高中数学-导数及其应用单元检测

高中数学-导数及其应用单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)TOC\o"1-5"\h\z1.已知f(x)在x=x0处可导，则limxx0 x fx( )x0 2xA.1f'(x0)B,fz(0)o)2C.2f'(x。) D.4f'(xc).函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( )A.1A.1.已知P点在曲线F：y=x3—x上，且曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直,则点P的坐标为( )A.(1,1) B ,(-1,0)C.(-1,0)或(1,0)D.(1,0)或(1,1)4.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(一8,0]上是减函数，则实数a的取值范围是()A.a>3B.a<lC.a<5D.a>l5.设aCR,若函数f(x)=ex+ax,xCR有大于零的极值点，则( )A.C.6.a>-1B1

a A.C.6.a>-1B1

a D3a<-11a3已知f(x)=2x3—6x2+mm为常数)在［—2,2］上有最大值3,那么此函数在［—2,2］TOC\o"1-5"\h\z上的最小值是( )A.—37 B .—29C.-5 D .以上都不正确1 4.曲线y=1x3+x在点1,4处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( )A.1B.1C.1D.29 3 3.若函数f(x)=x3—3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A.(―2,2)B .[-2,2]C.(—8,—1)D.(1,+8).设f(x), g(x)是R上的可导函数，f' (x), g' (x)分别为f(x), g(x)的导函数，且满足f'(x)g(x)+f(x)g'(x)v0,则当avxvb时，有( )f(x)g(b)>f(b)g(x)f(x)g(a)>f(a)g(x)f(x)g(x)>f(b)g(b)f(x)g(x)>f(b)g(a).设函数y=f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 y=f'(x)的大致图象为( )二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上 ).函数f(x)=x2+x在点(2,f(2))处的切线方程为..函数£(刈=/—3/+3的单调递减区间为..函数f(x)=x+4在(0,+8)上的最小值为,此时x=.x.已知函数f(x)=alnx+x在区间［2,3］上单调递增，则实数a的取值范围是.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f"(x)=(f'(x))'.若f"(x)<0在D上恒成立，一■-一一一… 一■一兀^一一一……一则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在 0,-上不是凸函数的是.(把你认为不是的序号都填上)①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx—2x；③f(x)=—x3+2x—1;④f(x)=xex.三、解答题(本大题共2个小题，共25分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)3 2.(10分)设函数f(x)=6x+3(a+2)x+2ax.(1)若函数f(x)的两个极值点为xi,X2,且xiX2=1,求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得f(x)是(一8,十8)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．.(15分)某造船公司年造船量是 20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2—10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MPx).(提示：利润=产值一成本)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？参考答案.答案：A.答案：A从f'(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增、减、增、减，所以f(x)在(a,b)内只有一个极小值点..答案：C.答案：Bf'(x)=2x+2a—2,因为f(x)在(一8,0］上是减函数，所以f'(0)W0,即2a—2W0,a<i..答案：B因为f(x)=ex+ax,所以f'(x)=ex+a.若函数在xCR上有大于零的极值点，即f'(*)=6、+2=0有正根.当f'(x)=a+ex=0成立时，显然有a<0,此时x=ln(—a),由x>0,得参数a的范围为av—1.2.答案：Af(x)=6x—12x=6x(x—2).•1f(x)在(一2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，，当x=0时，f(x)最大=m|m=3.从而f(—2)=—37,f(2)=—5,•••最小值为一37..答案：B2.答案：Af(x)=3x—3=3(x+1)(x—1)...当xv—1时，f'(x)>0;当一1vx<1时，f'(x)<0;当x>1时，f'(x)>0,・•・当x=—1时，f(x)有极大值，当x=1时，f(x)有极小值.要使f(x)有3个不同的零点，只需f1 0,解得—2vav2.f1 0,.答案：C令y=f(x)•g(x),贝Uy'=f'(x)•g(x)+f(x)•g'(x),由于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,所以y在R上单调递减，又xvb,故f(x)g(x)>f(b)g(b)..答案：D由函数y=f(x)的图象知，当xC(—oo,0)时，f(x)单调递减，故f'(x)<0;当x>0时，f(x)先增，再减，然后再增，故f'(x)先正，再负，然后再正.故选D..答案：5x-y-4=0.答案：(0,2).答案：42a.答案：［—2,+8) .f(x)=alnx+x,..f(x)=—~F1.x又•••f(x)在［2,3］上单调递增，aa+1>0在xe［2,3］上恒成立，x•・a封(一x)max=—2'..aC［—2,+°°)・…、… —_ _ Tt . ... ， ,、.答案：④ 对于①，f (x)=—(sinx+cosx), x0,— 时，f(x)<0 恒成2

立;对于②,(x) 12,在xx0,—立;对于②,(x) 12,在xx0,—时，f(x)<0恒成立;对于③，f〃(x)=—6x,在x0,；时，f〃(x)V0恒成立;对于④，f〃(x)=(2+x)ex在x0,时，f"(x)>0恒成立,所以f(x)=xex不是凸函数..答案：分析：(1)极值点是f'(x)=0的根，利用根与系数的关系解决即可.(2)f(x)是(一8,+8)上的单调函数之方程「(x)=0的判别式AW0.2解：f(x)=18x+6(a+2)x+2a..xi,x2是函数f(x)的两个极值点，・•.f'(xi)=f'(刈)=0,即xi,x2是18x2+6(a+2)x+2a=0的两个根，2a从而xix2=——=1,•-a=9.18,「A=36(a+2)2—4X18X2a=36(a2+4)>0,「•不存在实数a,使得f(x)是(一8,+8)上的单调函数.17.答案：分析：(1)将R(x)与C(x)的关系式代入P(x)=Rx)—C(x)即可；然后将P(x)关系式代入边际利润函数 MPx)即可.(2)利用用导数求其定义域上最值的方法求最大值.(3)利用用导数求单调区间的方法求单调区间.解：(1)Rx)=R(x)—Qx)=—10x3+45x2+3240x—5(xCN*且1<x<20);MPx)=Rx+1)—P(x)=—30x2+60x+3275(xCN*且1WxW19)., . 2P'(x)=—30x+90x+3240=-30(x-12)(x+9),,.x>0,P'(x)=0时,x=12,・••当0vxv12时，P'