空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳

空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳知识的精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示.表8-4名称图形文字语百何々语日公理1/如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内AlBllAB公理2过小在同一直线上的三点有且只有一个平面ABC不共线AB,C且是唯一确定的公理2的推论推论1ZA/经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面若点A，则经过点A和直线a有且仅用一个平面推论2/*/两条相交直线确定一个平面albP 有且只有一个平面，使a,b推论3两条平行直线确定一个平面a“b 有且只有一个平面 ，使a,b公理3V \ .V_7/Pa?z如果两个不重合的平向有一个公共点，那么它们有且只什-条过该点的公共直线若PI,则I a,且Pa二、空间直线与直线的位置关系1.位置关系如表8-5所示.表8-5八 /位直大系相交（共面）平行（共面）异面图形/5^/1符号albPa//bal A,b,Ab公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异向直线小同在如何一个平面内2.公理4（平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行

3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）题型归纳及思路提示题型1证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”思路提示要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，TOC\o"1-5"\h\z思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上 ^例8.19如图8-73所示，平面ABEF平面ABCD四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，c 1 1BADFAB900,BCP—AD,BEP-AF.\o"CurrentDocument"2 =2求证：GD,F,E四点共面.分析证明四点共面，利用平面的确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明 DCFE相交与一点八、、.解析如图8-74所示，延长DC交AB的延长线与点G解析如图8-74所示，延长DC交AB的延长线与点G交AB的延长线于G,同理可得G'EG'BBEG'FG'AAF由BCP1AD,得GB=2GAG'BGB,故G'AGA,即GGCGDBC1 ,延长FEAD2k与G重合，因此，直线CD和EF相交与点G,即CDF,E四点共面.变式1如图8-75所示，已知ABCDABCD是正方体，点F在CC上，且A&FC,求证E,BF,D四点共面.图8-75变式2如图8-76所示，在六面体ABCDABGD中，上下底面均为正方形， DD1平面ABCD,DD1平面ABCIM证：AG与AC共面，BD与BD共面.图8-76例8.20如图8-77所示，空间四边形ABC由，EF,G分别在ABBCCD上，且满足AEEB=CF：FB=2：1,CGGD:3:1,过EF,G的平面交AD于H,连接EHHG(1)求AHHD(2)求证：EHFGBD三线共点.图8-77AECF解析 (1)因为————2,所以EF//AC又EF平面ACD所以EF//平面ACD而EF平面EFGHEBFB且平面EFGH平面ACDGH所以EF//GH而EF//AC所以AC/GH所以现-CG3即AHHD=3:1.HDGD'(2)证明：因为EF//GH且空1GH」所以EFwGH所以四边形EFG圉梯形.AC3'AC4,令EHIFGP,则PEH,PFG,,而EH平面ABDFG平面BCD平面ABDI平面BCDBQ所以PBD,,故EHFGBD三线共点.评注所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题 .实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题 .变式1如图8-78所示，正方体ABCDABCD中，E,F分别是ABAA的中点.求证：(1)ECD,F四点共面；(2)CEDF,DA三线共点.变式2如图8-79所示，点EF,CH分别是正方体ABCEKBCD的棱ABBCCC,CD的中点，证明：EFHGDC三线共点.题型2题型2截面问题思路提示截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCDABCD的棱长为1,P为BC的中点，Q为线段CC上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是 ^ (写出所以正确命题的编号).1一①当0CQ—时，S为四边形；2②当CQ—时，S为等腰梯形； 1③当CQ—时，S与CD的交点R满足C〔R—;3一.3④当一CQ1时，S为六边形；4⑤当CQ1时，S的面积为—.2分析本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直线确定一个平面.解析对于①②，因为正方体ABCEABCD的棱长为1,当CQ工时，PQ吏，这时过A,P,Q的截面2 2与正方体表面交与点D1,且PQPAR,截面S,如图8-81(a)所示，APD〔Q—,截面S为等21腰梯形，当0CQ一时，过A,P,Q三点的截面与正方体表面的交点在棱 DD1上，截面S为四边形，如2图8-81(b)所示，故①②正确；

③如图8-81 (c)所示，当CQ 3时，CR C1Q 1，又 CT=1,得 C1R -;4CTQC3 34 ④如图8-81(d)所不，当CQ—时，过点A,P,Q的平面截正方体所得的截面为五边形 APQRS5⑤如图8-81(e)所示当CQ1时，则过点A,P,Q的截面为A,P,Q,S,其截面为菱形，对角线SPJ2,AQJ3,所以S的面积为1.2/3-6AB,BAB,BiCi者防目交；AB,B1c1都垂直；AB,BiCi都相交;AB,BiCi都平行.变式1如图8-82所示，M是正方体ABCDABGD的棱DD的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线②过M点有且只有一条直线与直线③过M点有且只有一个平面与直线④过M点有且只有一个平面与直线其中真命题是().

A②③④B①③④C①②④D①②③变式2在棱长为1的正方体ABCDAiBCD,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1与F,得四边形BFD1E,给出下列结论：①四边形BFD1E有可能是梯形；②四边形BFD1E有可能是菱形；③四边形BFD1E在底面ABC呐的投影一一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直与平面BB1D1D;⑤四边形BFD1E面积的最小值为—.2其中正确的是（ ）A①②③④ B②③④⑤ C.①③④⑤ D①②④⑤题型3异面直线的判定思路提示判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.TOC\o"1-5"\h\z（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面 ^例8.22一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）.A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交解析假设a与b是异面直线，而c//a,则c显然与b不平行（否则c//b,则有a//b,矛盾），因此c与b可能相交或异面，故选B.评注判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法 ^变式1已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面，且l与n异面，则（ ）A.m与n异面B.m与n相交C. m与n平行D. m与n异面、相交、平行均有可能变式2已知a,b为不垂直的异面直线， 是一个平面，则a,b在上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是（写出所有正确的编号）.变式3若直线l变式3若直线l不平行于平面，且lA.内的所有直线与l异面B.C. 内存在唯一的直线与l平行D.例8.23如图8-83所示，已知两个正方形，贝1H）内不存在与l平行的直线内的直线与ABCD和DCEFl都相交不在同一个平面内，M和N分别AB和DF为平面MBEN,且平面MBEN平面MBEN,且平面MBEN与平面交于，由

平面DCEF，又AB//CD,所以AB//平面变式1在正方体ABCDABCD中，棱BB,CD的中点分别是A,D,F,H是否共面？并说明理由.F,H,如图8-84所示，判断点的中点，用反证法证明：直线ME与BN是异面直线.解析假设直线ME与BN共面，连接AN,NE,EB,则AB已知，两正方形ABCD和DCEF不在同一平面，故ABDCEF,又平面MBENI平面DCEFEN,所以AB//EN,又AB//CD//EF,所以EF//EN,这与EFIENE矛盾，故假设不成立，所以直线ME与BN不共面，直线ME与BN是异面直线.

附乩&4附乩&4最有效训练题1.下列命题正确的是（ ）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.下列四个命题：①若直线a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a,c是异面直线；②若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交；③若a//b,则a,b与c所成的角相等；④若ab,bc,则a//c,其中真命题的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1.设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）A.在平面内有且只有一条直线与直线 m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面 垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面 平行D.与直线m平行的平面不可能与平面 垂直.平行六面体ABCDABGDi中，既与AB共面也与CCi共面的棱的条数为（ ）A.3B.4C.5D.6.如图8-85所示，M是正方体ABCDAB1clD1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1c1都相交;②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1c1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1c1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1c1都平行;①②④D.①②③①②④D.①②③A.②③④B.①③④C.

抵的君NS抵的君NS.如图8-86所示，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A.ACBDB.AC//截面PQMNC.ACBDD.异面直线PM与BD所成的角为45o图8-86.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与直线AB,AD,AAi所成的角都相等，这样的直线l可以作条.如图8-87所示，是正方体的表面展开图，E,F,G,H分别是棱的中点，EF与GH在原正方体中的位置关系为 EE图8-8寸.下列命题中不正确的是①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；.在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是（写出所有正确结论的编号）论是（写出所有正确结论的编号）①能构