四川省成都市利济中学2021年高三数学理测试题含解析

四川省成都市利济中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数

(

)A.1

B.2

C.

3

D.

4参考答案：B略2.若0＜b＜a＜1则下列结论不一定成立的是(

)A．＜ B．＞ C．ab＞ba D．logba＞logab参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据指数函数和对数函数的单调性即可判断．【解答】解：∵0＜b＜a＜1，∴＜，＞，故A，B成立ab＞aa=bb＞ba，故C成立，logba＜logbb=1=logaa＜logab，故D不成立，故选：D．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性和不等式的性质，属于基础题．3.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：

4.设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（CUB）∩A=(

)A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴CUB=（﹣1，3），∴（CUB）∩A=（0，3），故选：D【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．5.设R，向量且，则（A）

（B）

（C）

（D）10参考答案：B

因为，所以有且，解得，，即，所以，，选B.6.设向量),则是a∥b的（

）A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C7.设三位数,若以为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有（） A．12种 B．24种 C．28种

D．36种

参考答案：C略8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足，，成等差数列，则A．3

B．9

C．10

D．13参考答案：C9.集合.，则A∩B=（

）A.[0,2] B.(1,2] C.[1,2] D.(1,+∞)参考答案：B【分析】计算出集合、，利用交集的定义可得出集合.【详解】，由于指数函数是增函数，当时，，则，因此，，故选B.【点睛】本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属于基础题.10.函数的零点所在的区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N

两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.参考答案：±过点A(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)，与抛物线方程联立后消掉y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x1＝，x1x2＝1.因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即＝6，解得k＝±.而此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝±12.已知为第二象限角，，则

参考答案：略13.设为正实数，且，则的最小值是

.参考答案：【知识点】基本不等式．E6【答案解析】．

解析：∵log3x+log3y=2，∴log3xy=2，∴xy=9，∴则≥2=．则的最小值是，故答案为：．【思路点拨】利用基本不等式得≥2，由条件可得xy为定值，从而即可求得的最小值．14.关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=

.参考答案：由增广矩阵可知是方程组的解，所以解得，所以行列式为。15.在边长为1的正三角形中，设，则。参考答案：本题考查向量数量积的运算和向量加法，难度中等。因为所以，=。16.如图过⊙0外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=

.参考答案：

因为是圆的切线，所以，又，所以与相似，所以，所以，所以。17.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是，则

.参考答案：

（10）

（11）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；参考答案：解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：ξ012P

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.

（Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，而∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为略19.已知函数的图像经过点．（）求．（）在中，、、的对边为、、，，，角为锐角且，求边长．参考答案：见解析．解：（）∵，

∵图象经过点，

∴，即，即，

∵，∴，

∴．

（）∵，∴，

∴，

∵，∴，

∴，∴．20.已知数列{an}前n项和为Sn，a1=﹣2，且满足Sn=an+1+n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log3（﹣an+1），求数列{}前n项和为Tn，求证Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）Sn=an+1+n+1（n∈N*）．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an+1+n+1﹣，化为：an+1=3an﹣2，可得：an+1﹣1=3（an﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（II）bn=log3（﹣an+1）=n，可得=．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（I）解：∵Sn=an+1+n+1（n∈N*）．∴n=1时，﹣2=a2+2，解得a2=﹣8．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an+1+n+1﹣，化为：an+1=3an﹣2，可得：an+1﹣1=3（an﹣1），n=1时，a2﹣1=3（a1﹣1）=﹣9，∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为﹣3，公比为3．∴an﹣1=﹣3n，即an=1﹣3n．（II）证明：bn=log3（﹣an+1）=n，∴=．∴数列{}前n项和为Tn=++…++=＜．∴Tn＜．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.(本小题满分12分)定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是，椭圆短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点（1）求椭圆和的方程；（2）过的直线交椭圆于点，求面积的最大值。参考答案：22. 已知函数

（I）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围； （II）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（III）当

参考答案：（Ⅰ）b≤0.

(Ⅱ)a≥（Ⅲ）＜

.解析：（Ⅰ）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，∴x2+x﹣xlnx）≥bx2+2x恒成立?1﹣﹣≥b，令g（x）=1﹣﹣，可得g（x）在（0，1]上递减，在[1，∞）上递增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0.

-----------------------（4分）（Ⅱ）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），令f′（x）≥0得：2a≥，设h（x）=，当x=e时，h（x）max=，∴当a≥时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）若0＜a＜，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣，g′（x）=0，x=，x∈（0，），g′（x）＜0，x∈（，+∞），g′（x）＞0，∴x=时取得极小值，即最小值．而当0＜a＜时，g（）=1﹣ln＜0