线性代数习题

综合测试题线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。a11a12a132a113a11a12a131.设D=a21a22a23=M≠0，则D1=2a213a21a22a23=a31a32a332a313a31a32a33()．A.－2MC.－6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=，C则A应满足()．A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则()．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|+|=0EBB.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵ab|=1，则-1=()．A，|AcddbdbC.ababA.B.D.cacacdcd5.设两个向量组Ls与Lt，则以下说法正确的选项是(

)．A.若两向量组等价，则

s=t

.B.若两向量组等价，则

r(

L

s)=

r(

L

t

)C.若

s=t

，则两向量组等价

.D.若

r(

L

s)=

r(

L

t)，则两向量组等价

.6.向量组

L

s线性有关的充分必要条件是

(

)．A.

L

s中最罕有一个零向量B.

L

s中最罕有两个向量对应重量成比率C.

L

s中最罕有一个向量可由其他向量线性表示D.s可由

L

s-1线性表示7.设向量组

1,

2,...,

m有两个极大没关组

i1,

i2

,...,

ir

与j1,

j2

,...,

js，则以下建立的是

(

)．A.r

与

s未必相等

B.r

+

s

=

mC.r

=

D.r

+

>8.对方程组

Ax

=b

与其导出组

Ax=o

，以下命题正确的选项是

(

)．A.Ax=o

有解时，Ax=b

必有解.Ax=o有无量多解时，Ax=b有无量多解.Ax=b无解时，Ax=o也无解.D.Ax=b有唯一解时，Ax=o只有零解.2x1x2x309.设方程组x2kx30有非零解，则k=()．x1x20A.2

B.3

C.-1

D.1阶对称矩阵

A

正定的充分必要条件是

(

)．A.|A|>0

B.存在

n

阶方阵

C使

A=CTCC.负惯性指标为零

D.各阶次序主子式均为正数二、填空题（本大题共

10小题，每题

2分，共

20

分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。四阶行列式D中第3列元素挨次为-1，2，0，1，它们的余子式的值挨次为5，3，-7，4，则D=．12.若方阵A知足A2=A，且≠，则|A|=.AE13.若A为3阶方阵，且|A|1，则|2A|=．2101214.设矩阵A2126的秩为2，则t=．31t415.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)=．设n元齐次线性方程组Ax=o，r(A)=r<n，则基础解系含有解向量的个数为个.17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为.18.设A为三阶方阵，其特点值为1，-1，2，则A2的特点值为.19.二次型f(x1,x2,x3)2x123x22x324x1x22x2x3的矩阵A=.12320.若矩阵A与B=024相像，则A的特点值为.003三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）1x11121.11x11的值.求行列式11y111111y111222.解矩阵方程：211X3.111623.求向量组=(1,1,2,3)，=(－1,－1,1,1)，=(1,3,3,5)，=(4,－2,5,6)的秩和一个极大线性没关组，并将其他向量用该极大没关组线性表示.2x1x2x3x41取何值时，方程组x12x2x34x42有解并求其通解（要求x17x24x311x4a用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.20025.已知A121,求A的特点值及特点向量，并判断A101可否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P–1=（对角形矩阵）．APΛ用配方法将以下二次型化为标准形：四、证明题（本大题共6分）27.设向量1(1,1,1),2(1,1,1),3(0,0,1)，证明向量组1,2,3是R3空间中的一个基.线性代数（经管类）综合试题二（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。2101.若三阶行列式131=0,则k=k21().A．1B．0C．-1D．-22.设A、B为n阶方阵,则(AB)2A2B2建立的充要条件是().A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的陪伴矩阵,则().A．A*n1B．A*AA．A*AnD．A*A1C1114.矩阵121的秩为2，则λ=().231A．2

B．1

C．0

D．

15.设

3×4矩阵

A的秩

r(A)=1

，

,

,

是齐次线性方程组

Ax=

o的三个线性没关的解向量，则方程组的基础解系为().A．,,B．,,C．,,D．,,6.向量1(1,2,3),2(2,2,2),3(3,0,k)线性有关,则().A．k=-4B．k=4C．k=-3D．k=37.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若c1u1c2u2是其导出组Ax=o的解,则有().A．1+c2=1B．1=c2C．1+c2=0D．1=2c2cccc8.设A为(n≥2)阶方阵，且A2=，则必有().nEA．A的行列式等于1B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于ED．A的特点值均为19.设三阶矩阵A的特点值为2,1,1，则A-1的特点值为().A．1,2B．2,1,1C．1,1D．1,1,12210.二次型f(x1,x2,x3)x122x223x32是().A．正定的B．半正定的C．负定的D．不定的二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11111.314=．89512.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=__________．11011013.设A=002,B=022,则ATB=．00200314.21．设A=,则A-1=5215.向量(1,2,5)表示为向量组1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)的线性组合式为．3x1x2x3016.假如方程组3x15x22x30有非零解,则k=．4x2kx3017.设向量(1,0,2)与(a,1,1)正交，则a=．1132218.已知实对称矩阵120,写出矩阵A对应的二次型A=23302f(x1,x2,x3)．10019.已知矩阵A与对角矩阵Λ=010相像，则A2=________．00120.设实二次型f(x1,x3,x3,x4)的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为．三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）xyyy21.计算行列式Dyxyy的值.yyxyyyyx1101122.设矩阵A=121，B=02，求矩阵A-1B.22321123k23.设矩阵A12k3，求k的值，使A的秩r(A)分别等于k231，2，3.111224.求向量组12,341,233,4的秩和一个1710141320极大线性没关组，并将其他向量用该极大线性没关组线性表示.x12x22x33x4025.求线性方程组2x13x2x32x40的基础解系，并用基础解x13x25x37x40系表示其通解.11126.已知矩阵A111，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使111P-1AP=Λ.四、证明题（本大题共6分）设向量组1,2,...,s线性没关，证明：向量组1,12,123,...,12...s也线性没关.线性代数（经管类）综合试题三（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.当()建立刻，n(n2)阶行列式的值为零.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有n(n1)2个元素等于零C.行列式最罕有一个(n1)阶子式为零D.行列式所有(n1)阶子式全为零2.已知A,B,C均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且知足ABC=E，则以下结论必然建立的是().A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则以低等式建立的是().A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBTD.|(AB)1|1|AB|4.以下矩阵不是初等矩阵的是().01101010A.0B.1C.2D.110025.设1,2,...,6是4维向量组，则1,2,...,6().线性没关B.最罕有两个向量成比率C.只有一个向量能由其他向量线性表示D.最罕有两个向量可由其他向量线性表示6.设A为m×n矩阵，且m<n，则齐次线性方程组Ax=o必().A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不可以确立7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又1(1,2,3,4)T,2(2,3,4,5)T是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是().A.(1,2,3,4)Tk(2,3,4,5)TB.(2,3,4,5)Tk(1,2,3,4)TC.(1,1,1,1)Tk(1,2,3,4)TD.(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T8.假如矩阵A与B知足()，则矩阵A与B相像.有同样的行列式B.有同样的特点多项式C.有同样的秩D.有同样的特点值,且这些特点值各不同样样9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是().A.|A|>0B.A的每一个元素都大于零C.rAnD.A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则().A.A与B相像B.A与B合同C.A与B等价D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1234103411.行列式20.141230设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为A(A1,A2,A3)，此中Aj(j1,2,3)是A的第j列，B(A32A1,3A2,A1),则|B|=.101113.已知矩阵方程AX=B，此中A=1，B=，则210X=.14.已知向量组1(k,1,1),2(1,k,1),3(1,1,k)的秩为2，则k=.15.向量(1,2,1,3)的长度=.16.向量(2,1,3)在基1(1,1,1),2(1,1,0),3(1,0,0)下的坐标为.17.设1,2,3是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)=.10118.设0是三阶矩阵A020的特点值，则a10a=.19.若f(x1,x2,x3)x122x22x322x1x24x1x36x2x3是正定二次型，则知足.设三阶矩阵A的特点值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|=.三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）30021.设三阶矩阵A=110，E为三阶单位矩阵.123求：(1)矩阵A-2E及|A-2|；(2)(A2E)1.E22.已知向量组1(1,2,2),2(2,4,4),3(1,0,3),4(0,4,2)求：(1)向量组的秩；向量组的一个极大线性没关组，并将其他向量用该极大线性没关组线性表示.x12x22x32x4223.讨论a为什么值时，线性方程组x2x3x41x2x33x4有解当x1ax1x2x35x41方程组有解时，求出方程组的通解.24.已知向量组1(1,1,2),2(2,a,4),3(1,1,a)，讨论该向量组的线性有关性.11025.已知矩阵A=430，102(1)求矩阵A的特点值与特点向量；(2)判断A可否与对角矩阵相像，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ.26.设二次型f(x1,x2,x3)x124x1x24x1x32x224x2x3x32(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.四、证明题（本大题共6分）27.已知A是n阶方阵，且(AE)2O，证明矩阵A可逆，并求A1.线性代数（经管类）综合试题四（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1251.三阶行列式1320，则a=25a().A.2B.3C.2D.-32.设A，B均为n阶非零方阵，以下选项正确的选项是().A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(AB)-1=B-1A-1C.若AB=O,则A=O或B=OD.|AB|=|A||B|3.设A11，B01，AB-BA=0112().A.1212C.121201B.101D.1001124.设矩阵A22t的秩为2，则().336A.t4=-4C.t是随意实数D.以上都不对5.设向量(1,0,1,2),(1,0,1,0)，则23().A.(1,0,5,4)B.(1,0,-5,4)C.(-1,0,5,4)D.(1,0,5,-6)6.向量组1(1,1,1),2(2,k,0),3(1,2,0)线性有关,则().A.k=-4B.k=4C.k=3D.k=27.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1+c2u2也是方程组Ax=b的解，则().A.c1+2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=cc2设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3)，,,是齐次线性方程组Ax=o的三个线性没关的解向量，则方程组Ax=o的基础解系为(

).A.

,

,

B.

,,C.

,

,

D.

,

,9.设三阶矩阵

A

的特点值为

1，1，2，则

2A+E的特点值为

(

).A.3，5

B.

1，2

，1，2

D.3，3，5阶对称矩阵

A

为正定矩阵的充分必要条件是

(

).A.

A

0

B.存在

n

阶矩阵

P，使得

A=

PTPC.负惯性指数为

0

D.各阶次序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。a1b11.102.02012.设A为三阶方阵，且|A|=2，A*是其陪伴矩阵，则|2A*|=.100，则(1A)1=13.设矩阵A020.003214.设(1,0,2),(2,1,0)，则内积(,)=.15.若向量3不可以由1,2线性表示，且r(1,2)=2，则r(1,2,3)=.x12x23x4316.设线性方程组2x15x22x34x44有解，则tx13x22x3x4t=.方程组x12x23x34x40的基础解系含有解向量的个数是.设二阶矩阵A与B相像，A的特点值为-1，2，则|B|=.10219.设二次型的矩阵A021,则二次型211f(x1,x2,x3)

.20.用正交变换将二次型

f(x1,x2,x3)

xTAx化为标准形为y12

5y22

y32，则矩阵

A

的最小特点值为

.三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）xy0...000xy...0000x...0021.计算n阶行列式D...................000...xyy00...0x1101122.解矩阵方程：121X20.0213123.考证1(1,1,1),2(0,2,1),3(1,1,1)是R3的一个基，并求向量(1,3,2)在此基下的坐标.设向量组1,2,3线性没关，令113,22223,3215233，试确立向量组1,2,3的线性有关性.x1x23x3x4025.求线性方程组3x1x23x35x40的基础解系，并表示x15x227x317x40其通解.20026.求矩阵A111的特点值和所有特点向量.113四、证明题（本大题共6分）设1,2,3是三维向量组，证明：1,2,3线性没关的充分必要条件是任一三维向量都可由它线性表示.线性代数（经管类）综合试题五（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。k111.行列式1k10,则k=().211A.1B.4C.-1或4D.-12.，，均n非零方，以下正确的选项是().ABCA.若AB=AC，B=CB.(-)2=A2-2AC+C2ACC.ABC=BCAD.|ABC|=|A||B|||C3.A，B均n方,等式(A+B)(A-B)=A2-B2建立的充分必要条件是().A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BAa11a12a13a11a12a134.若Pa21a22a232a212a222a23，初等矩P=().a31a32a33a31a32a33010010A.100B.001001100100100C.020D.0120010015.向量(1,1,2,3),(1,0,1,0),32().A.(-1,3,8,9)B.(1,3,8,9)C.(-1,0,8,6)D.(-1,3,9,8)6.以下正确的选项是().A.若存在一数k1,k2,⋯,km,使得k11k22...kmmo成立，向量1,2,...,m性有关.B.当k1=k2=⋯=km=0，k11k22...kmmo，向量1,2,...,m性没关.C.若向量1,2,3性有关，1,2,3,4性有关.D.若向量1,2,3性没关，1,2,3,4性没关.7.u1,u2是非次性方程Ax=b的两个解，若c1u1+c2u2是其出Ax=o的解，().A.c1+c2=0B.c1=c2C.c1=2c2D.c1+c2=18.性方程Ax=o只有零解的充分必要条件是().A.A的行向量性没关B.A的行向量性有关C.A的列向量性没关D.A的列向量性有关9.A23的特点0，A22A.122B.12C.124D.12

().24二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩A是秩矩，且二次型的正性指数3，二次型的范形().A.y2y2y2y2B.y2y2y2y212341234C.y12y22y32D.y12y22y32y42二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。12211.行列式333.54412.设A为三阶方阵，|A|=2，则|2A-1|=.13.设A013,B131.20532,则2A+B=214.设A12,B21.011，则(AB)-1=115.向量(2,1,3)的单位化向量为.16.设向量组1,2,...,m的两个极大没关组分别是i1,i2,...,ir和j1,j2,...,jt，r和t的关系是.11117.设向量组0,1,2的秩为2，则t=.24t18.设向量(1,2,2,0)与(k,1,0,2)正交，则k=.19.已知二次型f(x)x126x224x324x1x24x1x38x2x3，写出二次型f的矩阵A=.20.设三阶实对称矩阵的特点值为3,3,0，则A的秩r(A)=.三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）10a121.计算行列式D01b111c.111d013022.已知矩阵A=210，且A+X=XA，求X.002121123.设A=32a1，已知r(A)=2，求a,b的值.563bx1x2a124.已知线性方程组x2x3a2，(1)问常数1，2，3知足什么aaax3x1a3条件时，方程组有解(2)当方程组有无量多解时，求出其通解(用它的一个特解和导出组的基础解系表示).10125.设实对称矩阵A=011，求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ.112此中，Λ是对角矩阵.26.设二次型f(x1,x2,x3)x122x225x322ax1x22x2x3是正定二次型，求a的取值范围.四、证明题（本大题共6分）27.设向量组

1,

2,...,

m线性没关，

1可由

1,

2,...,

m线性表示，而2不可以由

1,

2,...,

m线性表示

.证明：向量组

1,

2,...,

m,

1

2线性没关

.综合测试答案综合试题一参照答案一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）题号答案

12345678910BDABBCCDDD二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）11.-15；12.0；13.4；14.t=-3；15.0；16.n-r；22017.(1,1,2)；18.1，1，4；19.231；,2,3.011三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）1x1111x11111x11xx0021.解：11y1=11y1111111y00yy1x100x00011001100xy01y1xy0y=x2y2.00000110011111222.解：令A=211,B=3.1116111100111100因为(AE)=2110100312101110010021011000110113333010111，因此A1111.23623600110111220220113321111由AX=B，得：X=A-1B=33.2366210122解：将已知向量按列组成矩阵，并对其进行行变换：11141114100700260113010001130013001.3002600000000因此，r(1,2,3,4)=3,极大没关组为1,2,3;47133.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：2111112142A121420537317411a0537a21214205373.0000a5若方程组有解，则r(A)r(A)，故a=5.当a=5时，连续施以初等行变换得：10164555A01373，原方程组的同解方程组为：55500000x41x6x155354x3=x4=0,得原方程组3x,x3,x4为自由未知量，令x37x255354453的一个特解：5.00x1x6x15354与导出组同解的方程组为：3x,x3,x4为自由未知x7x25354量，令x3分别取1,0，获得导出组的基础解系：x401165537，因此，方程组的所有解为：510014165553c13c27v5，此中，c1，c2为随意常数.55010001解：矩阵A的特点多项式为：200|EA|121(2)2(1)，101因此，A的特点值为：122,31.关于122，求齐次线性方程组(2EA)xo的基础解系，000101012EA101000，得基础解系：1,0，进而10100001矩阵A的对应于特点值122的所有特点向量为：关于31，求齐次线性方程组(EA)xo的基础解系，1001000EA111011，得基础解系：1，进而矩阵10000010A的对应于特点值31的所有特点向量为：c1(c0).1010因为三阶矩阵A有三个线性没关的特点向量1，0，1，011010200因此，A相像于对角矩阵，且P101,020.01100126.解：f(x,x,x3)x22x2x24xx4xx4xx12123121323=[x124x1(x2x3)4(x2x3)2]4(x2x3)2+2x22x324x2x3=(x2x2x)22x24x2x35x212323=(x12x22x3)22(x222x2x3x32)3x32=(x12x22x3)22(x2x3)23x32.y1x12x22x3x1y12y2令y2x2x3，即x2y2y3，y3x3x3y3得二次型的标准形为：y122y223y32.四、证明题（此题6分）11011027.证：因为11002020，因此1,2,3线性没关111001（方法多样），因此向量组1,2,3是R3空间中的一个基.综合试题二参照答案一、单项选择题（本大题共

10小题，每题

2分，共

20分）题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10答案

C

D

A

B

D

CB

B

DA二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1102111．12．13．11014．53252041015．1225316．-117．218．f(x1,x2,x3)x122x223x32x1x23x1x319.E20.y12y22y32y42二、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）x3yyyy1yyy21．解：原式=x3yxyy(x3y)1xyyx3yyxy1yxyx3yyyx1yyx22．解：方法1431得：A1531.6414311129因此，A1B53102310.64121413110方法2|A|=1211223431431A*531，A11A*=531641|A|6414311129因此，A1B53102310.641214131101111011方法3(AB)12102011132232100141329A1B310.41323．解：对矩阵A实行初等变换：123k123k02k23k30k1k1.0063k3k200(k2)(k1)123当k=1时，A000，矩阵A的秩r(A)=1；000126当k=-2时，A033，矩阵A的秩r(A)=2；000123k当k≠1且k≠-2时，A011，矩阵A的秩r(A)=3.00124．解：将所给列向量组成矩阵A，此后实行初等行变换：1112111212340122(1234)37100268114132003121811121112100201220122010200240012001，2001200000000因此，向量组的秩r(1,2,3,4)3，向量组的一个极大没关组为：1,2,3，且有4212223.．解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：与原方程组同解的方程组为：x14x35x4，此中x3,x4为自由未x23x34x4知量.45令x3分别取1034x4,得基础解系：v1,v2.01100145方程组的通解为：c1v1c2v2c13c241.（c1,c2为随意常数）00126．解：矩阵A的特点多项式为：111|EA|1112(3)，111得矩阵A的所有特点值为：120,33.关于120，求方程组(0EA)xo的基础解系.11111111Q111000得基础解系为11,20，，11100001将此线性没关的特点向量正交化，得：111122611111,2.再标准化，得：1,202261026关于33解方程组(3EA)xo.2111011Q121011，方程组的基础解系为31，112000113将其单位化，得：31.313111263000111令P=(1,2,3)，Λ=000，26300321063则P是正交矩阵，且P-1AP=Λ.四、证明题（本大题共6分）证：令k11k2(12)k3(123)...ks(12...s)o，整理得：因为1,2,...,s线性没关，因此k1k2...ks1ks0k10k20k2k3...ks0..............................................，解得：，ks10ks1ks0ks0ks0故1,12,123,...,12...s线性没关.综合试题三参照答案一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）题号答案

12345678910DBDBDCDDDC二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1115.1513.2116.(3,-4,3)19.5三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）30020010021.解：(1)A-2E=110020110123002121|A-2E|=-1；100100100100(2)Q110010010110121001021101100(A2E)1110.121解：(1)将所给向量按列组成矩阵A，此后实行初等行变换：121012101202240400240012.243200120000因此，向量组的秩r(1,2,3,4)2；向量组的一个极大没关组为：1,3，且有221,42123.解：对方程组的增广矩阵实行初等行变换：122221004001111011110000a10000.a10000000000若方程组有解，则r(A)r(A)2，进而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为：x114x4，x3,x4为自由未知量.x2x3x4令x3x40，得原方程组的一个特解：(0,1,0,0)T.导出组的同解方程组为：x14x4，x3,x4为自由未知量.x2x3x4令x3分别取1,0得导出组的基础解系：(0,1,1,0)T，(-4,1,0,x4011)T.因此，方程组的通解为：(0,1,0,0)T+c1(0,1,1,0)T+c2(-4,1,0,1)T，此中，c1，c2为随意常数.12112124.解：因为1a10a22(a2)(a6).24a08a2当a=2或a=-6时，向量组相性有关；当a≠2且a≠-6时，向量组线性没关.解：矩阵A的特点多项式为：110|EA|430(2)(1)2，102因此，A的特点值为：121,32.关于121，求齐次线性方程组(EA)xo的基础解系，2101011EA420012，得基础解系：2，进而矩10100011阵A的对应于特点值121的所有特点向量为：c2，(c≠0).1关于32，求齐次线性方程组(2EA)xo的基础解系，31010002EA410010，得基础解系：0，进而矩阵10000010A的对应于特点值32的所有特点向量为：c0(c0).1因为三阶矩阵A只有两个线性没关的特点向量，因此，A不能相像于对角矩阵.解：(1)利用配方法，将二次型化为标准形：=(xx2x)2(xx)25x2.13233y1x1x2x3x1y1y2令y2x2x3，即x2y2y3，y3x3x3y3得二次型的标准形为：y12y225y32.(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2.四、证明题（本大题共6分）27.证：由(AE)2O，得：A2+2A=-E，进而(A+2)=-,A(-A-2)=AEEEE因此A可逆，且A1A2E.综合试题四参照答案一、单项选择题（本大题共

10小题，每题

2分，共

20分）题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10答案

B

D

D

A

A

B

A

CD

D二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）20011.2b-4a；12.32；13.010；14.2；15.3；16.00231；17.3；18.-2；19.x122x22x324x1x32x2x3；20.-1三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）解：按第一列张开，得：xy...0y0...00x...0xy......(1)n1yn原式=x(1)n1yxn........................00...x00...y解：方法1110100100011011110010111.001221001221011因此，A1111，2210111111故，XA1B=1112022.2213113110解法2|A|=1211，021011011A*111，A11A*=111，221|A|2120111111因此，XA1B=1112022.221311310123．解：因为12140，因此1,2,3是R3的一个基；111令k11k22k33，对此方程组的增广矩阵施以初等行变换：1011101110032A121302040102，1112012300152得：k13,k22,k35，因此，312253.222224．解：令k11k22k33o,即k1(13)k2(2223)k3(215233)o，整理得：(k12k3)1(2k25k3)2(k12k23k3)3o.k12k30因为1,2,3线性没关，因此2k25k30，而此方程组有非零k12k23k30解，因此向量组1,2,3线性有关.解：对系数矩阵实行初等行变换：10330164，0000原方程组的同解方程组为：x13x33x4，此中x3,x4为自由未知x26x34x4量.33令x3分别取1,0得基础解系：v16,v24x401100133方程组的通解为：cvcvc6c4（1,c2为随意常数）10112212c01解：矩阵A的特点多项式为：200EA111(2)3，113因此A的特点值为1232.关于1232，解方程组(2EA)xo，因为000111(2EA)111000，111000可得方程组的基础解系为

1

(1,1,0)T，

2

(1,0,1)T

.故A

的对应于特点值

2的所有特点向量为

c11

c2

2(c1,c2不全为零).四、证明题（本大题共6分）27.证：必要性若1,2,3线性没关，设是随意一个三维向量，则1,2,3,线性有关，故可由1,2,3线性表示.充分性若随意一个三维向量都可由1,2,3线性表示，则单位向量组1,2,3可由1,2,3线性表示，进而1,2,3与1,2,3等价，因此r(1,2,3)=r(1,2,3)=3，进而1,2,