期权价格的特性

第十三章期权的定价

第一节

期权价格的特性

一、

内在价值和时间价值期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。（一）期权的内在价值期权的内在价值（IntrinsicValue）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。欧式看涨期权的内在价值为(ST-X)的现值。无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D-Xe-r(T-t)。无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D-Xe-r(T-t)。无收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe-r(T-t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe-r(T-t)+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。（二）期权的时间价值期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当S=Xe-r(T-t)时，期权的时间价值最大。当S-Xe-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。二、

期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格（二）期权的有效期

（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的收益三、期权价格的上、下限（一）期权价格的上限1．看涨期权价格的上限在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。因此，对于对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：

（13.1）其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。2．看跌期权价格的上限由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：

（13.2）

由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：

（13.3）其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。（二）期权价格的下限1．欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金；组合B：一单位标的资产T时刻，组合A的价值为：

而组合B的价值为ST。由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:c+Xe-r(T-t)≥S

所以c≥S-Xe-r(T-t)

由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为（13.4）（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为+D，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：

（13.5）

2．欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X）假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：

由于期权权价值一一定为正正，因此此无收益益资产欧欧式看跌跌期权价价格下限限为：（13.6）（2）有有收益资资产欧式式看跌期期权价格格的下限限我们只要要将上述述组合D的现金金改为+D就可得到到有收益益资产欧欧式看跌跌期权价价格的下下限为：：（13.7）从以上分分析可以以看出，，欧式期期权的下下限实际际上就是是其内在在价值。。四、提前前执行美美式期权权的合理理性（一）提提前执行行无收益益资产美美式期权权的合理理性1．看涨涨期权由于现金金会产生生收益，，而提前前执行看看涨期权权得到的的标的资资产无收收益，再再加上美美式期权权的时间间价值总总是为正正的，因因此我们们可以直直观地判判断提前前执行是是不明智智的。为了精确确地推导导这个结结论，我我们考虑虑如下两两个组合合：组合A：：一份美美式看涨涨期权加加上金额额为的的现现金组合B：：一单位位标的资资产T时刻组组合A的的价值为为max（ST，X），，而组合合B的价价值为ST，可见组组合A在在T时刻刻的价值值一定大大于等于于组合B。即如如果不提提前执行行，组合合A的价价值一定定大于等等于组合合B。若在时时刻提前前执行，，则此时时组合A的价值值为：，而组合合B的价价值为。。由于因因此此即：若提提前执行行美式期期权，组组合A的的价值将将小于组组合B。。比较两种种情况可可得：提提前执行行无收益益资产美美式看涨涨期权是是不明智智的。因因此，同同一种无无收益标标的资产产的美式式看涨期期权和欧欧式看涨涨期权的的价值是是相同的的，即：：C=c（（13.8）根据（13.4），我我们可以以得到无无收益资资产美式式看涨期期权价格格的下限限：（13.9）2．看跌跌期权为考察提提前执行行无收益益资产美美式看跌跌期权是是否合理理，我们们考察如如下两种种组合：：组合A：：一份美美式看跌跌期权加加上一单单位标的的资产组合B：：金额为为的的现现金若不提前前执行，，则到T时刻，，组合A的价值值为max（X，ST），组合合B的价价值为X，组合合A的价价值大于于等于组组合B。。若在t时时刻提前前执行，，则组合合A的价价值为X，组合合B的价价值为Xe-(T-τ)，因此组组合A的的价值也也高于组组合B。。故：是否否提前执执行无收收益资产产的美式式看跌期期权，主主要取决决于期权权的实值值额（X-S））、无风风险利率率水平等等因素。。一般来来说，只只有当S相对于于X来说说较低，，或者r较高时时，提前前执行无无收益资资产美式式看跌期期权才可可能是有有利的。。由于美式式期权可可提前执执行，因因此其下下限比（（13.6）更更严格：：（13.10））（二））提前执执行有收收益资产产美式期期权的合合理性1．看涨涨期权由于在无无收益的的情况下下，不应应提前执执行美式式看涨期期权，据据此可知知：在有有收益情情况下，，只有在在除权前前的瞬时时时刻提提前执行行美式看看涨期权权方有可可能是最最优的。。我们先来来考察在在最后一一个除权权日（tn）提前执执行的条条件。如如果在tn时刻提前前执行，，则期权权多方获获得Sn-X的收收益。若若不提前前执行，，则标的的资产价价格将由由于除权权降到Sn-Dn。根据式（（13.5），，在tn时刻期权权的价值值（Cn）因此，如如果：即：（13.11））则在tn提前执行行是不明明智的。。相反，如如果（13.12））则在tn提前执执行有有可能能是合合理的的。实实际上上，只只有当当tn时刻标标的资资产价价格足足够大大时，，提前前执行行美式式看涨涨期权权才是是合理理的。。同样，，在ti时刻不不能提提前执执行有有收益益资产产的美美式看看涨期期权条条件是是：（13.13））由于存存在提提前执执行更更有利利的可可能性性，有有收益益资产产的美美式看看涨期期权价价值大大于等等于欧欧式看看涨期期权，，其下下限为为：（13.14））2．看看跌期期权由于提提前执执行有有收益益资产产的美美式期期权意意味着着自己己放弃弃收益益权，，因此此收益益使美美式看看跌期期权提提前执执行的的可能能性变变小，，但还还不能能排除除提前前执行行的可可能性性。通过同同样的的分析析，我我们可可以得得出美美式看看跌期期权不不能提提前执执行的的条件件是：：由于美美式看看跌期期权有有提前前执行行的可可能性性，因因此其其下限限为：：（13.15））五、期期权价价格曲曲线的的形状状（一））看涨涨期权权价格格曲线线无收益益资产产看涨涨期权权价格格曲线线如图图13-2所示示。有收益益资产产看涨涨期权权价格格曲线线与图图13.2类似，，只是是把Xe-r(T-t)换成Xe-r(T-t)+D。（二））看跌跌期权权价格格曲线线1．欧欧式看看跌期期权价价格曲曲线无收益益资产产欧式式看跌跌期权权价格格曲线线如图图13-3所示示。图13.3无无收收益资资产欧欧式看看跌期期权价价格曲曲线有收益益资产产期权权价格格曲线线与图图13.3相似似，只只是把把换为2．美美式看看跌期期权价价格曲曲线无收益益资产产美式式看跌跌期权权价格格曲线线如图图13-4所示示。有收益益美式式看跌跌期权权价格格曲线线与图图13.4相似似，只只是把把X换换成D+X。六、看看涨期期权与与看跌跌期权权之间间的平平价关关系（一））欧式式看涨涨期权权与看看跌期期权之之间的的平价价关系系1．无无收益益资产产的欧欧式期期权考虑如如下两两个组组合：：组合A：一一份欧欧式看看涨期期权加加上金金额为为的的现金金组合B：一一份有有效期期和协协议价价格与与看涨涨期权权相同同的欧欧式看看跌期期权加加上一一单位位标的的资产产在期权权到期期时，，两个个组合合的价价值均均为max(ST,X)。由由于欧欧式期期权不不能提提前执执行，，因此此两组组合在在时刻刻t必必须具具有相相等的的价值值，即即：（13.16））这就是是无收收益资资产欧欧式看看涨期期权与与看跌跌期权权之间间的平平价关关系。。它表表明欧欧式看看涨期期权的的价值值可根根据相相同协协议价价格和和到期期日的的欧式式看跌跌期权权的价价值推推导出出来，，反之之亦然然。如果式（13.16）不成立立，则存在在无风险套套利机会。。套利活动动将最终促促使式（13.16）成立。。2．有收益益资产欧式式期权在标的资产产有收益的的情况下，，我们只要要把前面的的组合A中中的现金改改为+D，我我们就可推推导有收益益资产欧式式看涨期权权和看跌期期权的平价价关系：（13.17）（二）美式式看涨期权权和看跌期期权之间的的关系1．无收益益资产美式式期权。由于P>p,从式（（13.16）中我我们可得：：对于无收益益资产看涨涨期权来说说，由于c=C，因因此：（13.18）为了推出C和P更严密的关关系，我们们考虑以下下两个组合合：组合A：一一份欧式看看涨期权加加上金额为为X的现金金组合B：一一份美式看看跌期权加加上一单位位标的资产产如果美式期期权没有提提前执行，，则在T时时刻组合B的价值为为max(ST,X)，而而此时组合合A的价值值为。因此此组合A的的价值大于于组合B。。如果美式期期权在τ时刻提前执执行，则在在τ时刻，组合合B的价值值为X，而而此时组合合A的价值值大于等于于X。因此此组合A的的价值也大大于组合B。这就是说，，无论美式式组合是否否提前执行行，组合A的价值都都高于组合合B，因此此在t时刻刻，组合A的价值也也应高于组组合B，即即：C+X>P+S由于c=C，因此，，C+X>P+SC-P>S-X结合式（13.18），我们们可得：（13.19）由于美式期期权可能提提前执行，，因此我们们得不到美美式看涨期期权和看跌跌期权的精精确平价关关系，但我我们可以得得出结论：：无收益美美式期权必必须符合式式（13.19）的的不等式。。2．有收益益资产美式式期权同样，我们们只要把组组合A的现现金改为D+X，就就可得到有有收益资产产美式期权权必须遵守守的不等式式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）（13.20）第二节期期权组合的的盈亏分布布期权交易的的精妙之处处在于可以以通过不同同的期权品品种构成众众多具有不不同盈亏分分布特征的的组合。投资者可以以根据各自自对未来标标的资产现现货价格概概率分布的的预期，以以及各自的的风险--收益偏好，，选择最适适合自己的的期权组合合。在以下的分分析中同组组合中的期期权标的资资产均相同同。一、标的资资产与期权权组合通过组建标标的资产与与各种期权权头寸的组组合，我们们可以得到到与各种期期权头寸本本身的盈亏亏图形状相相似但位置置不同的盈盈亏图，如如图13.5表示。。图13.5（a）反反映了标的的资产多头头与看涨期期权空头组组合的盈亏亏图，该组组合称为有有担保的看看涨期权（（CoveredCall）空头。。标的资产产空头与看看涨期权多多头组合的的盈亏图，，与有担保保的看涨期期权空头刚刚好相反。。图13.5（b）反映了标标的资产多多头与看跌跌期权多头头组合的盈盈亏图，标标的资产空空头与看跌跌期权空头头组合的盈盈亏图刚好好相反。从从图13.5可以看出,组合的盈亏亏曲线可以以直接由构构成这个组组合的各种种资产的盈盈亏曲线叠叠加而来。。二、差价组合差价（Spreads）组合合是指持有有相同期限限、不同协协议价格的的两个或多多个同种期期权头寸组组合（即同同是看涨期期权，或者者同是看跌跌期权），，其主要类类型有牛市市差价组合合、熊市差差价组合、、蝶式差价价组合等。。1．牛市差价（（BullSpreads）组合。。牛市差价组组合是由一一份看涨期期权多头与与一份同一一期限较高高协议价格格的看涨期期权空头组组成。由于于协议价格格越高，期期权价格越越低，因此此构建这个个组合需要要初始投资资。牛市差价组组合牛市差价组组合在不同同情况下的的盈亏可用用表13.2表示示。。表13.2牛市市差差价价期期权权的的盈盈亏亏状状况况表13.2结果果可可用用图图13.6表示示，，从从图图可可看看出出，，到到期期日日现现货货价价格格升升高高对对组组合合持持有有者者较较有有利利，，故故称称牛牛市市差差价价组组合合。。标的资产价格范围

看涨期权多头的盈亏

看涨期权空头的盈亏

总盈亏

STX2ST―X1―c1X2―ST+c2X2―X1+c2―c1X1<ST<X2ST―X1―c1c2ST―X1+c2―c1STX1-c1c2c2―c1

通过过比比较较标标的的资资产产现现价价与与协协议议价价格格的的关关系系，，我我们们可可以以把把牛牛市市差差价价期期权权分分为为三三类类：：两虚虚值值期期权权组组合合，，指指两两个个协协议议价价格格均均比比现现货货价价格格高高；；多头头实实值值期期权权加加空空头头虚虚值值期期权权组组合合，，指指多多头头期期权权的的协协议议价价格格比比现现货货价价格格低低，，而而空空头头期期权权的的协协议议价价格格比比现现货货价价格格高高；；两实实值值期期权权组组合合，，指指两两个个协协议议价价格格均均比比现现货货价价格格低低。。此外外，，一一份份看看跌跌期期权权多多头头与与一一份份同同一一期期限限、、较较高高协协议议价价格格的的看看跌跌期期权权空空头头组组合合也也是是牛牛市市差差价价组组合合，，如如图图13.7所所示示。。比较较看看涨涨期期权权的的牛牛市市差差价价与与看看跌跌期期权权的的牛牛市市差差价价组组合合可可以以看看，，前前者者期期初初现现金金流流为为负负，，后后者者为为正正，，但但前前者者的的最最终终收收益益可可能能大大于于后后者者。。2．．熊市市差差价价组组合合熊市市差差价价（（BearSpreads）组组合合刚刚好好跟跟牛牛市市差差价价组组合合相相反反，，它它可可以以由由一一份份看看涨涨期期权权多多头头和和一一份份相相同同期期限限、、协协议议价价格格较较低低的的看看涨涨期期权权空空头头组组成成（（如如图图13.8所示示））也也可可以以由由一一份份看看跌跌期期权权多多头头和和一一份份相相同同期期限限、、协协议议价价格格较较低低的的看看跌跌期期权权空空头头组组成成（（如如图图13.9所示示））。。看涨涨期期权权的的熊熊市市差差价价组组合合和和看看跌跌期期权权的的熊熊市市差差价价组组合合的的差差别别在在于于，，前前者者在在期期初初有有正正的的现现金金流流，，后后者者在在期期初初则则有有负负的的现现金金流流，，但但后后者者的的最最终终收收益益可可能能大大于于前前者者。。通过过比比较较牛牛市市和和熊熊市市差差价价组组合合可可以以看看出出，，对对于于同同类类期期权权而而言言，，凡凡““买买低低卖卖高高””的的即即为为牛牛市市差差价价策策略略，，而而““买买高高卖卖低低””的的即即为为熊熊市市差差价价策策略略，，这这里里的的““低低””和和““高高””是是指指协协议议价价格格。。两两者者的的图图形形刚刚好好与与X轴轴对对称称。。3．蝶式差价组合合蝶式差价（ButterflySpreads）组合是是由四份具有有相同期限、、不同协议价价格的同种期期权头寸组成成。若X1<X2<X3，且X2=（X1+X3）/2，则蝶蝶式差价组合合有如下四种种：看涨期权的正正向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看涨期权多多头和两份协协议价格为X2的看涨期权空空头组成，其其盈亏分布图图如图13.10所示；；看涨期权的反反向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看涨期权空空头和两份协协议价格为X2的看涨期权多多头组成，其其盈亏图刚好好与图13.10相反反；看跌期权的正正向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看跌期权多多头和两份协协议价格为X2的看跌期权空空头组成，其其盈亏图如图图13.11所示。看跌期权的反反向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看跌期权空空头和两份协协议价格为X2的看跌期权多多头组成，其其盈亏图与图图13.11刚好相反。。图13.10看涨期权权的正向蝶式式差价组合图图13.11看跌期期权的正向蝶蝶式差价组合合三、差期组合差期（CalendarSpreads）组组合是由两份份相同协议价价格、不同期期限的同种期期权的不同头头寸组成的组组合。它有四四种类型：一份看涨期权权多头与一份份期限较短的的看涨期权空空头的组合，，称看涨期权权的正向差期期组合。一份看涨期权权多头与一份份期限较长的的看涨期权空空头的组合，，称看涨期权权的反向差期期组合。一份看跌期权权多头与一份份期限较短的的看跌期权空空头的组合，，称看跌期权权的正向差期期组合。一份看跌期权权多头与一份份期限较长的的看跌期权空空头的组合，，称看跌期权权的反向差期期组合。看涨期权的正正向差期组合合的盈亏分布布情况见表13.3。表13.3看看涨期权的正正向差期组合合的盈亏状况况根据表13.3，我们可以画画出看涨期权权正向差期组组合的盈亏分分布图如图13.12所示。ST的范围

看涨期权多头的盈亏

看涨期权空头的盈亏

总盈亏

ST趋近ST―X―c1X―ST+c2趋近c2―c1ST=Xc1T―c1c2c2―c1+c1TST0趋近-c1c2

趋近c2―c1

用同样的分析析法我们可以以画出看跌期期权正向差期期组合的盈亏亏分布图如图图13.13所示。看跌期期权反向差期期组合的盈亏亏分布图正好好与图13.13相反，也从略略。四、对角组合合对角组合（DiagonalSpreads）是指由两两份协议价格格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不不同（T和T*，且T<T*）的同种期权权的不同头寸寸组成。它有有八种类型：：1．看涨期权的（（X1，T*）多头加（X2，T）空头组组合。表13.4看看涨期权权的正向差价价和差期组合合根据表13.4，我们可可以画出看涨涨期权的正向向差价和差期期组合的盈亏亏分布图如图图13.14所示。2.看涨期权权的（X1，T*）空头加（X2，T）多头组合。。其盈亏图与与图13.14刚好相反ST的范围(X1,T*)多头的盈亏(X2,T)空头的盈亏

总盈亏

ST趋近于ST―X1―c1X2―ST+c2趋近X2―X1+c2－c1ST=X2X2―X1+c1T―c1c2X2―X1+c2―c1+c1TST0趋近-c1c2

趋近c2―c1

3.看涨期权的（（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合。。4.看涨涨期权的（X2，T*）空头头加（X1，T）多头组组合，其盈亏亏分布图与图图13.15刚好相反。。5.看跌期权的（（X1，T*）多头头加（X2，T）空头组组合，其盈亏亏图如图13.16所示示。6.看跌期权的（（X1，T*）空头头加（X2，T）多头组组合，其盈亏亏图与图13.16刚好好相反。7.看跌期权的（（X2，T*）多头头加（X1，T）空头组组合，其盈亏亏图如图13.17所示示。8.看跌期权的（（X2，T*）空头加（X1，T）多头组合，，其盈亏图与与图13.17刚好相反。五、混混合期期权1．跨式组组合（（Straddle）：：由具具有相相同协协议价价格、、相同同期限限的一一份看看涨期期权和和一份份看跌跌期权权组成成。跨跨式组组合分分为两两种：：底部部跨式式组合合和顶顶部跨跨式组组合。。前者者由两两份多多头组组成，，后者者由两两份空空头组组成。。底部跨跨式组组合的的盈亏亏图如如图13.18所示示，顶顶部跨跨式组组合的的盈亏亏图与与图13.18刚好好相反反。2．条式组组合和和带式式组合合条式组组合（（Strip））由具具有相相同协协议价价格、、相同同期限限的一一份看看涨期期权和和两份份看跌跌期权权组成成。条条式组组合也也分底底部和和顶部部两种种，前前者由由多头头构成成，后后者由由空头头构成成。底部条条式组组合的的盈亏亏图如如图13.19所示示，顶顶部条条式组组合的的盈亏亏图刚刚好相相反。。带式组组合（（Strap））由具具有相相同协协议价价格、、相同同期限限的资资产的的两份份看涨涨期权权和一一份看看跌期期权组组成，，带式式组合合也分分底部部和预预部两两种，，前者者由多多头构构成，，后者者由空空头构构成。。底部带带式组组合的的盈亏亏图如如图13.20所示示，顶顶部带带式组组合的的盈亏亏图刚刚好相相反。。3．宽跨式式组合合。宽跨式式组合合（Strangle））由相相同到到期日日但协协议价价格不不同的的一份份看涨涨期权权和一一份看看跌期期权组组成，，其中中看涨涨期权权的协协议价价格高高于看看跌期期权。。宽跨跨式组组合也也分底底部和和顶部部，前前者由由多头头组成成，后后者由由空头头组成成。前前者的的盈亏亏图如如图13.21所示示。后后者的的盈亏亏图刚刚好相相反。。第三节节期权定定价的的理论论基础础一、弱弱式效效率市市场假假说与与马尔尔可夫夫过程程1965年年，法法玛（（EFFama））提出出了著著名的的效率率市场场假说说。该该假说说认为为，投投资者者都力力图利利用可可获得得的信信息获获得更更高的的报酬酬；证证券价价格对对新的的市场场信息息的反反应是是迅速速而准准确的的，证证券价价格能能完全全反映映全部部信息息；市市场竞竞争使使证券券价格格从一一个均均衡水水平过过渡到到另一一个均均衡水水平，，而与与新信信息相相应的的价格格变动动是相相互独独立的的，或或称随随机的的，因因此效效率市市场假假说又又称随随机漫漫步理理论。。效率市市场假假说可可分为为三类类：弱弱式、、半强强式和和强式式。弱式效效率市市场假假说认认为，，证券券价格格变动动的历历史不不包含含任何何对预预测证证券价价格未未来变变动有有用的的信息息，也也就是是说不不能通通过技技术分分析获获得超超过平平均收收益率率的收收益。。半强式式效率率市场场假说说认为为，证证券价价格会会迅速速、准准确地地根据据可获获得的的所有有公开开信息息调整整，因因此以以往往的价价格和和成交交量等等技术术面信信息以以及已已公布布的基基本面面信息息都无无助于于挑选选出价价格被被高估估或低低估的的证券券。强式效效率市市场假假说认认为，，不仅仅是已已公布布的信信息，，而且且是可可能获获得的的有关关信息息都已已反映映在股股价中中，因因此任任何信信息（（包括括“内内幕信信息””）对对挑选选证券券都没没有用用处。。效率市市场假假说提提出后后，许许多学学者运运用各各种数数据对对此进进行了了实证证分析析。结结果发发现，，发达达国家家的证证券市市场大大体符符合弱弱式效效率市市场假假说。。弱式效效率市市场假假说可可用马马尔可可夫随随机过过程（（MarkovStochasticProcess））来表表述。。所谓随随机过过程是是指某某变量量的值值以某某种不不确定定的方方式随随时间间变化化的过过程。。根据据时间间是否否连续续，随随机过过程可可分为为离散散时间间随机机过程程和连连续时时间随随机过过程，，前者者是指指变量量只能能在某某些分分离的的时间间点上上变化化的过过程，，后者者指变变量可可以在在连续续的时时间段段变化化的过过程。。根据据变量量取值值范围围是否否连续续划分分，随随机过过程可可分为为离散散变量量随机机过程程和连连续变变量随随机过过程，，前者者指变变量只只能取取某些些离散散值，，而后后者指指变量量可以以在某某一范范围内内取任任意值值。马尔可可夫过过程是是一种种特殊殊类型型的随随机过过程。。在这这个过过程中中，只只有变变量的的当前前值才才与未未来的的预测测有关关，变变量过过去的的历史史和变变量从从过去去到现现在的的演变变方式式与未未来的的预测测无关关。（一））标准准布朗朗运动动设代代表表一个个小的的时间间间隔隔长度度，代代表表变量量z在在时间内内的变变化，，遵循循标准准布朗朗运动动的具具有两两种特特征：：特征1：和和的的关关系满满足＝（（13.21）特征2：对对于任任何两两个不不同时时间间间隔，，的值相相互独独立。。从特征征1可可知，，本本身身也具具有正正态分分布特特征，，其均均值为为0，，标准准差为为，，方差差为。。从特征征2可可知，，标准准布朗朗运动动符合合马尔尔可夫夫过程程，因因此是是马尔尔可夫夫过程程的一一种特特殊形形式。。现在我我们来来考察察遵循循标准准布朗朗运动动的变变量z在一一段较较长时时间T中的的变化化情形形。我我们用用z（（T））－z(0)表表示变变量z在T中的的变化化量，，它可可被看看作是是在N个长长度为为的的小时时间间间隔中中z的的变化化总量量，其其中N=T/，，因因此，，（13.22））其中(i=1，2，………N）是是标准准正态态分布布的随随机抽抽样值值。从从特征征2可可知，，是相相互独独立的的，因因此z（T）-z（（0））也具具有正正态分分布特特征，，其均均值为为0，，方差差为Nt=T，，标准准差为为。。由此我我们可可以发发现两两个特特征：：在任意意长度度的时时间间间隔T中，，遵循循标准准布朗朗运动动的变变量的的变化化值具具有均均值为为0，，标准准差为为的正正态分分布。。对于相相互独独立的的正态态分布布，方方差具具有可可加性性，而而标准准差不不具有有可加加性。。当0时，我们们就可以得得到极限的的标准布朗朗运动：（13.23）（二）普通通布朗运动动为了得到普普通的布朗朗运动，我我们必须引引入两个概概念：漂移移率和方差差率。漂移移率（DriftRate）是指单位位时间内变变量z均值的变化化值。方差差率（VarianceRate）是指单位位时间的方方差。标准布朗运运动的漂移移率为0，方差率为为1.0。漂移率为为0意味着在未未来任意时时刻z的均值都都等于它它的当前前值。方方差率为为1.0意味着在在一段长长度为T的时间段段后，z的方差为为1.0T。我们令令漂移率率的期望望值为a,方差率的的期望值值为b2，就可得得到变量量x的普通布布朗运动动：从式（13.21）和和（13.24）可知知，在短短时间后后，x值值的变化化值为：：因此，Δx也具有正正态分布布特征，，其均值值为，，标准差差为，，方方差为。。同样样，在任任意时间间长度T后x值的变化化也具有有正态分分布特征征，其均均值为aT，标准差差为，，方方差为b2T。三、证券券价格的的变化过过程证券价格格的变化化过程可可以用普普遍布朗朗运动来来描述。。但由于于投资者者关心的的是证券券价格的的变动幅幅度而不不是变动动的绝对对值，因因此我们们可以用用证券价价格比例例的方式式来定义义证券价价格的布布朗运动动：（13.25））其中S表表示证券券价格，，μ表示示证券在在单位时时间内以以连续复复利计算算的期望望收益率率（又称称预期收收益率）），表表示示证券收收益率单单位时间间的方差差，表表示示证券收收益率单单位时间间的标准准差，简简称证券券价格的的波动率率（Volatility）），dz遵循标标准布朗朗运动。。从（13.21）和上上式可知知，在短短时间后后，，证券价价格比率率的变化化值为：：则可得（13.26）我们将在在下文证证明，衍衍生证券券的定价价与标的的资产的的预期收收益率是是无关的的。相反反，证券券价格的的波动率率对于衍衍生证券券的定价价则是相相当重要要的。应该注意意的是，，由于比比例变化化不具有有可加性性，因此我我们并不不能象以以前一样样推导出出在任意意时间长长度T后后证券价价格比例例变化的的标准差差为。。四、伊藤藤过程和和伊藤引引理普通布朗朗运动假假定漂移移率和方方差率为为常数，，若把变变量x的漂移率率和方差差率当作作变量x和时间t的函数，，我们可可以从公公式（13.24）得到伊伊藤过程程（ItoProcess）：（13.27）其中，dz是一个标标准布朗朗运动，，a、b是变量x和t的函数，，变量x的漂移率率为a，方差率率为b2。在伊藤过过程的基基础上，，伊藤进进一步推推导出：：若变量量x遵循循伊藤过过程，则则变量x和t的的函数G将遵循循如下过过程：（13.28）公式（13.28）就就是著名名的伊藤藤引理。。从式（13.25）中中，我们们可得：：（13.29）我们知道道，衍生生证券的的价格是是标的证证券价格格S和时时间t的的函数。。根据伊伊藤引理理，衍生生证券的的价格G应遵循循如下过过程：（13.30）比较式（（13.29）和(13.30)可看出，，衍生证证券价格格G和标的证证券价格格S都受同一一个基本本的不确确定性来来源dz的影响，，这点对对于以后后推导衍衍生证券券的定价价公式很很重要。。五、证券券价格自自然对数数变化过过程我们可用用伊藤引引理来推推导证券券价格自自然对数数lnS变化所遵遵循的随随机过程程。令我们就可可得出证证券价格格对数G所遵循的的随机过过程为：：令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当当前时刻刻）的证证券价格格，ST表示T时刻（将将来时刻刻）的证证券价格格，则在在T－t期间G的变化为为：lnST-lnS这意味着着：（13.31）根据正态态分布的的特性，，从式（（13.31））可以得得到：（13.32）这表明ST服从对数数正态分分布。lnST的标准差差与成比比例，这这说明证证券价格格对数的的不确定定性（用用标准差差表示））与我们们考虑的的未来时时间的长长度的平平方根成成正比。。这就解解决了前前面所说说的证券券价格比比例变化化的标准准差与时时间不成成正比的的问题。。根据式（（13.32））和对数数正态分分布的特特性,可可知ST的期望值值E(ST)为：这与作为为预期收收益率的的定义相相符。ST的方差var(ST)为:第四节布布莱莱克———舒尔斯斯期权定定价模型型一、布莱莱克———舒尔斯斯微分方方程推导布莱莱克———舒尔斯斯微分方方程需要要用到如如下假设设：证券价格格遵循几几何布朗朗过程，，即和为为常数；；允许卖空空标的证证券；没有交易易费用和和税收，，所有证证券都是是完全可可分的；；在衍生证证券有效效期内标标的证券券没有现现金收益益支付；；不存在无无风险套套利机会会；证券交易易是连续续的，价价格变动动也是连连续的；；在衍生证证券有效效期内，，无风险险利率r为常数数。实际上，有些些假设条件我我们可以放松松，如、和r可以是t的函数。（一）布莱克克——舒尔斯斯微分方程的的推导（13.35）（13.36）我们可以构建建一个包括一一单位衍生证证券空头和单单位标标的证券多头头的组合。令代表该投资组组合的价值，，则：（13.37）在时间后，该该投资组合的的价值变化为为：在没有套利机机会的条件下下：我们代入和和，，则可得著著名的布莱克克——舒尔斯斯微分分程：：布莱克——舒舒尔斯微分分分程适用于其其价格取决于于标的证券价价格S的所有有衍生证券的的定价。应该注意的是是，当S和t变化时，的值也会变化化，因此上述述投资组合的的价值并不是是永远无风险险的，它只是是在一个很短短的时间间隔隔中才是无风风险的。在一一个较长时间间中，要保持持该投资组合合无风险，必必须根据的的变化而而相应调整标标的证券的数数量。当然，，推导布莱克克——舒尔斯斯微分方程并并不要求调整整标的证券的的数量，因为为它只关心中中的变变化。（二）风险中中性定价原理理从上可以看出出受制于主观观的风险收益益偏好的标的的证券预期收收益率并未包包括在衍生证证券的价值决决定公式中。。这意味着，无无论风险收益益偏好状态如如何，都不会会对f的值产产生影响。于是，我们就就可以利用布布莱克——舒舒尔斯微分方方程所揭示的的这一特性，，作出一个可可以大大简化化我们工作的的简单假设：：在对衍生证券券定价时，所所有投资者都都是风险中性性的。这就是是风险中性定定价原理。为了更好地理理解风险中性性定价原理，，我们可以举举一个简单的的例子来说明明。（见书）二、布莱克———舒尔斯期期权定价公式式在风险中性的的条件下，欧欧式看涨期权权到期时（T时刻）的期望望值为：根据风险中性性定价原理，，欧式看涨期期权的价格c等于将此期期望值按无风风险利率进行行贴现后的现现值，即：（13.41）对式（13.41）右边边求值是一种种积分过程，，结果为：其中，由于欧式看涨涨期权和看跌跌期权之间存存在平价关系系,可得SN(d1)是Asset-or-notingcalloption的价价值,-e-rTXN(d2)是X份cash-or-nothing看涨涨期权空头的的价值。N(d2)是在风险中中性世界中期期权被执行的的概率，或者者说ST大于X的概率率，e-rTXN(d2)是X的风险险中性期望值值的现值。SN(d1)是得到ST的风险中性期期望值的现值值。是复制交易策策略中股票的的数量，SN（d1)就是股票的的市值,-e-rTXN(d2)则是复制交交易策略中负负债的价值。。三、有收益资资产的期权定定价公式（一）有收益益资产欧式期期权的定价公公式在收益已知情情况下，我们们可以把标的的证券价格分分解成两部分分：期权有效效期内已知现现金收益的现现值部分和一一个有风险部部分。当标的证券已已知收益的现现值为I时，我们只要要用（S－I）代替S即可求出固定定收益证券欧欧式看涨和看看跌期权的价价格。当标的证券的的收益为按连连续复利计算算的固定收益益率q（单位为年））时，我们只只要将代替S就可求出支付付连续复利收收益率证券的的欧式看涨和和看跌期权的的价格，从而而使布莱克———舒尔斯的的欧式期权定定价公式适用用欧式货币期期权和股价指指数期权的定定价。对于欧式期货货期权，布莱莱克教授也给给出了定价公公式：其中，例子见书.（二）有收益益资产美式期期权的定价1．美式看涨涨期权当标的资产有有收益时，美美式看涨期权权就有提前执执行的可能，，因此有收益益资产美式期期权的定价较较为复杂，布布莱克提出了了一种近似处处理方法。该该方法是先确确定提前执行行美式看涨期期权是否合理理，其方法我我们在本章第第一节已论述述过。若不合合理，则按欧欧式期权处理理；若在tn提前执行有可可能是合理的的，则要分别别计算在T时时刻和tn时刻到期的欧欧式看涨期权权的价格，然然后将二者之之中的较大者者作为美式期期权的价格。。在大多数情情况下，这种种近似效果都都不错。2．美式看跌期期权由于收益虽然然使美式看跌跌期权提前执执行的可能性性减小，但仍仍不排除提前前执行的可能能性，因此有有收益美式看看跌期权的价价值仍不同于于欧式看跌期期权，它也只只能通过较复复杂的数值方方法来求出。。第五节二二叉树期期权定价摸摸型由于美式看看跌期权无无法用布莱莱克——舒舒尔斯期权权定价公式式进行精确确定价，因因此要用其其它替代方方法，如二二叉树期权权定价模型型，该模型型是由科克克斯（J.Cox）、罗斯(S.Ross)和鲁宾斯坦坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出出的。一、无收益益资产期权权的定价二叉树模型型首先把期期权的有效效期分为很很多很小的的时间间隔隔，并假设设在每一个个时间间隔隔内证券价价格从开始始的S运动到两个个新值Su和Sd中的一个，，如图13.22所示。其中中，u>1，d<1，且u=1/d图13.22T时间内证券券价格的变变动为了对期权权进行定价价，二叉树树模型也应应用风险中中性定价原原理并假定定：（1）所有有可交易证证券的期望望收益都是是无风险利利率；（2）未来现金金流可以用用其期望值值按无风险险利率贴现现来计算现现值。S0u

ƒuS0d

ƒdS0

ƒp(1

–p)（一）参数数p、u和d的确定参数p、u和d的值值必须满足足这个要求求，即：根据本章第第2节的讨讨论，在一一个小时间间段内证券券价格变化化的方差是是。。根据方方差的定义义，变量X的方差等等于X2的期望值与与X期望值值平方之差差，因此：：由上可得，，（二）证券券价格的树树型结构应用二叉树树模型来表表示证券价价格变化的的完整树型型结构如图图13.23所示。图13.23证券价格的的树型结构构当时间为0时，证券券价格为S。时间间为t时，证券价价格要么上上涨到Su，要么下下降到Sd；时间为为2t时，证券价价格就有三三种可能：：Su2、Sud（（等于S））和Sd2，以此类推推。一般而而言，在时时刻it，证券价格格有i+1种可能，，它们可用用符号表示示为：其中j=0，1，2，……，，i（三）倒推推定价法由于在T时刻的期权权价值是已已知的。所以在二叉树模模型中，期期权定价从从树型结构构图的末端端T时刻开始，，采用倒推推法定价。。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5months=0.4167;Dt=1month=0.0833则可得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076据此我们可可以画出该该股票在期期权有效期期内的树型型图，如下下图：在时刻，股股票在第j个结结点点（（j=0，1，2，…………i）的的价价格格等等于于。。例例如如，，F结点点（（i=4，j=1）的的股股价价等等于于。。在在最最后后那那些些结结点点处处，，期期权权价价值值等等于于。。例例如如，，G结结点点的的期期权权价价格格等等于于50－－35.36=14.64。。从最最后后一一列列结结点点处处的的期期权权价价值值可可以以计计算算出出倒倒数数第第二二列列结结点点的的期期权权价价值值。。首首先先，，我我们们假假定定在在这这些些结结点点处处期期权权没没被被提提前前执执行行。。这这意意味味着着所所计计算算的的期期权权价价值值是是时时间间内内期期权权价价值值期期望望值值的的现现值值。。如E结点点处处的的期期权权价价值值等等于于：：而F结点点处处的的期期权权价价值值等等于于：：然后后，，我我们们要要检检查查提提前前执执行行期期权权是是否否较较有有利利。。在在E结点点，，提提前前执执行行将将使使期期权权价价值值为为0，所所以以不不应应提提前前执执行行。。而在在F结点点，，如如果果提提前前执执行行，，期期权权价价值值等等于于50.00－39.69元，，等等于于10.31元，，大大于于上上述述的的9.90元。。因因此此，，若若股股价价到到达达F结点点，，就就应应提提前前执执行行。。用相相同同的的方方法法我我们们可可以以算算出出各各结结点点处处的的期期权权价价值值，，并并最最终终倒倒推推算算出出初初始始结结点点处处的的期期权权价价值值为为4.48元。。（四四））美美式式看看跌跌期期权权的的定定价价公公式式其中中j=0，1，2，…………，，N假定定期期权权不不被被提提前前执执行行，，则则在在风风险险中中性性条条件件下下：：如果果考考虑虑提提前前执执行行的的可可能能性性的的话话，，式式中中的的必必须须与与期期权权的的内内在在价价值值比比较较，，由由此此可可得得：：按这这种种倒倒推推法法计计算算，，当当时时间间区区间间的的划划分分趋趋于于无无穷穷大大，，或或者者说说当当每每一一区区间间Dt趋于于0时，，就就可可以以求求出出美美式式看看跌跌期期权权的的准准确确价价值值。。根根据据实实践践经经验验，，一一般般将将时时间间区区间间分分成成30个就就可可得得到到较较为为理理想想的的结结果果。。二、、有有收收益益资资产产期期权权的的定定价价（一一））支支付付连连续续复复利利收收益益率率资资产产的的期期权权定定价价当标标的的资资产产支支付付连连续续复复利利收收益益率率q的收收益益时时，，在在风风险险中中性性条条件件下下，，证证券券价价格格的的增增长长率率应应该该为为r－q，因此此可可得得：：对于股价价指数期期权来说说，q为股票组组合的红红利收益益率；对对于外汇汇期来说说，q为国外无无风险利利率，因因此上式式也可用用于股价价指数和和外汇的的美式看看跌期权权的定价价。对于期货货期权来来说，布布莱克曾曾证明，，在对期期货期权权定价时时期货的的价格可可以和支支付连续续红利率率r的证券同同样对待待，因此此对于期期货期权权而言，，q=r，即：因此，也也就可用于于美式期期货看跌跌期权的的定价。。（二）支支付已知知