《微积分（第二版）》课件第四节全微分_第1页
《微积分（第二版）》课件第四节全微分_第2页
《微积分（第二版）》课件第四节全微分_第3页
《微积分（第二版）》课件第四节全微分_第4页
《微积分（第二版）》课件第四节全微分_第5页
已阅读5页，还剩9页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

一、全微分的定义二、函数可微的充分与必要条件第四节全微分则函数微分为当很小时第四节全微分问题导言：一元函数微分回顾例正方形面积改变量.

的线性主部高阶无穷小微分定义若函数改变量

由两部分组成.一部分是关于的线性主部,另一部分是比高阶的无穷小.一、全微分的定义

引例设矩形金属薄板长为x,宽为y,则面积S=xy.薄板受热膨胀,长自x0增加,宽自y0增加,其面积相应增加即其中

定义设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量可表示为其中A,B与无关，是比高阶的无穷小,则称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分,记作dz.即也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.

问题:(1)函数在什么下可微？(2)全微分表达式中的A，B

如何？

定理

若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则f(x,y)在该点的两个偏导数存在,并且A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).证因为f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则有取，此时，则有两边同除以，再令取极限，得二、函数可微的必要与充分条件这样,二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分可以表达为若规定.于是全微分又可写成

若函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可微,则称f(x,y)在域D内可微.且

定理如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)点可微,则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证根据函数可微的定义，有当时，有，所以z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.因此二元函数连续、偏导数与全微分之间关系

前述定理说明二元函数全微分存在一定连续,偏导数一定存在.反之则不然.例函数在原点(0,0)处的偏导数存在.且但在点(0,0)处不连续,故在(0,0)点是不可微的.下面的定理给出了函数z=f(x,y)可微的充分条件.

例函数,在点(0,0)处是连续的,但在(0,0)点偏导数不存在.故在(0,0)点是不可微的.

定理设函数z=f(x,y)在点(x,y)存在连续的偏导数则函数z=f(x,y)在点(x,y)可微.函数连续函数可导函数可微连续偏导数函数连续偏导数与全微分之间的关系例

求的全微分.解例

求在点(2,1)处的全微分.解由于是连续函数.所以在点(2,1)处的全微分为且三、全微分在近似计算上的应用函数值的近似公式例计算的近似值解由公式得近似公式

例某企业的成本C与产出的商品A和

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论