专题椭圆的焦点三角形

2222椭圆的焦点三角形一知识梳理定义：椭圆(双曲线)上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。'性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2cb212性质二：已知椭圆方程为—+—=1(a>b>0),两焦点分别为F,F,设焦点三角ab212形PFF中ZFPF=0,则S1212平形PFF中ZFPF=0,则S1212平PF2证明：记IPF\=r,1PF\=r，1122由椭圆的第一定义得ri+r=2a,・.(ri+J2=4a2・12I件PF2中，由余弦定理得:r2+r212一2rrcos0=(2c)2.12配方得：(r1+r2)2一2r1r2一2rrcos012=4c2.艮卩4a2一2rr(1+cos0)=4c2._2(a_2(a2-c2)_2b2..rr—一.121+cos01+cos0由任意三角形的面积公式得：SAF1PF2=1rrsin0=bSAF1PF2=1rrsin0=b2•血0212=b2•1+cos02.002sinco-22-b•0-b22cos2—2AF!PF2性质三：已知椭圆方程为—+——1(a>b>0),两焦点分别为F,F,设焦点三角a2b2122b2形PFF中ZFPF—0,则cos0>—-1—1-2e2.并且点P在y轴上是张角最大。i212a2证明：设PFi一ri，PF2一r2,则在AFiPF2中，由余弦定理得:r2+r2一FF2(r+r)2一2rr一4c24a2一4c2cos0—-421——12———12rr2rr12122rr12A.0A.0B.1C.3D.6圆的一个焦点，则其焦点，且ZFPF=60。，1)12求厶FPF的面积2)12求点P的坐标例3已知F圆的一个焦点，则其焦点，且ZFPF=60。，1)12求厶FPF的面积2)12求点P的坐标例3已知F、1y2=1(a>b>0)的两个焦点，椭圆上一点P使ZFPF=90。，12求椭圆离心率e的取值范围。由焦点三角形性质二，cos90o>1-2e2.1.练习题1上一点P与椭圆两个焦点F、F的连线互相垂直，则△FPF1212的面积为(A.20)B.22C.28D.242.1的左右焦点为F、1P是椭圆上一点，当△FPF的面积122b22b2>-1=-1=1-2e2.当切仅当r=r，即点p在y轴是cos0J+r、a212(F取的最小值，而角&取得最大值。二典型例题X2y2r例1如图把椭圆p+市=1的长轴AB分成8分，过每个分点作X轴的垂线交椭圆的上半2516P七个点，F是椭7PF+PF++PF解：只需取椭圆的另一焦点与P,P,……P七个点分别127连接，由结论1和对称性可知PFI+IPF+1|PF|=1x(14xPFI+IPF+1丨7丨2例2若P是椭圆羔+手=1上的一点，F、F是10064为1时，PFPF的值为()123-椭圆宁3-椭圆宁+y2=1的左右焦点为F「,P是椭圆上一点，当△FPF的面积12最大时，PF-PF的值为()12A.0B.2C.4D.-24.已知椭圆乂+y2=1(a>1)的两个焦点为F、F,P为椭圆上一点,a212且ZFPF二60。，则IPFI-1PFI的值为()1212142A.1B.—C.D.-3335.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F、F为焦点，点P在椭圆上,12直线PF1与丫倾斜角的差为90。，△严的面积是20，离心率为宁求椭圆的标准方程.6F,F是椭圆C:乂+兰=1的焦点，在C上满足PF丄PF的点P的个数为？TOC\o"1-5"\h\z128412A.0B.1C.3D.4x2y27椭圆h+牛=1的焦点为F、F，点P为其上的动点，当ZFPF为钝角时，点P横941212坐标的取值范围。8已知椭圆的两个焦点为F、F，过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPF为等12212腰三角形，则椭圆的离心率为()A至B^2-1C2-迈D迈-1229已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦4点在BC边上，则△ABC的周长是.10设F,F是椭圆+=1的左、右焦点，点M在椭圆上，若AMFF是直1212角三角形，则AMFF的