中考 数学基础知识与解题技巧讲义

SDYQ中考数学第页中考数学复习考查题型一、选择题（一）考查题型：1实数的概念（相反数，倒数，绝对值，数轴等）2轴对称与中心对称图形3科学计数法4图形的平移与旋转5几何图形的三视图6幂的乘方运算7折叠的性质（勾股定理，全等三角形，三角形外角定理，矩形的判定与性质，三角函数，平行线的性质）8函数图像的性质（一次，反比例，二次函数）9圆二、填空题（一）考查题型：1二次根式的混合运算2平均数，众数，中位数与方差3频率估计概率4抛物线与一元二次方程5反比例函数图像的性质6四边形的性质（三角形相似，勾股定理）7图形的视图8由实际问题抽象出二元一次方程（组）9圆（求阴影部分面积）10复杂几何图形三、作图题（一）考查题型：1角平分线2线段垂直平分线3作角等于已知角4作一点的垂线（高线）5作线段等于已知线段6作圆四、解答题（一）考查题型：1计算-解一元一次不等式组2计算-分式的混合运算3游戏的公平性4统计与概率5三角函数的应用6分式方程与一次函数，一元一次不等式的应用7全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定8二次函数的应用9规律探究10四边形中的动点问题答题技巧两把宝剑：1变2基一、选填①小题不能大做，用时少，简单题勿错，认真读题，看完每一句话，是选“不正确的”“可能的”还是“一定的”，5分钟内无思路可跳过，回头再做②不要漏写单位（与这组数据的单位相同），化简可用排除法，特殊值法（图形内特定位置，必要时可用尺子量出答案）③找规律题可化简可不化简。④找出错因，多次检查。二、作图题用铅笔，主要考察五种基本作图中的2~3种组合，①作一个角等于已知角②作一条线段等于已知线段③作已知线段的中垂线④作角平分线⑤过一点作已知直线的垂线；遇到内切圆或外接圆时，想清楚内切圆是角平分线，外切圆是垂直平分线；作三角形的外接圆和内切圆时需作出半径，最后要用签字笔下结论，问什么答什么。三、解答题1.计算题①做题步骤要全②解不等式组要注意看要求是画数轴或取整数解2.统计与概率题①用签字笔列表或画树状图，注意分清实验结果是写成数组还是其他形式。②两个概率都求出，然后比较下结论。3.解直角三角形题①从实际出发，抽象出数学模型②做辅助线用签字笔作虚线③答题格式应为在Rt△…中，∠…=90°，。④解题过程中计算结果不要取近似值，将原数保留，最后取近似值，不要漏写单位（设未知数时也要带单位），结论。4.分式方程与一次函数，一元一次不等式的应用①等量关系构建方程；不等关系构建不等式（组）②分式方程（分母中有字母）注意要验根（动点，分式方程，解直角三角形中）5.全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定①辅助线用签字笔画，用虚线②推理严密，步骤齐全③添加的条件作为已知证明结论成立。6.二次函数的应用①关注二次函数取值范围，如最值位于取值范围之内，则可以直接取到最值，如最值（抛物线顶点）不在取值范围内，则要在相应的取值范围内寻找最高点②可利用草图帮助理解7.规律探究①静心，认真读题，明确要探究的问题②了解题目中提供的解决问题的方法以及结论，类比概括出一般性结论③可以根据数的变化或图形形状的变化逐步推出规律④至少认真研读两遍，第一遍粗读，第二遍细读，带着问题回顾解题方法8.四边形中的动点问题数量问题转化为线段相等（等腰三角形）；位置关系（平行→三角形相似）转化为数量问题；形状问题如直角三角形，等腰三角形（勾股定理，三线合一，相似）需分类讨论；周长与面积问题，如三角形某一边可表示，那么可以直接求面积，如果边不能直接求，可借助面积和差（三角形面积比等于相似比的平方）求解。考点精讲一、选择题1实数的概念（相反数，倒数，绝对值，数轴等）①相反数：在数轴上表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等（）。②倒数：非零实数的倒数是，实数互为倒数时，（0没有倒数）③绝对值：具有非负性，当=0时，此时=0，当=时，此时＞0或＜0.2轴对称与中心对称图形①轴对称（找对称轴和对称中心）：对称轴两侧的图形完全重合，对称点所连线段被对称轴垂直平分，找旋转中心：旋转前后图形对应点的连线的垂直平分线。②中心对称：绕对称中心旋转180°后，使得旋转前后图形完全重合。③中心对称图形：对于边形中的，如果为奇数，则不是中心对称图形，若为偶数，则是中心对称图形。3科学计数法①形式：，确定:当原数绝对值≥10时，为正整数，且等于原数的整数位减1，当0＜原数的绝对值＜1时，为负整数，且等于原数中左起第一个非零实数前所有0的个数，常用的计数单位有1万=104,1亿=108。②一个数后面有几个零分之一，则该数的次数为（个零），即，如。③纳米×10-3微米×10-3毫米×10-1厘米×10-1分米×10-1米；微克×10-3毫克×10-3克×10-3千克。4图形的平移与旋转①平移:对应点所连线段平行（重合）且相等，对应点平移的距离等于图形平移的距离。②旋转:任意一组对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，旋转前后对应线段（对应点与旋转中心连线）形成的三角形有以下特征，旋转前线段为“横三竖二”则旋转后线段为“横二竖三”。③看清所求点是什么，注意审题。5几何图形的三视图①主视图，左视图，俯视图之间的关系：长对正，高平齐，宽相等。②可通过俯视图来判断主视图和左视图。6幂的乘方运算①同底数幂相乘除:底数不变，指数相加减。②幂的乘方和积的乘方:底数不变，指数相乘，把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘。③单项式乘以单项式:相同字母的指数的和作为这个字母的指数。7折叠的性质①折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形，折痕可看作垂直平分线和角平分线(折痕垂直平分连接两个对应点【见折叠连所对应的点】的连线，对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)。②折叠中需要考虑三角函数和矩形，菱形的性质与判定，三角形外角和定理。③折叠的本质：轴对称的本质：任意一组对称点所连的线段被对称轴垂直平分，即折痕的作用。④考查内容：勾股定理，全等三角形，三角形外角定理，矩形的判定与性质，三角函数，平行线的性质。8函数图像的性质（一次，反比例，二次函数）①对于此类问题的考察形式:根据字母的正负判断函数图像,根据判断函数间的交点关系。②一次函数:决定图像的倾斜方向和增减性，＞0呈上升趋势，随增大而增大；＜0呈下降趋势，随增大而减小。决定图像与轴交点的位置:＞0交点在正半轴上，＝0交点在原点上，＜0交点在负半轴上。③反比例函数:决定所在象限:＞0位于一、三象限，＜0位于二、四象限，＞0时，在每一个象限内，随增大而减小，＜0时，在每一个象限内，随增大而增大；考点：反比例函数求系数时注意看清正负号，看清所在象限。④二次函数:与的符号左同右异，决定开口方向：＞0，开口向上，＜0，开口向下；决定与轴交点位置：＝0，抛物线过原点；＞0，抛物线与轴交于正半轴；＜0，抛物线与轴交于负半轴。⑤对于题目中比较异样的不等式，均可通过代入的特殊值或将图像上某些点代入求解，根据题目，将所有已知信息与二次函数有关的写出来，然后根据问题来随机应变，得出结果，对称轴可直接读出（两个相等点之间的中点）。⑥中点坐标公式：任意两点的中点坐标。⑦观察原题中的图像，如果原函数图像上标注数据，则该数据可用于描绘选项中的函数；重点看函数图像的交点坐标，＞0则两函数图像有2个交点，＝0有1个交点，＜0没有交点。9圆①圆心角:在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等。②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，平分弦的直径(不是直径)垂直于弦，并且平分弦所对的弧。③圆周角:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。④同弧或等弧所对的圆周角相等。⑤圆内接四边形对角互补（四点共圆）。⑥圆的切线垂直于过切点的半径，弦切角等于所对圆心角的一半。⑦圆的位置关系：相切，相离，相交，内含，外切，外离。⑧切线长定理:过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等。⑨三角形内心的性质：三角形内心到三角形三边距离相等（三角形三条角平分线交点为内心）⑩三角形外心的性质：三角形外心到三角形三个顶点距离相等（三角形三条边的垂直平分线的交点为外心）二、填空题1二次根式的混合运算①乘法与除法：，。②任意一个数的0次方都等于1，负整数指数幂中，，特例：。③特殊角的三角函数值30°45°60°2平均数，众数，中位数与方差3频率估计概率①算数平均数：一般地，如果有个数那么，叫作这个数的算数平均数。②加权平均数：，其中分别表示出现的次数，。③中位数：将一组数据按由小到大顺序排列，如数据的个数为奇数，则中间数就是这组数据的中位数，如数据的个数为偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数，注意中位数是总样本的中位数。④众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这个数据的众数。⑤方差:这个数据与平均数之差的平方的平均数，即。⑥方差与数据稳定性的关系：重点看图像的离散程度，通过离散程度直接得出方差的大小。方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动越小（越小越好），平均数与数据稳定性的关系：看数据的梯度关系，即大部分位于某个区间，大概比较出平均数。⑦根据表格寻找概率时，所用的频率是最后一组，然后利用组数据乘以频率得出预测的结果。4抛物线与一元二次方程①先令抛物线为0，求，如＝0，则与轴有唯一交点，有2个相等的实数根，如＞0，则与轴有2个不同的交点，有2个不相等的实数根，如＜0，则与轴没有交点，没有实数根。②抛物线与一次函数交点问题：令抛物线与一次函数表达式相等，将上述等式化简，如有1个交点，＝0，有2个相等的实数根；如有2个交点，＞0，有2个不相等的实数根；如没有交点，＜0，没有实数根。5反比例函数图像的性质①过反比例函数图形作的垂线，所得的矩形面积。②求系数的方法：找出反比例函数图像上的点，代入可得。③做题方法：设点，值几何意义。6四边形的性质（三角形相似，勾股定理）①正方形的性质:四条边相等，对角线互相垂直平分且相等。②正方形中线段的最值:对角的连线(轴对称法求最短距离)。③相似三角形对应线段成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。④两种方法求三角形的面积:等面积法的应用(知二求一)。⑤勾股定理的应用:(设法，利用折叠性质得三边关系)⑥求多边形内角和，可借助外角（多边形外角和永远为360°，可利用得出外角度数）进行巧妙转化。⑦常见面积公式：，，7图形的视图8由实际问题抽象出二元一次方程（组）①找准对应关系，列出2个一次方程，联立即可。9圆（求阴影部分面积）①重要定理与计算公式:切线长定理（见切点，连圆心，得垂直），弧长计算公式：②扇形面积计算公式：③切线长定理经常与三角形求面积，正方形求边长一起考查，注意题目中的线段长与30°，60°，90°的角。弧长计算与面积计算一定要记着公式看准题意并会熟练运用，可利用弧长求出所对应的角(圆心角)为多少度，为解题提供便利。④常见面积公式：⑤注意等面积法的应用。10.复杂几何图形①中位线定理：中位线平行于第三边且等于第三边的一半，三角形中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。②过点作垂线得出三角形相似或全等。③注意观察三角形的相似。④将军饮马问题（最小值问题）：过一点作对称点，连接后求值，常见图形的对称点常常是垂直。⑤剪去边上的几条线段问题时，所截得的长度是原边上的长度部分。⑥最小距离（线段相加最小值）：作一个点的对称点，垂线段最短，且一般要依靠有边的做。⑦隐形圆：理解题意，寻找定点（翻折边所成的点）与定长（变化前后连线所对的弧）⑧四点共圆：两个三角形有一个公共边且公共边所对的两个角相等。⑨三点共线：证明中间点是180°⑩与根的判别式有关的问题：已知方程的根求字母取值范围，已知函数与坐标轴交点，求字母取值范围。三、作图题1角平分线2线段垂直平分线【两道交弧】3作角等于已知角4作一点的垂线（高线）【一道交弧】5作线段等于已知线段6作圆（内切圆是三条角平分线交点【使圆O与两条边相切】，外切圆是三边垂直平分线交点）四、解答题1计算-解一元一次不等式组①不等式的性质3:不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。②利用题目已知一元一次不等式组分别求出取值范围，联立，求正整数（非正整数，非负整数）:正整数是大于零的整数，最终下结论，注意看清要求是否画数轴或取整数解。2计算-分式的混合运算①运算结果必须是最简分式或整式。②③注意符号的变化及约减，平方差公式，完全平方公式的应用。④括号中的看似是一个整体的，注意要看清其本身的内容，如：中，化简后。3游戏的公平性，奖券问题①步骤:先回答是否公平，列表或画树状图【审题】(当一次实验涉及三个或更多因素)，共有几种等可能的结果，写出所要求的是有几种结果，注意括号内的条件应为题目中所给的结果，判定是否公平。②奖券问题常常考查加权平均数的应用。4统计与概率①主要考查的内容有:求圆心角的度数，根据扇形统计图求具体数，求总数，求数据的百分比，求一组数据的众数，中位数(首先通过样本总数得知样本的中间数/中间两数，如果已经给了一些包含中位数在内的数据，则一定要看清所要求的数据是多少)，平均数，根据频率估计概率，补充条形统计图的缺失数据。②要你谈谈关于数据所表达内容的想法：一定要用数据说话。③有问号时，下结论时候要写答。5三角函数的应用①方向角问题:构建直角三角形通常要设出所要求的边，后根据题意找到对应线段的数(或式子)，得到最终结果，注意步骤的严谨，角相等，对边相等和得到矩形的方法。②俯视，仰视问题:构建直角三角形，通过数据的转化(利用三角函数)逐步得出要求的线段长度，注意题目中的内错角关系，步骤严谨，矩形的判定。③根据实际问题抽象出数学模型，常常要作垂直构造直角三角形，注意最后要写答，解题过程中保留原数，最后再化简。6分式方程与一次函数，一元一次不等式的应用①注意题目中的关系有时采用两项相等的形式，有时采用相减的关系。②一定要验根，既要检验去分母化成的整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义。③列一次函数关系式时，自变量的取值范围一定要写上，看清题目中所表达的内容。快速求公式:。④设未知数时不能带上“至多”，“至少”，“最多”，“最少”等绝对性字眼。抓住问题中的关键字，如至少，不低于，不超过，不少于等，找出不等关系，从而列出不等式求解，注意符号的取等。⑤利润问题中如需列出一长串不等式，则直接根据题意和公式求出即可。⑥解题步骤：（1）问设出未知数，由题意得，得到分式方程，解出分式方程中的未知数，验根，写答；（2）问设出相应的未知数（一般是三个，第四个未知数通常可以用总数减去第三个），列出不等式，解出不等式取值范围，写出第三、四个未知数关于第二个未知数的一次函数，对一次函数的值进行讨论增减性，求出何时取得最值，最值是多少，下结论时候要写答。7全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定①判定方法:直角三角形中特有:HL(斜边直角边)，SSS,SAS,ASA,AAS。根据题目中的信息(大多数为平行四边形等特殊的四边形中)找出对应关系，把条件整合到一起，下结论(注明判定方法)。②常考性质与判定:平行四边形:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；菱形:对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形；矩形:有一个角是90°的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角都是直角的四边形是矩形；正方形:有一组邻边相等，并且有一个角是90°的平行四边形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形,有一个角是直角的菱形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形。③关于平行四边形的证明不能写符号，只能写汉字，第2问先下结论，后作为已知条件进行证明。8二次函数的应用①本类问题可分为三类:利润问题，抛物线型实际问题和排球-乒乓球问题（斜抛二次函数不变，原因是所用力度相同）。画草图可以快速求取值范围，多读题目，认真审题。②常用公式：（只要是含百分数的，那一定是求利润率的，如）（n次传染）③利润问题和抛物线型实际问题一般步骤:根据题意列二次函数表达式(注意设的时候是直接设→设单价和利润，还是间接设→设升价或降价和利润)，将原式化为一般式或顶点式，判断的正负，二次函数开口方向，在某一范围内（取值是多少），当取多少时，求出最值（可以将的值代入一开始的一元二次方程，然后得出结果，也可以用得出结果）。有时候要分类讨论(分段函数，需要将原图形分为两段讨论，注意写出每一段的对应自变量的取值范围，最后将由分段得出的最值进行对比，找出最值)，注意最值有可能不在的取值范围内，而是在二次函数的一段上找最值，且的取值范围有可能是整数。（画图像方法：开口方向，对称轴，边界）④面积问题：注意表面积（无盖或有盖）的求法。抛物线问题：中，决定抛物线的形状，共同决定对称轴，决定抛物线位于轴的左右，左同右异，决定与轴的交点。⑤常见的问题：①最后的求值（认真读题）②注意有时是整数（实际问题如汽车不能卖0.5，那么最值应位于对称轴顶点两侧）。③计算。⑥涨价（销售量减少）：，降价（销售量增加）：，⑦排球-乒乓球问题：通常利用画直角三角形，勾股定理法求解。9规律探究青岛中考数学23题-阅读理解探究题这道题是全卷唯一一道不考查书本知识点的一道题目！但你需要掌握一些基本的探究思维方法。以下是对该类题目进行了考点分析、解题基本思路点拨。1考点分析阅读理解—探究型问题是青岛地区的中考必考题型，一般在第

23题呈现，满分10分。试题选材广泛多样，不再拘泥于教材的内容，设问富有层次和创新。题目一般篇幅较长，由“阅读”和“问题”两部分构成，其阅读部分往往为学生提供一个涉及广泛的自学材料，其内容有课本知识的延伸，有新的数学概念形成和应用过程，有新颖的解题方法介绍，以及各种生活生产背景信息等，需要学生在认真阅读和分析材料的基础上，理解其内容、过程、方法和思想。运用材料中提供的信息探索解决问题的途径，最终实现问题的解决.此类问题考查的不仅是学生的阅读能力，更重要的是学生对数学知识的理解以及数学方法的运用及分析推理能力、数据处理能力、概括归纳能力、知识迁移能力，及解决实际问题的能力的考查，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识。2基本思路

解决探究题的基本思路是：阅读—分析—理解—解决问题。重点是阅读，难点是理解，关键是解决问题。阅读时要理解材料的脉络，要对提供的各种信息进行整理分析，及时归纳要点，挖掘其中隐含的数学思想方法，运用类比、转化、迁移等方法，构建相应的数学模型或把要解决的问题转化为常规问题。3题型分类类型一：类比归纳型阅读此类问题常见的特征是给一个情景，通过阅读分析探究出数学规律.在这个过程中让学生经历由特殊到一般、由简单到复杂的自学过程.解题的策略是通过观察、分析、归纳、类比、化归，做出合理的推断、大胆的猜测，进而运用归纳、类比转化的方法来解答题目中所提出的问题.例如，2020青岛中考23就是比较典型的例子。本题首先给出了一个“商场抽奖活动”的实际生活情景，从具体问题当中抽象出一个“从个整数中取个数的和有多少种不同的结果”这样的一个一般性数学问题。让学生经历了问题的产生、探究、发展的一般过程，考查学生研究问题和解决问题的策略——一般性问题特殊化。通过阅读与探究获得研究问题的方法和经验，充分渗透着转化与化归的数学思想，考查建模能力，关注学生从特殊到一般、类比、猜想、拓广的思维方法的形成过程和学生学习方式的转变。本题运用类比的思想比较多，从探究一~探究三都可以用一个方法串联，对于一般性结论，可以采取“类比过程方法”或者“归纳结果方法”都可以，而问题解决又由一般性问题回到特殊具体问题，“拓展延伸”最后一个问可采取“转化化归”的思想，将新问题转化为“1到（n+1）个数取个数的和有多少种不同的结果”老问题，从而运用规律解决问题，也可类比材料当中的方法去解决，但比较麻烦，不如化归法简单一些，这就需要同学们灵活选用解题思想来解决问题了。类型二：新知定义型阅读此类问题常见的特征有定义一个新概念，或者给一个解决问题的方法或者思路，通过阅读分析利用新知、新的思路方法来解决问题。解题的策略是弄清材料中隐含的数学知识、方法、解决问题的思路，然后展开联想和类比，将获得的新知进行迁移，建模解决问题。可利用“数形结合、数形转化”的一种研究和解决问题的方法，然后用它来解决该题发展出的几个新问题，知识在有明显可靠的已有知识的背景下（直角坐标系），依次几个问题相互关联又逐步深入，通过阅读与探究获得研究问题的方法和经验，运用类比的方法，考查建模能力，关注学生从特殊到一般、类比、猜想、拓广的思维方法的形成过程，试题较好地考查了知识学习与运用的能力，恰当引导学生学习方式的转变。问题结论单一图形分割平面条直线最多把平面分成多少个部分？个圆最多把平面分成多少个部分?个三角形最多把平面分成多少个部分?个四边形-个边形最多把平面分成多少个部分?平面分割空间个平面多可以把空间分成多少个部分?

(切蛋糕问题)通项公式：递推公式：10四边形中的动点问题①考查方向：青岛市动点问题作为压轴题出现，主要探究在四边形或三角形的背景下动点的运动问题。②核心考点：角平分线，垂直平分线，面积表示方法，垂直（直角&直角三角形），等腰三角形，特殊四边形，平行线问题，三点共线，面积的表示与计算。③常用思想：锐角三角函数，三角形相似，角平分线定理，垂直平分线定理，勾股定理，一元二次方程与二次函数，分类讨论（等腰三角形，直角三角形，线段分直线成比例，分面积成比例），面积的分割与填补，平行四边形与特殊平行四边形，矩形的性质，计算。一、角平分线与垂直平分线（垂线段，等腰三角形，比例相等）（1）角平分线1.等量关系：①角相等②角平分线上一点到角的两边的距离（垂线段）相等（DN=DM）；②角平分线+平行线必出等腰三角形（作平行线）；③构造直角三角形，令直角三角形相似④角平分线定理：2.注意：①涉及到边的计算常用到相似或勾股定理；②若勾股定理求边长遇到开方，可不开方，直接用某边的平方等于另一边的平方计算.（2）垂直平分线1.等量关系：垂直平分线上一点到线段两个端点的距离相等.2.注意：①涉及到边的计算常用到相似或勾股定理；②若勾股定理求边长遇到开方，可不开方，直接用某边的平方等于另一边的平方计算