北师版八年级数学下册教案

北师版八年级数学下册教案全套第一章三角形的证明1等腰三角形第1课时全等三角形及等腰三角形的性质1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理．2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式．3．掌握等腰三角形性质定理的推论．重点掌握等腰三角形的性质定理及推论．难点证明等腰三角形的相关性质．一、复习导入1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：(1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；(3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；(4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；(5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)．2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明．3．回忆全等三角形的性质．二、探究新知1．等腰三角形的性质定理问题1：什么是等腰三角形？问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来．问题3：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质．引导学生得出等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”)问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D.证法一：取BC的中点D，连接AD.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB＝AC,BD＝CD,AD＝AD))⇒△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C.证法二：作∠BAC的平分线AD交BC于点D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB＝AC,∠1＝∠2,AD＝AD))⇒△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C.归纳等腰三角形的性质定理：等边对等角．用几何语言描述为：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.2．等腰三角形性质定理的推论师：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？处理方式：引导学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．简称为等腰三角形的“三线合一”．三、举例分析例在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．处理方式：引导学生分析求解方法，学生动手求解并写出过程．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC,∠A＝∠ABD.设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.四、练习巩固1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为()A．2B．3C．4D．52．在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是()A．①②⑤B．①②③C．①④⑥D．②③④3．如图，已知AC＝EF，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．eq\o(\s\up7(,第3题图),第4题图)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE.五、课堂小结1．等腰三角形的性质定理是什么？2．等腰三角形性质定理的推论是什么？六、课外作业1．教材第3～4页“随堂练习”第1、2题．2．教材第4～5页习题1.1第1～6题．本节课根据学生已有活动经验，经历“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，使学生自主探究，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果．当然，在探索等腰三角形的性质的活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整．第2课时等边三角形的性质1．了解等腰三角形中线、高线和角平分线的性质．2．掌握等边三角形的性质．3．经历等腰三角形的中线、高线、角平分线的性质探索过程，体会性质证明的严谨性．重点掌握等边三角形的性质定理．难点用等边三角形、等腰三角形的有关性质解决问题．一、复习导入在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？二、探究新知1．等腰三角形中线、高线和角平分线的性质(1)引导学生在等腰三角形中自主画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明．注意给予适度的引导，如可以依次提出问题：①你可能得到哪些相等的线段？②你如何验证你的猜测？③你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；④还可以有哪些证明方法？学生通过自主探究和同伴的交流，一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形腰上的高相等；③等腰三角形腰上的中线相等．并对这些命题给予多样的证明，如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE.证法1：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．∵∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB＝∠ABC，BC＝CB，∠1＝∠2，∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等).证法2：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠3＝∠4.在△ABD和△ACE中，∵∠3＝∠4，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．(2)请学生思考：除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？课件出示教材第5～6页“议一议”．说明：这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．2．等边三角形的性质课件出示教材第6页“想一想”．引导学生得出：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC.求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．同理：∠C＝∠A，∴∠A＝∠B＝∠C(等量代换)．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.三、练习巩固1．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.2．教材第6页“随堂练习”第1、2题．四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、课外作业教材第7页习题1.2第1～4题．本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些学生而言，完成全部这些学习任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少“议一议”一些变式内容，将角的多等分线内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开．第3课时等腰三角形的判定1．探索等腰三角形的判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．4．培养学生的逆向思维能力．重点掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．难点理解和掌握反证法的证明方法．一、复习导入问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2：我们是如何证明上述定理的？问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？二、探究新知1．等腰三角形的判定定理师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流．处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D.∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠CDA＝90°.在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C,∠BDA＝∠CDA,AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C,∠BAD＝∠CAD,AD＝AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．(教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．)师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的．引导学生归纳等腰三角形的判定定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．简述为：等角对等边．2．反证法课件出示：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论．师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示)如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.师：你能理解他的推理过程吗？师出示“反证法”的定义：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．三、举例分析例1已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，∴△ABD≌△DCA.∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)．∴AE＝DE(等角对等边)．∴△AED是等腰三角形．例2(课件出示教材第9页例3)处理方法：学生独立完成，教师点评．四、练习巩固1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形()A．6个B．5个C．4个D．3个,第2题图),第3题图)3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，又DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4cm，AE＝5cm，则AC等于()A．5cmB．4cmC．9cmD．1cm五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．2．教材第9～10页习题1.3第1～4题．本节课的主要内容是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明．这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一．第4课时等边三角形的判定1．理解等边三角形的两个判定定理及其证明．2．理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明．3．能利用等边三角形的两个判定定理解决一些简单的问题．重点等边三角形判定定理及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．难点含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．一、复习导入1．等腰三角形的性质有哪些？2．等腰三角形的判定定理是什么？师：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？如何判定一个三角形是等边三角形呢？二、探究新知1．等边三角形的判定定理师：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？处理方式：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：性质判定的条件等边三角形等边对等角“三线合一”即等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高线互相重合等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°有一个角是60°的等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形2.含30°角的直角三角形的性质定理师：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形——含30°角的直角三角形．师：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？并说明理由．解：能拼出一个等边三角形．方法1：∵△ABD≌ACD，∴AB＝AC.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ABD＝60°，∴三角形ABC是等边三角形．方法2：∵∠B＝∠C＝60，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC是等边三角形．师：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系？有哪些线段存在倍数关系？你能得到什么结论？说说你的理由．处理方式：如果学生不能很快得出30°角所对直角边是斜边的一半，教师可以要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论．然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°.求证：BC＝eq\f(1,2)AB.分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD(如图所示)．∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)AB.三、举例分析例等腰△ABC的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长．分析：在Rt△ADC中，AC＝2a，观察图形可以发现∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD.解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°，∴∠DAC＝∠ABC＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2a＝a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．四、练习巩固1．下列命题：①有两个角相等的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有________．(填序号)2．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，求AB，BC的长．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第12页“随堂练习”．2．教材第12～13页习题1.4第1～5题．本节课的难点在于探究直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得了较好的效果．2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．掌握直角三角形的性质定理及判定定理．2．掌握勾股定理及其逆定理．3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题．重点掌握直角三角形的性质定理及判定定理，勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理．难点勾股定理及其逆定理的证明．一、情境导入师：下图是2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？师：本节课就让我们继续学习与直角三角形有关的知识．二、探究新知1．直角三角形的性质师：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？引导学生得出：(1)直角三角形的两锐角互余．(2)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．师：上节课我们已经证明了定理3，那么你知道定理1、2是如何证明的吗？师：实际上，我们利用基本事实和已有定理也能够证明勾股定理，请同学们打开教材第16页，阅读“读一读”，了解利用基本事实和推导出的定理，证明勾股定理的方法．师：(学生阅读完毕后)目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，课下请同学们搜集一下勾股定理证明的方法.2．直角三角形的判定问题1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？请说明理由.问题2：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个学生同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个学生分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结．你知道这样做的理由吗？你能证明此命题吗？3．命题的互逆关系(1)师：观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(如果两个角是对顶角，那么它们相等；,如果两个角相等，那么它们是对顶角.))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；,如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(一个三角形中相等的边所对的角相等；,一个三角形中相等的角所对的边相等.))师：你能给它们下一个确切的定义吗？(2)想一想：你能写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？如果一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？师：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们把这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．师：你还能举一些互逆定理的例子吗？三、举例分析例如图，BA⊥DA于点A，AD＝12，DC＝9，CA＝15，求证：BA∥DC.分析：利用勾股定理的逆定理，证明∠D是直角，再根据同旁内角互补，两直线平行解决．四、练习巩固1．已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26.则四边形ABCD的面积为________．3.在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.(1)求DC的长；(2)求AB的长；(3)求证：△ABC是直角三角形．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第16页“随堂练习”第1～3题．2．教材第17～18页习题1.5第1～5题．本节课学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不太准确，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导．使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距．所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导．第2课时直角三角形全等的判定1．掌握并利用“HL”定理解决实际问题．2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性．重点直角三角形“HL”判定定理的理解及运用．难点证明“HL”定理的思路的探究和分析．一、复习导入1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形．二、探究新知1．猜想师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等．2．探究课件出示教材第18页“做一做”．已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．已知：如图，线段a，c(a<c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.画图过程展示：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；(2)在射线CM截取CB＝a；(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；(4)连接AB，得到Rt△ABC.思考：通过刚才的画图，你有什么发现？3．总结师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．4．证明师：你能证明这个命题是真命题吗？处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程．证明过程展示：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2(勾股定理)．∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．师：通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一定理简述为“斜边、直角边”或“HL”．三、举例分析例(课件出示教材第20页例题)处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚地表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程．分析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题．依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠B和∠F的大小关系．解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠B＝∠DEF.∵∠DEF＋∠F＝90°，∴∠B＋∠F＝90°.四、练习巩固1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．2．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．2．教材第21页习题1.6第1～5题．本节课讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力.3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质与判定1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．重点线段的垂直平分线的性质定理、判定定理的理解及应用．难点线段的垂直平分线的性质定理、判定定理的证明和应用．一、情境导入课件出示：如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．二、探究新知1．线段的垂直平分线的性质师：你能用公理或学过的定理证明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”吗？处理方式：引导学生分析并写出已知、求证的内容．已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．求证：PA＝PB.分析：要证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．2．线段的垂直平分线的判定师：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？处理方式：引导学生分析证明过程，有如下三种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB.求证：点P在AB的垂直平分线上．证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC.∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC＝BC.即点P在AB的垂直平分线上．证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝∠90°，即PC⊥AB.∴点P在AB的垂直平分线上．证法三：过点P作∠APB的角平分线．∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上．师：从刚才的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称为线段垂直平分线的判定定理．归纳：(1)线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．(2)到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此只需作出这样的两个点即可作出线段的垂直平分线．三、举例分析例已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．同理，点O在线段BC的垂直平分线上．∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．说明：学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法，并给出完整的证明过程．四、练习巩固1．如果平面内的点C，D，E到线段AB的两端点的距离相等，则点C，D，E均在线段AB的________．2．设l是线段AB的垂直平分线，且CA＝CB，则点C一定________．五、课堂小结通过这节课的学习，你有哪些新的收获？还有哪些困惑？六、课外作业1．教材第23页“随堂练习”．2．教材第23～24页习题1.7第1～4题．在本节课的教学中，教师要善于引导学生从问题出发，根据观察：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴，先得出猜想：线段的垂直平分线与河边所在直线的交点就是码头所在位置，然后再证明码头到线段的两个端点的距离相等即可．讲解时注意要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透．第2课时三角形三边垂直平分线的性质1．能够证明三角形三边垂直平分线的相关结论．2．能够利用尺规作已经底边及底边上的高的等腰三角形．重点掌握三角形三边垂直平分线的性质．难点会用所学知识按要求作图．一、复习导入活动一：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示作图过程)引导学生得出：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．活动二：下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．师：这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．二、探究新知1．三角形三边垂直平分线的性质(1)教师引导学生分析，寻找证明方法．师：我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．我们不妨再来看一下作图过程，或许你能从中受到启示．通过回顾作图过程，引导学生认同：两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点”，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．(2)师生共同分析，完成证明．处理方式：讨论结束后，学生书写证明过程．教师点评，注意几何符号语言的规范性．已知：在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：点P在AC的垂直平分线上．证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理PB＝PC.∴PA＝PC.∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P.师：从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？(交点P到三角形三个顶点的距离相等)(3)多媒体演示我们得出的结论：定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．按要求作图(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？处理方式：学生通过小组讨论得出结论，并尝试作出草图，验证自己的结论．解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个．已知：三角形的一条边a和这边上的高h，求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h.从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．说明：不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上排除．(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．已知：线段a，h.求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h.作法：①作BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；③以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于点A；④连接AB，AC.∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．三、练习巩固1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是()A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条垂直平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条高的交点2．已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是________．4．如图，有A，B，C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置．(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、课外作业1．教材第26页“随堂练习”．2．教材第26～27页习题1.8第1～4题．本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好．4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理1．会证明角平分线的性质定理及其逆定理．2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．3．经历探索、猜想、证明的过程使学生掌握研究解决问题的方法．重点会证明角平分线的性质定理及其逆定理．难点正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明．一、复习导入我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，从折纸过程中，我们可以得出：角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗？二、探究新知1．角平分线的性质定理师：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP，∠PDO＝∠PEO＝90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．说明：教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导．2．角平分线性质定理的逆定理师：你能写出这个定理的逆命题吗？引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．师：它是真命题吗？你能证明它吗？强调：没有加“在角的内部”时，是假命题．处理方式：由学生自己独立思考完成，再全班讨论交流，对困难学生可个别辅导．证明如下：已知：如图，在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠POD＝∠POE(全等三角形的对应角相等)．师：逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理．三、举例分析例如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE＝DF,求DE的长．处理方式：师生共同分析，写出证明过程．解：∵DE⊥AB,DF⊥AC,且DE＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10,∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×10＝5.四、练习巩固1．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AD＝4cm，则DE的长为()A．2cmB．3cmC．4cmD．8cm2．如图，AP平分∠BAC，∠C＝90°，若PC＝2cm，则点P到AB边的距离是________cm.3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DM⊥AB，DN⊥AC，求证：BM＝CN.五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第29页“随堂练习”第1、2题．2．教材第30页习题1.9第1～4题．教学时，采用“实验—猜想—验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意．第2课时角平分线性质定理及判定定理的应用1．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．2．培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．重点综合运用角平分线的判定定理和性质定理解决几何中的问题．难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．一、情境导入1．通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？2．能证明自己发现的结论一定正确吗？学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明．二、探究新知1．课件出示：已知：如图，在△ABC中，角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P.证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理：PE＝PF.∴PD＝PF.∴点P在∠BAC的平分线上．师：在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？(PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．)2．比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形交于三角形内一点交于三角形外一点交于斜边的中点交于三角形内一点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等三、举例分析例如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4cm.∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC.∵∠C＝90°，∴∠B＝eq\f(1,2)×90°＝45°.∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴BE＝DE.在等腰直角三角形BDE中BD＝eq\r(2DE2)＝4eq\r(2)cm(勾股定理)，∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4eq\r(2))cm.(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)，∴AC＝AE.∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.四、练习巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2则点D到线段AB的距离为________．2.如图，已知AD⊥OB于点D，BC⊥OA于点C，AD，BC相交于点E，且EA＝EB.求证：EO为∠AOB的平分线．3．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？五、课堂小结谈谈你这节课有什么收获？六、课外作业1．教材第31页“随堂练习”．2．教材第32页习题1.10第1～4题．本节课对学生能力的要求很高，教师要善于利用教材中的典型例题加以发挥，使例题的以点带线、以线带面功能得以体现，达到举一反三的功效．如果课堂时间允许，还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解．

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1不等关系1．理解不等式的意义．2．能根据条件列出不等式．3．通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与生活的密切联系，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣．重点用不等关系解决实际问题．难点正确理解题意列出不等式．一、情境导入问题1：根据图片你能目测东方明珠和金茂大厦哪一个高吗？问题2：换个角度看看呢？(1)结论：东方明珠高．(2)结论：金茂大厦高．师：因为东方明珠高468米，金茂大厦高420.5米，所以东方明珠比金茂大厦高.由此可见目测会得出错误结果，只能根据它们的实际高度比较高低．师：比较两个实数的大小的依据是什么呢？二、探究新知师：既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，那么，如何用式子表示不等关系呢？课件出示：如图，用两根长度均为lcm的绳子分别围成一个正方形和一个圆．(1)如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？(2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？(3)当l＝8时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12呢？改变l的取值再试一试．由此你能得到什么猜想？处理方式：师生共同分析，解答问题．解：(1)根据题意可知，所围成的正方形的面积可以表示为(eq\f(l,4))2，要使正方形的面积不大于25cm2，则l满足关系式(eq\f(l,4))2≤25，即eq\f(l2,16)≤25.(2)根据题意可知，圆的面积可以表示为π(eq\f(l,2π))2.要使圆的面积不小于100cm2，则l满足关系式π(eq\f(l,2π))2≥100，即eq\f(l2,4π)≥100.(3)当l＝8时，S正方形<S圆，当l＝12时，S正方形<S圆．我们可以猜想，正方形的周长和圆的周长均为lcm时，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积．三、举例分析例1铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式．处理方式：学生分析题意，自主完成．分析：题目中不等关系：长＋宽＋高不超过160cm.解：根据题意，得a＋b＋c≤160.例2通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位．某树栽种时的树围为6cm,以后10年内每年增加约3cm，设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式．处理方式：学生分析题意，自主完成．分析：题目中不等关系：栽种时树围＋x年增长树围>30cm.解：依题意得，6＋3x＞30.师：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？师生共同分析，归纳总结：一般地，用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．归纳：第一类——明显的不等关系关键词语大于超过比……大小于低于比……小不大于不超过至多不小于不低于至少大于或小于不等号＞0＜0≤0≥0≠第二类——隐含的不等关系关键词语正数负数非负数非正数不等号＞0＜0≥0≤0四、练习巩固1．下面给出了5个式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2≤3，其中不等式有()A．2个B．3个C．4个D．5个2.用适当的符号表示下列关系：(1)a与b的差是非负数；(2)三角形两边之和大于第三边．3．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：原料甲种原料乙种原料维生素C含量/(单位：千克)600100现在用这两种原料10千克配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式．五、课堂小结谈谈你这节课有什么收获？六、课外作业1．教材第38页“随堂练习”第1、2题．2．教材第38～39页习题2.1第1～4题．本节课利用相等关系的知识作基础，学生已经知道用等号连接表示相等关系的式子叫等式，不难给出不等式的定义，从而培养学生总结归纳的能力．借助问题向学生渗透“类比”的数学思想，为以后学习不等式的其他知识奠定思想方法基础．2不等式的基本性质1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同．2．掌握不等式的基本性质．重点掌握不等式的基本性质，并能运用性质将不等式变形．难点能正确运用不等式的性质将不等式变形．一、复习导入1．观察下面这几个式子，回答什么是等式．x＋2y＝3，eq\f(2,3)m2－2n＝0，x＋2＝y.2．等式有哪些性质？3．从上面的回忆可知，等式有两条基本性质，那么不等式有没有类似的性质呢？师：我们今天的主要任务就是研究不等式有哪些性质．二、探究新知1．探讨不等式的性质1仿照下表，分组探讨，找出规律：不等式不等式的两边都加(或减)同一个数结果与原不等式比较不等号的方向是否改变了7＞4加512＞9没有改变－3＜4减7－10＜－3没有改变…………通过上面的探讨，我们可以得出不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变．这个性质可以用数学语言表示为：如果a＜b，那么a±c＜b±c；如果a＞b，那么a±c＞b±c.2．探讨不等式的性质2仿照下表，分组探讨，找出规律：不等式不等式的两边都乘(或除以)同一个正数结果与原不等式比较不等号的方向是否改变了7＞4乘535＞20没有改变－8＜4除以4－2＜1没有改变…………通过上面的探讨，我们可以得出不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．这个性质可以用数学语言表示为：如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc；如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.3．探讨不等式的性质3仿照下表，分组探讨，找出规律：不等式不等式的两边都乘(或除以)同一个负数结果与原不等式比较不等号的方向是否改变了7＞4乘－5－35＜－20不等号的方向改变了－8＜4除以－42＞－1不等号的方向改变了…………通过上面的探讨，我们可以得出不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．这个性质可以用数学语言表示为：如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.三、举例分析例a是任意有理数，试比较5a与3a的大小．解：当a＞0时，5a＞3a；当a＝0时，5a＝3a；当a＜0时，5a＜3a.四、练习巩固1．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件()A．a>0B．a<0C．a＝0D．a≥02．若a>b，且m为非负数，则am________bm.3．根据不等式的基本性质，把不等式2x＋5<4x－1变为x>a或x<a的形式．4．如图，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，盘子仍然像原来那样倾斜吗？五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第41页“随堂练习”第1、2题．2．教材第42页习题2.2第1～4题．本节课教学中问题串的设置均与等式的基本性质相联系，引导学生一步步从类比中自己先猜想不等式基本性质的雏形，再通过具体数值验算性质，最后自己总结归纳完善不等式的性质并能用字母表示出来．在讲解例题与练习的过程中，全班同学思维活跃，在整个教学过程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引导，学生对于由自己推导出不等式的性质感到非常有成就感．3不等式的解集1．理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义．2．经历求不等式的解集的过程，会在数轴上表示不等式的解集．重点掌握不等式中的相关概念，不等式的解集及其表示方法．难点掌握不等式的解集在数轴上的表示方法．一、复习导入1．什么叫不等式？什么叫方程？什么叫方程的解？2．用不等式表示：(1)x的3倍大于1；(2)y与5的差大于零；(3)x与3的和小于6;(4)x的eq\f(1,2)小于2.3．当x取下列数值时，不等式x＋3＜6是否成立？－4，3.5，－2.5，3，0，2.9.4．在某次数学竞赛中，教师对优秀学生给予奖励，花了30元买了3个笔记本和若干支笔，已知笔记本每本4元，笔每支2元，问最多能买多少支笔？二、探究新知1．课件出示：燃放某种烟花时，为了确保安全，人在点燃引火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域．已知引火线的燃烧速度为0.02m/s，燃放者离开的速度为4m/s，那么引火线的长度应为多少厘米？分析：设引火线长度为xcm，燃放者转移到安全区域需要的时间最少为eq\f(10,4)(s)，引火线燃烧的时间为eq\f(x,0.02×100)s，要使燃放者转移到安全地带，必须有eq\f(x,0.02×100)＞eq\f(10,4).解：设引火线的长度为xcm，则eq\f(x,0.02×100)＞eq\f(10,4).根据不等式的基本性质，可得x＞5.2．课件出示：(1)x＝－2，1，5，6，8是不等式x＞5的解吗？(2)你还能说出几个不等式x＞5的解吗？你认为不等式x＞5的解有多少个？它们有什么特点？(3)不等式x2≤0的解有哪些？不等式x2≤－2呢？解：(1)x＝6，8是不等式x＞5的解．x＝－2，1，5不是不等式x＞5的解．(2)不等式x＞5的解有无数个．它们都比5大．(3)不等式x2≤0的解是x＝0；不等式x2≤－2无解．在此问题的基础上，给出不等式的解、不等式的解集和解不等式的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．三、举例分析例请你用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x－5≤－1的解集分别表示在数轴上．解：不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示(如图)，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示(如图)，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.说明：将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：①指示线的方向，“>”向右，“<”向左．②有“＝”用实心点，没有“＝”用空心圈．四、练习巩固1．根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集表示在数轴上：(1)x－2≥－4；(2)2x≤8；(3)－2x－2＞－10.2．不等式x<6有多少个解？请找出几个，有多少个正整数解？请找出来．五、课堂小结1．如何区别不等式的解、不等式的解集及解不等式这几个概念？2．在数轴上表示不等式解集时应注意什么？六、课外作业1．教材第44页“随堂练习”第1、2题．2．教材第44～45页习题2.3第1～4题．本节课从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体会数学活动充满着探索与创造性，学生积极主动，学习效果较好．4一元一次不等式第1课时一元一次不等式的解法1．经历一元一次不等式的形成过程，理解一元一次不等式的概念．2．通过类比理解一元一次不等式的解法，解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．重点掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来．难点掌握一元一次不等式的解法．一、复习导入问题1：某次知识竞赛中共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，若某同学得分80分．(1)如果设他答对了x道题，请写出x所满足的关系式？(2)这个关系式我们称之为什么？(3)什么叫一元一次方程？问题2：如果把某同学得分80分改成至少得80分，其他条件不变．(1)你又得出什么关系式？(2)这个关系式叫做什么？处理方式：问题1让学生列出一元一次方程后，口答出一元一次方程的定义．问题2得出一元一次不等式，学生可能回答出是一元一次不等式．什么是一元一次不等式呢？如何去解一元一次不等式呢？此时告诉学生为了更好地针对这两问题进行进一步的探究，从而引入新课．二、探究新知1．一元一次不等式的定义问题1：你能找出一元一次方程10x－5(20－x)＝80与10x－5(20－x)≥80之间的相同点和不同点吗？问题2：类比一元一次方程的定义，你能给出一元一次不等式的定义吗？处理方式：通过对比一元一次方程与一元一次不等式的相同点与不同点，类比一元一次方程的定义，让学生得出一元一次不等式的定义：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．2．一元一次不等式的解法问题1：不等式的三条基本性质是什么？问题2：运用不等式的基本性质把下列不等式化成x>a或x<a的形式．①x－4<6x；②2x>x－5.问题3：一元一次方程10x－5(20－x)＝80的解是多少？问题4：解一元一次方程的步骤是什么？问题5：试一试，求出一元一次不等式10x－5(20－x)≥80的解．问题6：能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？处理方式：学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并归纳一元一次不等式的解法，大致要分五个步骤进行：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化1.三、举例分析例1解不等式eq\f(x－2,2)≥eq\f(7－x,3)，并把它的解集表示在数轴上．处理方式：通过师生共同探讨，经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的过程．例2求不等式eq\f(1,2)(3x＋4)－3≤7的非负整数解．处理方式：学生独立完成，教师巡视，适时点拨．引导学生注意：0既不是正数，也不是负数，但是整数．四、练习巩固1．下列各式中是一元一次不等式的为()A．3x＋5y≥0B．x2－3x－2＜0C.eq\f(3,x＋1)－2＞0D.eq\f(x－7,8)＜eq\f(x,2)－52．若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为________．3．求不等式3x＋1≤7的正整数解．4．解不等式eq\f(x,2)－1≤eq\f(2,3)x－eq\f(1,2)，并把它的解集表示在数轴上．五、课堂小结1．一元一次不等式的定义是什么？2．解一元一次不等式时应注意什么？六、课外作业1．教材第47页“随堂练习”第1、2题．2．教材第48页习题2.4第1～3题．本节课开始前设置的课堂导航，给学生起到引领作用，让学生带着问题去学习、思考，激发了学生的学习兴趣，效果明显，学生掌握了一元一次不等式的定义并能快速识别一元一次不等式，并且能熟练地解一元一次不等式，并把其解集表示在数轴上，较好地完成了教学任务．第2课时一元一次不等式的实际应用1．进一步熟练掌握解一元一次不等式．2．利用一元一次不等式解决简单的实际问题．重点一元一次不等式的解法及应用．难点将实际问题转化成一元一次不等式的数量关系．一、复习导入问题1：什么是一元一次不等式？解一元一次不等式有哪些步骤？问题2：解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：(1)eq\f(x,2)－eq\f(x,3)＜1；(2)eq\f(x,5)≥3＋eq\f(x－2,2).二、探究新知1．课件出示：某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折售货，但其利润率不能少于5%.请你帮助销售员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？处理方式：学生分组讨论，教师巡回指导．解：设此种商品可以按x折销售，则此商品的售价为(300×eq\f(x,10))元．根据题意，得300×eq\f(x,10)－200≥200×5%.解得x≥7.所以这种商品最多可以按七折销售．2．课件出示：一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，小明至少答对了几道题？处理方式：小组讨论后，教师引导分析，并板演．分析：关系式应为4×答对题数－1×答错题数≥85.解：设小明答对了x道题，依题意得4x－(25－x)≥85，解得x≥22.所以，小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题．3．回忆列一元一次方程解应用题的步骤，对照列一元一次不等式解应用题的过程，尝试总结一下两者的不同，你能给出解一元一次不等式应用题的一般步骤吗？第一步：审题，找不等关系；第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；第三步：列不等式；第四步：解不等式；第五步：根据实际情况写出答案．三、举例分析例1某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打几折？例2小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他最多还能买多少根火腿肠？处理方式：学生独立完成，两位学生黑板板演，教师巡视点评矫正．四、练习巩固1．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？2．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．(1)符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由；(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？五、课堂小结通过今天的学习，你有什么收获？六、课外作业教材第49页习题2.5第1～4题．本节课主要让学生理解并掌握如何用一元一次不等式解相应的应用题，建立相应的数学模型，体会数学在生活中的运用．本节课设置了丰富的实际情境，如打折销售问题、环保竞赛得分问题．研究这些问题，可以使学生体会到现实世界中不等关系的一种数学表示形式．5一元一次不等式与一次函数第1课时一元一次不等式与一次函数1．理解一次函数图象与一元一次不等式的关系．2．能够用图象法解一元一次不等式．3．会选择适当的方法解一元一次不等式．重点了解一元一次不等式与一次函数之间的关系．难点能根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来解决问题．一、复习导入上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其他解法．二、探究新知1．课件出示：作出函数y＝2x－5的图象，观察图象回答下列问题：(1)x取何值时，2x－5＝0?(2)x取哪些值时，2x－5＞0?(3)x取哪些值时，2x－5＜0?(4)x取哪些值时，2x－5＞1?处理方式：学生先独立思考5分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充3分钟．解：(1)当y＝0时，2x－5＝0.∴x＝eq\f(5,2).∴当x＝eq\f(5,2)时，2x－5＝0.(2)要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y＝0时，则有x＝eq\f(5,2).当x＞eq\f(5,2)时，由图象可知y＞0.(3)同理可知，当x＜eq\f(5,2)时，有2x－5＜0.(4)要使2x－5＞1，也就是y＝2x－5中的y大于1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y＝2x－5相交于点B(3，1)，则当x＞3时，有2x－5＞1.2．课件出示：如果y＝－2x－5，那么当x取何值时，y＞0?处理方式：学生先独立思考3分钟，再小组内交流不同的方法2分钟，展示、评价和补充2分钟．解：首先要画出函数y＝－2x－5的图象，如图：从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，所以当x＜－2.5时，y＞0.也可因为－2x－5＞0，解不等式即得x＜－2.5.三、举例分析例兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：(1)何时哥哥追上弟弟？(2)何时弟弟跑在哥哥前面？(3)何时哥哥跑在弟弟前面？(4)谁先跑过20m？谁先跑过100m?解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒．哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得y1＝4x，y2＝3x＋9.函数图象如图：从图象上来看：(1)12s时哥哥追上弟弟．(2)当0＜x＜12时，弟弟跑在哥哥前面．(3)当x＞12时，哥哥跑在弟弟前面．(4)弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m.四、练习巩固1．如下图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y<2时，x的取值范围是()A．x<1B．x>1C．x<3D．x>32．已知y1＝－x＋3，y2＝3x－4，当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流．3.作出函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，并观察图象回答下列问题：(1)x取何值时，2x－4＞0?(2)x取何值时，－2x＋8＞0?(3)x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？(4)你能求出函数y1＝2x－4，y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．五、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？六、课外作业1．教材第50页“随堂练习”．2．教材第51页习题2.6第1～4题．本节课在教学过程中应注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想．教学过程中要为学生提供展示自己的平台，教师要善于发现学生分析问题、解决问题的独到见解和策略的多样性，以及思维的误区，及时给予激励性评价，帮助学生形成积极主动的求知态度．第2课时一元一次不等式与一次函数的实际应用1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题．2．通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系．重点会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题．难点找出题中的等量或不等关系．一、复习导入1．若y1＝－2x－2，y2＝3x＋3，试确定当x取何值时，y1<y2.2．若某商品原价60元，现优惠25%，则现价是________元．3．若某商品原价200元，现打七五折，则现价是________元．二、探究新知1．课件出示：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4元．你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？解：设顾客每月通话时长为xmin，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，根据题意可知y1＝10＋0.3x，y2＝0.4x.由y1＝y2，得10＋0.3x＝0.4x，解得x＝100；由y1>y2，得10＋0.3x>0.4x，解得x<100；由y1<y2，得10＋0.3x<0.4x，解得x>100.所以当顾客每个月的通话时长等于100min时，选择甲、乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100min，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100min，选择乙种业务比较合算．2．课件出示：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？处理方式：学生先独立思考5分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充4分钟．根据学生交流、展示、评价及补充情况，教师适时点拨思路和给出规范解答过程.解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需费用为y2元，则y1＝200×0.75x＝150x，y2＝200×0.8(x－1)＝160x－160.当y1＝y2时，150x＝