天津大中学2023年高三数学文联考试卷含解析

天津大中学2023年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象可由函数的图象

（A）向左平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位

（D）向右平移个长度单位参考答案：C略2.一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积为（

）A．12

B．36

C．16

D．48

参考答案：A3.若分别是R上的奇函数、偶函数，且满足，则有（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略4.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A、B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.函数的最小正周期为A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.若函数在区间(－1，0)上有的递增区间是A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)参考答案：C略7.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知平面向量，，且//，则（

）

D参考答案：C9.设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个 B．有有限多个 C．有无限多个 D．不存在参考答案：A【分析】设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，即可得出结论．【解答】解：设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，故选A．【点评】本题考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10.设复数且，则复数z的虚部为A． B． C． D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若则a3=

。参考答案：略12.已知函数若f（f（1））＞3a2，则a的取值范围是

．参考答案：﹣1＜a＜3【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由1＜2，故应代入f（x）=2x+1式求函数的值得出f（1）=3，再求f（3）的值即可得到f（f（1）），原不等式转化为关于a的一元二次不等式，最后解此不等式即得的取值范围．【解答】解：f（1）=21+1=3，∴f（f（1））=f（3）=32+6a∴f（f（1））＞3a2，得到：9+6a＞3a2，解之得：﹣1＜a＜3故答案为：﹣1＜a＜3．【点评】本题主要考查了分段函数及一元二次不等式的解法，属于基础题．解答此类题的规律是分段函数一定要分段处理．13.若函数f（x）=|1nx|﹣mx恰有3个零点，则m的取值范围为．参考答案：（0，）考点：根的存在性及根的个数判断．

专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点．求出过原点和曲线y=lnx相切的切线的斜率的值，可得m的范围．解答：解：由题意函数f（x）=|1nx|﹣mx恰有3个零点，可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点．设过原点和曲线y=lnx相切的切线的切点为（a，lna），则由切线斜率的几何意义可得切线的斜率为y′|x=a==，求得a=e，即此切线的斜率为，∴0＜m＜，故答案为：．点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，切线斜率的几何意义，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．14.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为

（参数），若以原点为极点，射线为极轴建立极坐标系，则圆的圆心的

极坐标为

，圆C的极坐标方程为

。参考答案：

15.若变量满足约束条件，且的最小值为，则.参考答案：求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,,当为最优解时,,因为,所以,故填.【考点定位】线性规划

16.在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，在空间直角坐标系中，类比直线的方程，可得平面的一般式方程为．类比直线一般式方程中系数满足的关系式，可得平面方程中系数满足的关系式为

参考答案：17.是抛物线上一点,是抛物线的焦点,为坐标原点.若是抛物线的准线与轴的交点,则

．参考答案：45°由抛物线的对称性不妨设，则，得，法一：，在中，，所以.法二：因为，所以，可得，，所以.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱中,，，且异面直线与所成的角等于．（Ⅰ）求棱柱的高；（Ⅱ）求与平面所成的角的大小．参考答案：解:

(1),

…………2分又,

为正三角形,…………4分所以棱柱的高=………………6分(2)连接,,

面,

即为所求.…9分在中,,

……………12分略19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求证：EF∥平面PAD；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取BC的中点M，连结AM，PM，由已知条件推导出PA⊥BC，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）取PA的中点N，连结EN，ND，由已知得四边形ENDF是平行四边形，由此能证明EF∥平面PAD．（3）取AB的中点G，过G作GH⊥PB于点H，连结HC，GC，由已知得∠GHC是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．解答：（1）证明：取BC的中点M，连结AM，PM．∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∴AM⊥BC．又PB=PC，∴PM⊥BC，AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，PA?平面PAM，∴PA⊥BC，同理可证PA⊥CD，又BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…（4分）．（2）证明：取PA的中点N，连结EN，ND．∵PE=EB，PN=NA，∴EN∥AB，且．又FD∥AB，且，∴，∴四边形ENDF是平行四边形，∴EF∥ND，而EF?平面PAD，ND?平面PAD，∴EF∥平面PAD．…（8分）（3）解：取AB的中点G，过G作GH⊥PB于点H，连结HC，GC．则CG⊥AB，又CG⊥PA，PA∩AB=A，∴CG⊥平面PAB．∴HC⊥PB，∴∠GHC是二面角A﹣PB﹣C的平面角．在Rt△PAB中，AB=2，PB=4，∴．又Rt△BHG∽Rt△BAP，∴，∴．在Rt△HGC中，可求得，∴，∴，故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．…（12分）．点评：本题考查PA⊥平面ABCD的证明，考查EF∥平面PAD的证明，考查二面角A﹣PB﹣C的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20.（本小题满分12分）年月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、、、，并且各个环节的直播收看互不影响．（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这名同学至少有名同学收看发射直播的概率;（Ⅱ）若用表示该班某一位同学收看的环节数,求的分布列与期望．参考答案：21.（12分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．参考答案：【考点】正弦函数的图象；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间．（2）当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数=sin2x+（1+cos2x）=2（sin2x+cos2x）+=2sin（2x+）+．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．同理，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）当时，2x+∈[﹣，π]，故当2x+=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣+=0，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2+．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间和减区间，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22.如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．参考答案：（1）见解析;（2）.试题分析：（1）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如本题设与交于