人教版数学 中考解答题专项训练-第二十八章锐角三角函数

人教版数学中考解答题专项训练——第二十八章锐角三角函数一、解答题1．如图，已知中，，，求的面积．2．我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形.如图，已知△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinA，cosA，tanA．4．等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式.在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869.）5．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）6．数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高.如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高.（结果保留整数.参考数据：，）7．已知⊙O的半径为4，AB，AC是⊙O的两条条弦，AB＝，点O到AC的距离为，试求出∠BAC的度数.8．一次课外实践活动中，一个小组利用热气球的探测器测量一栋楼房的高度如图所示，热气球的探测器显示，从热气球看这栋楼楼顶的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为100米，求这栋楼的高度（结果保留整数，参考数据：，）.9．黄岩岛自古以来就是中国的领土，如图，为维护海洋利益，三沙市一艘海监船在黄岩岛附近海域巡航，某一时刻海监船在A处测得该岛上某一目标C在它的北偏东45°方向，海监船沿北偏西30°方向航行60海里后到达B处，此时测得该目标C在它的南偏东75方向，求此时该船与目标C之间的距离CB的长度，（结果保留根号）10．为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．11．如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．12．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：）13．放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30°．为了便于观察．小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A、B、C在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，≈1.414，≈1.732．最后结果精确到1米）14．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）15．一辆汽车在处测得东北方向（北偏东）有一古建筑，汽车向正东方向以每小时40公里的速度行驶1小时到达处时，又观测到古建筑在北偏东方向上，求此时汽车与古建筑相距多少公里？（，，，）16．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．17．小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？18．如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）19．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）20．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．（1）求证：AP=AB；（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．

答案解析部分1．【答案】解：作于点D在中，，在中，，2．【答案】解：∵

△ABC是最稳定三角形，

∴∠B=∠C=51°,且AB=AC

∵

ADBC，∴BD=BC=116.4m∴AD=tan51°=139.68≈140m∴BC边上的高AD的长是140米.3．【答案】解：由勾股定理得，AC===12，sinA==，cosA==，tanA==．4．【答案】解：作AD丄BC,垂足为D点∵AB=AC，BC=20，∴BD=CD=BC=10.在Rt△ACD中，∠C=41°，∴tanC=tan41°=，∴AD=≈10×0.869≈8.7.答：顶点A到BC边的距离是8.7米.5．【答案】解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE=，即tan30°=，∴，3x=（x+100），解得x=50+50=136.6，∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．答：该建筑物的高度约为138m6．【答案】解：设为，∵，∠CDB=90°，∴，∴，在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，即，∴∴.答：此建筑物的高度约为.7．【答案】解：（1）当圆心O在AB、AC的同一侧时，如图1所示，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由垂径定理得，AE=AB=，在Rt△AOE中，cos∠OAE=，所以∠OAE=30°，在Rt△AOF中，cos∠OAF=，所以∠OAF=45°，所以∠BAC=∠OAF-∠OAE=45°-30°=15°．（2）当圆心O在AB、AC之间时，如图2所示，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，同样可得，∠OAE=30，∠OAF=45°，∴∠BAC=∠OAF+∠OAE=45°+30°=75°．综上所述，∠BAC的度数为15°或75°．8．【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得，，，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∵，∴，∴9．【答案】解：由题意得：∠EBA=∠FAB=30°，∴∠ABC=∠EBC﹣∠EBA=75°﹣30°=45°，∴∠C=180°﹣45°﹣75°=60°；过A作AD⊥BC于D，则BD=AD=AB•sin∠ABD=2×30×=30，CD=∴CB=BD+CD=（30+10）海里.答：该船与岛上目标C之间的距离即CB的长度为（30+10）海里.10．【答案】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：则∠PMA＝90°，设PM的长为x米，在RtPAM中，∠PAM＝45°，∴AM＝PM＝x米，∴BM＝x﹣100（米），在RtPBM中，∵tan∠PBM，∴tan60°，解得：x＝50（3），在RtQAM中，∵tan∠QAM，∴QM＝AM•tan∠QAM＝50（3）×tan30°＝50（）（米），∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）答：信号塔PQ的高度约为100米．11．【答案】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE，∴CE=AD=12Rt△ACE中，∵∠EAC=60°，CE=12，∴AE=Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，BE=AE∴BC=CE+BE=16m答：旗杆的高度为16m．12．【答案】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABD中，，在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴AB＝BC，∴，∴m，∴AB＝BC＝m，答：主塔的高度约为78m．13．【答案】解：设CD为x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADC中，∠DAC=30°，AC=CD÷tan30°=x，在直角△BCD中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD=x，∵AC﹣BC=AB=7米，∴x﹣x=7，又∵≈1.414，≈1.732，∴x=10米，则小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣x≈6（米）14．【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠ADF＝30°，CD＝50m，BC＝60m，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，＝＝，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得：CD＝＝5x，又∵CD＝50，∴5x＝50，∴x＝10，∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan30°×DF＝×90＝30（m），∴AB＝AF+FB＝（30+40）m，即此建筑AB的高度为（30+40）m．15．【答案】解：过作，垂足为，过作，交于．中，，（公里），（公里），中，，（公里），答：此时汽车与古建筑相距公里．16．【答案】解：如图连接AG延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=6，AG=2GH，∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵sin∠C=，设AH=4k，AC=5k，在Rt△AHC中，∵AH2+CH2=AC2，∴（4k）2+62=（5k）2，解得k=2，∴AH=8，AC=10，∴GH=，在Rt△BGH中，BG=，∴cos∠CBD=.17．【答案】解：在Rt△ABD中，∵∠BDA=90°，∠BAD=30°，AD=42m，∴BD=ADtan30°=42×=14（m）．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=ADtan60°=42×=42（m）．∴BC=BD+CD=14+42=56（m）．答：这栋楼的高度为56m．18．【答案】解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB=99海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．设BD=x海里，则AD=（99﹣x）海里，在Rt△BCD中，tan53°=，则tan27°=，CD=x•tan53°≈x（海里）．在Rt△ACD中，则CD=AD•tan27°≈（99﹣x），则x=（99﹣x），解得，x=27，即BD=27．在Rt△BCD中，cos53°=，则BC===45，45÷2=22.5（海里/时），则该可疑船只的航行速度约为22.5海里/时．19．【答案】解:过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，∴AM=MC，由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，解得：AM=CM=40，∵∠ECB=15°，∴∠BCF=90°﹣15°=75°，∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，∴BM=40，∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），答：A处与灯塔B相距109海里．20．【答案】（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=