4BUPT尹霄六．六．频移若f(tF(则f(t)ejtFf Fj0为常数，注意00f(tFj f(t ejtjf(t dF0BUPT尹霄F(F(F(OO时域f(t)乘ejt频域频谱搬移右移0时域f(t)乘ejt频域频谱搬移左移通信中调制与解调，频分复BUPT尹霄例3-7-例3-7-例3-已知矩形调幅信号ftGtcostft0其中Gt为矩形脉冲，脉冲幅度为E脉宽为,试求其频谱解已知矩形脉冲Gt的频谱G2 2GE (a)矩形调因2ft1Gtejtejt根据频移性质，ft频谱F2F1G1G22BUPT尹霄F1G1G22Sa Sa222将包络线的频谱一分为二，向左、右各平移F2O(b)矩形幅信号的BUPT尹霄f(tF()，则f(tjF(一般情况下f(ntjF(若已知Ff(tn则FFfn(tjnFf(tjF()幅度乘相位增加jBUPTf(t) F)e2ft F2)ef(t)F()jjF(即Ff(t)jF(BUPT例3-7-例3-7-求三角函数的频谱密度函数ftEF2Eoto 22 BUPT尹霄fE2ot2三角形函数f22tf冲激函2E2Eft2E tt2E t ot 4E解解FftjF2FF1Fftt 2t dt22E4E2 2e e222F8EsinESa 4 4BUPT尹霄如果f()中有确定的直流分量，应先取出单独求变换，余下部分再用微分性质。叶utF 直流π12余下部分f(tu(t11sgn(tutπ22ft微分ftt1,f(t1222jutftdutf112dotototBUPT尹霄若若f(tF(),则tf(tjdFd或jtf(tdFdjtf(t)ndFnd或tnf(t)jnFnBUPT例3-7-已知f(tF()，求Ft2ftFt2ftFtft2ftjdF2FdBUPT例3-7-例3-7-求Ftn解tntn12πFt1jdFdF2d2t1ndFnndnnddBUPT尹霄八．时域积分若ftF，F0时，ftFF0时，ftdπF也可以记作：F(1π()BUPT尹霄 f dj变上限积分用 ft d单位阶跃的无限j f tejdt示，成为f fπ1j信号 叶变j π fej1对积分变量而言为续jBUPT尹霄ftutF1j1f jjπ1FjπF1FπF0FtfdFπ πF10jFBUPT尹霄如果F00则第一项为GG(t叶变换 已知u(t) (t)dt(t)t则u(t1π()11π( 2.求门函数Gt解：G(t)22 t2由Sa(0，知F0Gt Gdπ j2tGdπ22Sa2 BUPT若f(tF(若ft意则Ft2πf则Ft2πf若F(t)形状与F()相同，t则F(t)的频谱函数形状与ft形状相同，t幅度差2πBUPTf Fe2ft Fe将变量t与互2则f F2e-Fte fBUPT尹霄例3-7-t1,Ft12π2π例3-7-2已知Fsgn(t) 则2j2πsgn(即jπsgn(t1BUPT尹霄f1FSa2 2 t1ft1Sat 2f 22 2 2t 2 2 则有Sa(t) (CCBUPT尹霄§3.8卷积特性（卷积定理卷积定卷积定理的应霄 ftF,ftF f1tF1,f2tF2则ftftFF ftft FF 2π2时间函数的乘积各频谱函数卷积的12πBUPTf1tf2t f ftFftft fftj2 d f ftjtdt fF 性FftftFFBUPT二二用时域卷积定理求频谱密度函 ft 叶变tf ftdftuttfdF πF01jF求系统的响应ftgtgtftht GFHgtF1G将时域求响应，转化为频域BUPT尹霄例3-8-1ft的频谱密度函数FfF1E 2o fFE Ot20 ftftft f1(t)E 2E21E1FftF2212 §3.9§3.9周期信号主要正弦信号 叶变一般周期信号 叶变如何由F0(ω)求单位冲激序列的傅氏周期矩形脉冲序列的BUPT尹霄引引ft 叶级数Fnft 叶变换F 连续 ft非周期BUPT一．正弦信号 叶变t12 sint 2已12π 2cost2π2πππ1 22sin0tjπ0jπ0BUPTcoscos0tπ(0)(0Fcos0t频谱图π πsintjπjπO000sin0t频谱图Fsintcost00ππ2 2BUPT尹霄单边频谱,绝对频谱O双边频谱，绝对频F2F双边频谱，相对频谱 BUPT尹霄设信号周期T11 叶级数的指数形式出发：ft F其傅氏变换(用定义FFfFFFF2πn12πFn1BUPT尹霄F2πFn11ft的频谱由冲激序列组成T1强度2πFn与Fn成正比,离散2谱线的幅度不是有限值,因为F表示的是频谱密周期信号的F只存在于n1处频率范围无限小,幅度为位置: 谐波频率BUPT尹霄叶变换ftF2E绝对频o2FE相对频oBUPT尹霄三．如何由三．如何由即单个脉冲的F0与周期信号fTt的谱系数Fn1ftftTT2 oTt2设ftFF00 ft dftFejnnF 2ftejntd T1TT12BUPT ft dft FjnF 2ftejntd T1TT1比较式f0t fTt在TTft与ft 内1T所以F n0可由Fft22 0TnBUPT四．四．周期单位冲激序列 叶变换Tt t1111因为t2TToT 所以t的傅氏级数谱系TFn所以t 11Fejnt ejT1BUPT尹霄FFt1TFjnT11T12πn1 Tn1 1n11F 2o22o2Tt的频谱密度函数仍是冲激序列,强度和间隔都是BUPT尹霄方法o tF0()FnF(F()ESa0所以F1F2 F() FSa2n TE1 nn1 2BUPT尹霄E方法2利方法2利用时域卷积定理，周期f(t)f0(t)T(tF()F()1(n1ftFE2F卷F相2BUPT尹霄cos0tπ(0)(0 tsintjπjπ 1111Fn1F0 2TToT FF2πFn fT(t)f0(t)T F()F0()1(n1 2o2 时 频周 离离 BUPT尹霄§3.10§3.10理想抽矩形脉一数字处理的第一个环节。抽样原理图f(tf(tA/fD/g(tp(t信需解决的问题f(tF与F的关s由fst能否恢复ftBUPT尹霄二．二．矩形脉冲连续信 抽样信ft ottpt连续信号 ft抽样脉冲序列 pt抽样信号 fstftptototBUPT尹霄连续信号:ft抽样脉冲序列：ptftF(抽样信号:ftsptPfstFs信ftftptsF1FPs 越小，越能反映离散时刻之值，从信号传输角度看,更关心st中有无ft的全部信息，必须考虑fst谱结构BUPT尹霄1FotEofttoFot BUPTFFftpt1FPptP2πPnsptPSansn s P n FT 2 FnT 2BUPT因为2π,T不变 不sTsss脉冲宽度，第一个零 s 2π Tss，离原点越远理想抽样0矩形脉冲tBUPT尹霄二．理想抽样（周期单位冲激抽样）连续信 抽样信ftftftF(tptPfstFsp(t)T(t)(tnT)s(