2022年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

3.A.-1

B.0

C.

D.1

4.微分方程y''-2y=ex的特解形式应设为（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

5.微分方程y"-4y=0的特征根为A.A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

6.A.1/2f(2x)+CB.f(2x)+CC.2f(2x)+CD.1/2f(x)+C

7.设f(x)在x=0处有二阶连续导数

则x=0是f(x)的()。

A.间断点B.极大值点C.极小值点D.拐点

8.

9.

10.

11.设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f(x)＞0，则()

A.f(1)＞f(0)B.f(1)＜f(0)C.f(1)=f(0)D.f(1)与f(0)的值不能比较

12.

13.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

14.A.A.导数存在，且有f(a)=一1B.导数一定不存在C.f(a)为极大值D.f(a)为极小值15.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

16.

17.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx18.设y＝sin(x-2)，则dy＝（）A.A.－cosxdx

B.cosxdX

C.－cos(x－2)dx

D.cos(x－2)dx

19.

20.A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与口有关二、填空题(20题)21.如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。

22.

23.

24.微分方程y'+4y=0的通解为_________。

25.

26.27.

28.

29.

30.设，将此积分化为极坐标系下的积分，此时I=______.

31.________。32.设y=2x+sin2，则y'=______．33.34.

35.设函数y=x3，则y'=________.

36.函数的间断点为______．

37.

38.微分方程y"=y的通解为______．39.设y=1nx，则y'=__________．40.设z=ln(x2+y)，则dz=______．三、计算题(20题)41.42.43.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．46.证明：47.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则48.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．49.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．50.求微分方程的通解．

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

53.

54.

55.

56.求曲线在点(1，3)处的切线方程．57.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．58.

59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.66.67.展开成x-1的幂级数，并指明收敛区间(不考虑端点)。

68.一象限的封闭图形．

69.

70.设y=x2+2x，求y'。

五、高等数学(0题)71.求函数

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A

2.C

3.C

4.A由方程知，其特征方程为，r2-2=0，有两个特征根r=±.又自由项f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可设为Aex.

5.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B。

6.A本题考查了导数的原函数的知识点。

7.C则x=0是f(x)的极小值点。

8.C解析：

9.B

10.B

11.A由f"(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)。故选A。

12.D

13.A

14.A本题考查的知识点为导数的定义．

15.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

16.D解析：

17.D

18.D本题考查的知识点为微分运算．

可知应选D．

19.A

20.A

21.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

22.3/23/2解析：

23.答案：1

24.y=Ce-4x

25.22解析：

26.27.本题考查的知识点为无穷小的性质。

28.(-∞．2)29.1．

本题考查的知识点为导数的计算．

30.

31.132.2xln2本题考查的知识点为初等函数的求导运算．

本题需利用导数的四则运算法则求解．

Y'=(2x+sin2)'=(2x)'+(sin2)'=2xln2．

本题中常见的错误有

(sin2)'=cos2．

这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为一个常数，而常数的导数为0，即

(sin2)'=0．

相仿(cos3)'=0，(ln5)'=0，(e1/2)'=0等．

请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．33.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。

34.解析：

35.3x2本题考查了函数的导数的知识点。因为y=x3，所以y'=3x236.本题考查的知识点为判定函数的间断点．

仅当，即x=±1时，函数没有定义，因此x=±1为函数的间断点。

37.38.y'=C1e-x+C2ex

；本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

将方程变形，化为y"-y=0，

特征方程为r2-1=0；

特征根为r1=-1，r2=1．

因此方程的通解为y=C1e-x+C2ex．

39.

40.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

先求出如果两个偏导数为连续函数，则可得知

由题设z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得

当X2+y≠0时，为连续函数，因此有

41.

42.

43.函数的定义域为

注意

44.由二重积分物理意义知

45.

46.

47.由等价无穷小量的定义可知

48.

49.

列表：

说明

50.

51.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

52.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

53.

54.

55.56.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

57.

58.

则

59.

60.由一阶线性微分方程通解公式有

61.

62.

63.

64.65.本题考查的知识点为求隐函数的微分．

解法1将方程两端关于x求导，可得

解法2将方程两端求微分

【解题指导】

若y＝y(x)由方程F(x，y)＝0确定，求dy常常有两种方法．

(1)将方程F(x，y)＝0直接求微分，然后解出dy．

(2)先由方程F(x，y)＝0求y，再由dy＝ydx得出微分dy．

66.

67.

68.69.本题考查的知识点为计算二重积分．

将区域D表示为

问题的难点在于写出区域D的表达式