九年级中考数学专题讲义15 等腰三角形与直角三角形

第11页（共11页）专题15等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．32．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或103．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（）A． B． C．a﹣b D．b﹣a4．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．5．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．考向二 等腰三角形的判定6．下列长度的线段中，能组成等腰三角形的一组是（）A．1，1，2 B．3，3，5 C．2，2，5 D．3，4，57．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．点P是直角边所在直线上一点，若△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P的个数最多为（）A．3个 B．6个 C．7个 D．8个8．小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm和20cm，则这根铁丝的长为cm．9．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形．10．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．考向三 等边三角形的性质11．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等边三角形，则点A的坐标为（）A．（，） B．（，2） C．（，） D．（1，）12．如图，等边△ABC中，AB＝10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG＝5，则EF+CG的最小值是（）A．5 B．5 C．5+5 D．1513．等边三角形的边长是8，这个三角形的面积为．14．△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD．（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．15．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．考向四 直角三角形16．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（）A．35° B．55° C．65° D．145°17．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（）A．140° B．160° C．170° D．150°18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE．若∠A＝40°，则∠CBE的度数为．19．如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC上的中点．点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝．20．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．考向五 勾股定理21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（）A． B． C． D．22．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A． B． C． D．23．如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C'B'拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B'C，若∠ABC＝∠A'B'C'＝30°，AC＝A'C′＝2，则B'C的长为（）A．2 B．4 C．2 D．424．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．26．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC＝2，求AD的长．一．选择题（共6小题）1．下列四组数中，能构成直角三角形的是（）A．8，10，7 B．2，3，4 C．2，1，5 D．，1，2．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．14．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（）A．30° B．25° C．15° D．10°5．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（）个．A．7 B．8 C．9 D．106．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64二．填空题（共6小题）7．已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB＝．8．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，若AB＝8，则AD＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，则点C到边AB的距离为．10．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAB＝∠B+28°，则∠CAE＝．12．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD＝BC．14．如图，在Rt△ABC中