山东省济宁市时庄中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

山东省济宁市时庄中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是函数的极小值点，则=（

）(A)-16

(B)-2

(C)16

(D)2参考答案：D试题分析：,令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，由已知得，故选D.1考点：利用导数研究函数的单调性及极值.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.2.(12)已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（

）(A)

(B)

(C)

(D)3参考答案：D.因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.3.在△ABC中，BC=1，∠B=,△ABC的面积S=，则sinC=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D4.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）A．π B．4π C．π D．8π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意可得它的外接球与原正方体是同一个，由此算出外接球的半径R，结合球的体积公式即可算出该几何体外接球的体积，得到答案．【解答】解：∵三视图中的三个四边形都是边长为2的正方形∴题中的几何体与正方体有相同的外接球∴该外接球的直径2R=2，得R=，因此，该几何体外接球的体积为V==4，故选B．【点评】本题给出由正方体切出的多面体，在已知它的三视图的情况求其外接球的体积．着重考查了三视图的理解、正方体的外接球和球体积公式等知识，属于中档题．5.参考答案：D6.右图的程序框图是把k进制数a（共有n位数）化为十进制数b的程序框图，在该框图中若输入，则输出b的值为（

）A．290

B．294

C．266

D．274参考答案：B【知识点】算法和程序框图【试题解析】解法一：

，选B

解法二：

执行上图所示程序：

开始，输入，，；

，，

；，，不满足条件，进入循环；

，，，不满足条件，进入循环；

，，，不满足条件，进入循环；

，，，满足条件，跳出循环；

输出，结束。选B7.已知集合则为（）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.设，若，则

。参考答案：9.设且，则“函数”在R上是增函数”是“函数”“在上是增函数”的(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A10.在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于

（

）

A．256

B．510

C．512

D．1024参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1，则a20=

．参考答案：46【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知数列递推式分别取n=1，2，3，…，10，累加求得答案．【解答】解：由a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，得a2n﹣a2n﹣1=（﹣1）n，由a2n+1=a2n+n，得a2n+1﹣a2n=n，∴a2﹣a1=﹣1，a4﹣a3=1，a6﹣a5=﹣1，…，a20﹣a19=1．a3﹣a2=1，a5﹣a4=2，a7﹣a6=3，…a19﹣a18=9．又a1=1，累加得：a20=46．故答案为：46．12.设为空间直角坐标系内一点，点在平面上的射影的极坐标为（极坐标系以为极点，以轴为极轴），则我们称三元数组为点的柱面坐标．已知点的柱面坐标为，则直线与平面所成的角为．参考答案：等略13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知，，则cosA=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略14.已知函数恒成立，则实数a的取值范围是

。参考答案：a≤2

15.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是．参考答案：6x﹣8y+1=0【考点】直线的一般式方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】利用直线的平移变换、直线的对称性即可得出．【解答】解：设直线l的方程为：y=kx+b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y=k（x﹣3）+5+b，化为y=kx+b+5﹣3k，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，y=k（x﹣3﹣1）+b+5﹣2，化为y=kx+3﹣4k+b．又与直线l重合．∴b=3﹣4k+b，解得k=．∴直线l的方程为：y=x+b，直线l1为：y=x++b，设直线l上的一点P（m，b+），则点P关于点（2，3）的对称点P′（4﹣m，6﹣b﹣m），∴6﹣b﹣m=（4﹣m）+b+，解得b=．∴直线l的方程是y=x+，化为：6x﹣8y+1=0．故答案为：6x﹣8y+1=0．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的平移变换、直线的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售单价x与日销售量y之间的一组数据满足：，，，

，则当销售单价x定为（取整数）

元时，日利润最大．参考答案：717.若{an}，{bn}满足，，则{bn}的前2018项和为

．参考答案：∵，且∴∴的前2018项和为.故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等比数列；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1．由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．则bn=1+（n﹣1）?2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．19.2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启，这是体育与教育的强强联手，这是培养足球运动员的黄金摇篮，也是全国青少年足球的盛宴．组委会在某场联赛结束后，随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[64，70)，[70，76)，[76，82)，[82，88)，[88，94)，[94，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计这300名观众评分的中位数；（2）若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按区间[88，94)与[94，100]两部分按分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的概率．参考答案：解：（1）因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，则y＝84．（2）以样本的频率作为概率，评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间[88，94)的“足球迷”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间[94，100]的“足球迷”中抽取2人，记为a，b．从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94，100]上的概率．

20.若斜率为的两条平行直线，与曲线相切并至少有两个切点，且曲线上的所有点都在，之间（也可在直线，上），则把，称为曲线的“夹线”，把，间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为已知函数（Ⅰ）若点P横坐标为0，求图象在点P处的切线方程；（Ⅱ）试判断和是否是的“夹线”，若是，求；若不是，请说明理由；（Ⅲ）求证：函数的图象不存在“夹线”.参考答案：（Ⅰ）由，，，所以坐标为，图象在点P处的切线方程是即………………3分（Ⅱ）和是的“夹线”.由（Ⅰ）知是图象在点P处的切线.，.

在函数和中，当时，，，是函数和图象的一个切点.…4分当时，，，是函数和图象的另一个切点.和的图象相切且至少有两个切点.……5分同理可证和的图象相切且至少有两个切点.………6分对任意x∈R，，，

和是的“夹线”.……8分………9分（Ⅲ）证明：设的图象上任一点为,，，在点处的切线方程为…10分即，……12分时，当且仅当时取到，此时切线与的图象只有一个交点.

的图象和它在任一点处的切线至多只有一个切点.…………13分函数的图象不存在“夹线”.…………………14分21.已知，函数，（其中为自然对数的底数）．（1）判断函数在上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）若实数满足，求证：.参考答案：（2）解：∵，，，由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，．

ks5u

又，∴．

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．而，即方程无实数解．故不存在.

（3）证明：，由（2）知，令得.

略22.（本小