天津蓟县下仓中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

天津蓟县下仓中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若P（x,y）∈则事件P（x,y）∈{（x,y）|(x-1)2+(y-1)2≤1}的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A2.袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n==20，利用列举法求出取出的3个球编号之和不大于7的基本事件个数，由此能求出取出的3个球编号之和大于7的概率．【解答】解：袋子里装有编号分别为“1、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，每个球被取到的机会均等，基本事件总数n==20，取出的3个球编号之和不大于7的基本事件有：122，123，123，124，124，223，共有6个，∴取出的3个球编号之和大于7的概率为：p=1﹣=．故选：B．3.设，且，则（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B4.若双曲线+=1（m＜0＜n）的渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得可得=，再由曲线的离心率为e=，运算求得结果．【解答】解：根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=x，可得=，则该双曲线的离心率为e==，故选：B．5.已知z为复数，若(i是虚数单位)，则A.1 B. C. D.参考答案：D【分析】先根据复数除法求出复数，结合复数模长的求解方法可得模长.【详解】因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为形式，结合模长公式可求.

6.若函数f(x)=，则该函数在(－∞，+∞)上是（

）A．单调递减无最小值

B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值

D．单调递增有最大值参考答案：答案：A7.直线按向量平移后得到的直线与圆相切，则m的值为

A．9或

B．5或

C．或7

D．3或13参考答案：答案:A

8.若能构成映射，下列说法正确的有（

）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；A、1个

B、2个

C、3个

D、0个参考答案：B9.下列命题正确的是（

）A．在三角形ABC中，，则边

B．若对任意正整数，有，则数列为等比数列

C．向量数量积，则夹角为钝角

D．为函数的极值点的充要条件是参考答案：A由正弦定理，，A正确；等比数列任意项不能为零，B错误；当向量反向共线时，数量积，C错误；为函数的极值点需要且附近单调性相反，D错。【考点】正弦定理，等比数列，向量，极值10.已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A． B． C． D．参考答案：B，且，，有，设与的夹角为，则有，即，，，，，故与的夹角为，选.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是

．参考答案：18解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1812.执行如图所示的程序框图，输出的S为_________.参考答案：1【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S的值.【详解】执行程序框图，输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环；第七次循环；第八次循环；第九次循环；第十次循环；退出循环输出，故答案为1.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.13.若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则

．参考答案：解法1，则所以，所以解析2，而14.若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，是锐角三角形，则实数的取值范围是

.参考答案：【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】【试题分析】函数的定义域为，值域为，联立两函数的方程消去得，,因为两函数的图像有两个交点，所以,解得，设，则,,,因为是锐角三角形，所以即,解得,所以的取值范围为，故答案为.15.设变量满足约束条件，则的最大值是

参考答案：516.已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=

，|f（x）|的解集为

．参考答案：﹣1，（﹣，）∪（，）．【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣1）=﹣2×（﹣1）﹣1=1，从而f（f（﹣1））=f（1），由此能求出f（f（﹣1））的值．由|f（x）|，得：当﹣1≤x＜0时，|f（x）|=|﹣2x﹣1|＜；当0＜x≤1时，|f（x）|=|﹣2x+1|＜，由此能求出|f（x）|的解集．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=﹣2×（﹣1）﹣1=1，f（f（﹣1））=f（1）=﹣2×1+1=﹣1．∵|f（x）|，∴当﹣1≤x＜0时，|f（x）|=|﹣2x﹣1|＜，解得﹣；当0＜x≤1时，|f（x）|=|﹣2x+1|＜，解得．∴|f（x）|的解集为（﹣，）∪（，）．故答案为：﹣1，（﹣，）∪（，）．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.已知定义在R上的函数f(x)满足:①在[1,+∞)上为增函数;若时，成立，则实数a的取值范围为

．参考答案：(0,2)根据题意，可知函数的图像关于直线对称，因为其在上为增函数，则在上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小，由可得，，化简得，因为，所以，所以该不等式可以化为，即不等式组在上恒成立，从而有，解得，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[﹣3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式，（n是一个给定的自然数，a＜0）参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）令x=y=0求出f（0），再令x=﹣y即可判断出奇偶性．（2）利用函数单调性的定义，设任意x1，x2∈R且x1＜x2，结合已知不等式比较f（x1）和f（x2）的大小，即可判断出单调性．由单调性可求出f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣3），已知不等式可转化为f（﹣3）≤6，再由已知建立f（﹣1）和f（﹣3）的联系即可．（3），∴f（ax2）﹣f（a2x）＞n[f（x）﹣f（a）]，由已知得：f[n（x﹣a）]=nf（x﹣a）∴f（ax2﹣a2x）＞f[n（x﹣a）]，由（2）中的单调性转化为ax2﹣a2x＜n（x﹣a）．即（x﹣a）（ax﹣n）＜0，按照二次不等式两根的大小进行分类讨论解不等式即可．【解答】解：（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0令x=﹣y，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0∴对于任意x，都有f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）是奇函数．（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，由已知f（x2﹣x1）＜0（1）又f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）（2）由（1）（2）得f（x1）＞f（x2），根据函数单调性的定义知f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣3）．要使f（x）≤6恒成立，当且仅当f（﹣3）≤6，又∵f（﹣3）=﹣f（3）=﹣f（2+1）=﹣[f（2）+f（1）]=﹣[f（1）+f（1）+f（1）]=﹣3f（1），∴f（1）≥﹣2．又x＞1，f（x）＜0，∴f（1）∈[﹣2，0），∴f（ax2）﹣f（a2x）＞n[f（x）﹣f（a）]∴f（ax2﹣a2x）＞nf（x﹣a），由已知得：f[n（x﹣a）]=nf（x﹣a）∴f（ax2﹣a2x）＞f[n（x﹣a）]，∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数∴ax2﹣a2x＜n（x﹣a）．即（x﹣a）（ax﹣n）＜0，∵a＜0，∴，讨论：①当，即，解集为：或x＜a}②当a=即时，原不等式解集：③当＜a＜0时，即﹣＜a＜0时，原不等式的解集为．【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，及分类讨论思想，综合性强，难度较大．19.（本题满分14分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点(1)求证：成等比数列；(2)设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．参考答案：(1)证明：设直线的方程为：，联立方程可得得①设，，，则，②，而，∴，即成等比数列．(2)由，得，，即得：，则由(1)中②代入得，故为定值且定值为－1.20.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（Ⅰ）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂月份生产的甲胶囊产量数；.（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ），因线性回归方程过点，∴，∴6月份的生产甲胶囊的产量数： （Ⅱ） 其分布列为0123 略21.（本小题满分13分） 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q． （1）当直线PQ的方程为x-y=0时，求抛物线Cl的方程； （2）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．参考答案：【知识点】抛物线方程直线与抛物线H7

H8（1）；（2）.（Ⅰ）设点P（x，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，

因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x--=0，解得p=2，

所以抛物线C1

的方程为．

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，

根据切线与圆切，得d=r，即=1，化简得，

由方程组，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

点F（0，）到切线PQ的距离是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x|＞2，

所以===

==+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=．

所以的最小值为2+3．【思路点拨】（Ⅰ）设点P（x，），代入直线PQ的方程得一方程，再根据抛物线在P处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得p值；

（