天津第九十九中学2022年高三数学理期末试题含解析

天津第九十九中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果复数（其中为虚数单位，）的实部和虚部互为相反数，则b等于(

)A．

B．

C．

D．2参考答案：A2.已知函数f(x)的导函数为，且满足（其中e为自然对数的底数），则（

）A．1

B．－1

C.－e

D．－e－1参考答案：D3.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，一个交点为P，则｜PF2｜＝

A．6

B．4

C．2

D．1参考答案：A略4.已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由此能求出异面直线PA与MN所成的角．【解答】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON则OMBC，ONPA，∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN=BC=4，PA=4，得OM=2，ON=2，MN=4，cos∠ONM===．∴∠ONM=30°．即异面直线PA与MN成30°的角．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.已知x，y满足约束条件，若目标函数的最大值是-3，则实数

A．0

B．-l

C．1

D．参考答案：B6.曲线与坐标周围成的面积

（

）

A．4

B．2

C．

D．3参考答案：D7.点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】设A（0，﹣1），先求出焦点及准线方程，过P作PN垂直直线x=﹣1，有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|．【解答】解：设A（0，﹣1），由y2=4x得p=2，=1，所以焦点为F（1，0），准线x=﹣1，过P作PN垂直直线x=﹣1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=，故选：D．8.在△ABC中，=（cos16°，sin16°），=（2sin29°，2cos29°），则△ABC面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量，的坐标及两角和的正弦公式、向量夹角的余弦公式便可求出cos∠B，从而求出sin∠B，而△ABC的两边BA，BC的长度可以求出，从而根据三角形的面积公式便可求出△ABC的面积．【解答】解：cos∠B==；∴；∴=．故选A．【点评】考查向量夹角余弦的坐标公式，两角和的正弦公式，sin2α+cos2α=1，以及三角形的面积公式：S=．9.不等式（x+1）（x+2）<0的解集是A.{x|－2＜x＜－1}B.{x|x＜－2或x＞－1}C.{x|1＜x＜2}

D{x|x＜1或x＞2}参考答案：A10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A．8 B．16 C．32 D．64参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是

参考答案：1如下图,设圆心到直线距离为，因为圆的半径为，12.已知等差数列{an}的首项为a，公差为-4，其前n项和为Sn，若存在，使得，则实数a的最小值为

．参考答案：15由题意得，即，当且仅当时取等号，因为，又，所以实数的最小值为.

13.在中，，为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为_____．参考答案：【分析】取AC的中点D,根据已知得到B,O,D三点共线，且BD⊥AC,设AD=DC=m,求出△ABC面积的表达式，再利用基本不等式求其最大值.【详解】取AC的中点D,因为，所以,因为，所以B,O,D三点共线，因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC,设AD=DC=m,则BD=，所以.当且仅当时取等.故答案为：8【点睛】本题主要考查平面向量的性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知实数满足条件，则的最大值为_______.参考答案：略15.当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为

.参考答案：-1216.一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距30km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A化工厂

公里处．参考答案：1017.已知函数，则函数在时的最大值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；散点图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值；设图中虚线所对应的车速为x，由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值．（2）从频率分布直方图求出车速在[60，65）的车辆数、车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，利用列举法能求出车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5，平均数的估计值为：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种其中车速在[65，70）的车辆恰有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8种∴车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.（14分）（2016秋?天津期中）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；导数的综合应用．【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a≤0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）＞0（x∈（0，1）；当a＞0时，只需求f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，让最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．【点评】考察了导函数求单调性和最值问题，利用结论证明不等式问题．难点是对式子的变形整理．20.（本小题满分12分）已知等比数列的前n项和为，且满足.（I）求p的值及数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的前n项和.参考答案：…………12分21.已知函数.（1）若曲线在点(1,0)处的切线经过(2,3)，求m的值；（2）若关于x的不等式在(0,+∞)上恒成立，求m的值.参考答案：解：（1）.，切线方程为，切线过点，∴（2）令，.若，，与已知矛盾.若，则，显然不满足在上恒成立.若，对求导可得.由解得，由解得.∴在上单调递减，