吉林省长春市榆树中学2023年高三数学理期末试题含解析

吉林省长春市榆树中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三角形的面积，则角的大小为A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|=7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为（）A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义可得|MF2|﹣|MF1|=6|MF1|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|MF1|=≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．【解答】解：由双曲线的定义可得|MF2|﹣|MF1|=6|MF1|=2a，根据点P在双曲线的右支上，可得|MF1|=≥c﹣a，∴e=≤，∴双曲线离心率的最大值为，故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．3.某三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A． B． C．1 D．6参考答案：A【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积S=×2×1=1，高h=1，故体积V==，故选：A4.已知函数，若，且，则的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先分析得到的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得等于函数的零点的2倍，所以的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令所以,所以所以绝对值最小的零点为，故的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.若函数f(x)为x0123f(x)3210

则f[f(1)]=

(A)0

(B)1

(C)?

(D)3参考答案：B6.如果随机变量，且，则等于（

）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1参考答案：D略7.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A．9 B．6 C．3 D．2参考答案：C【考点】抛物线的应用．【分析】确定抛物线y2=4x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论．【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∴S1=，S2=，S3=∴S12+S22+S32=（++）=x1+x2+x3，∵点F是△ABC的重心∴x1+x2+x3=3∴S12+S22+S32=3故选C．8.双曲线的一个焦点坐标是（

）A． B． C． D．（1，0）参考答案：A9.设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略10.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的y=（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案.【详解】输入，，不成立，；，成立，跳出循环，输出.故选D.【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：

12.已知点的坐标满足，设，则（为坐标原点）的最大值为

▲

．参考答案：【知识点】简单线性规划的应用．E5

【答案解析】2

解析：满足的可行域如图所示，又∵，∵，，∴由图可知，平面区域内x值最大的点为（2，3）故答案为：2【思路点拨】先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．13.设实数x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为

．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可．【解答】解：作出可行域，如图△ABC内部（含边界），作出直线l：3x﹣4y=0，平移直线l，当它过点C（1，0）时，z=3x﹣4y取得最大值3．故答案为：314.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是

．参考答案：3R15.函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为

参考答案：

16.函数的定义域是

．参考答案：17.已知，，若同时满足条件：①，或；②,，则的取值范围是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;T∈[2，4)基本畅通;T∈[4，6）轻度拥堵;T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示．

(I)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

(Ⅱ)从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．参考答案：略19.（本题满分12分）某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.参考答案：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，其中选A款套餐的学生为40人，

由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了份.

…………….（2分）设事件=“同学甲被选中进行问卷调查”，

则.

……….（5分）答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是.

…………….（6分）（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的人数分别为1，1，0，2个.

………….（7分）记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d.………………….（8分）设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件，……（10分）则.

………（12分）20.已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列（I）求数列{an}的通项公式：（II）若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn试比较Tn与的大小．参考答案：考点：数列的求和；不等关系与不等式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；（Ⅱ）由（I）可得：an=2n﹣1，由b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an，及b1+2b2+4b3+…+2，两式相减可得，利用等比数列的前n项和公式即可得到Tn，与比较即可．解答：解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）∵b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an，①b1+2b2+4b3+…+2，②②﹣①得2nbn+1=2，∴．当n=1时，b1=a1=1，∴，当n=1时，T1=a1=1，，此时．当n≥2时，Tn=1+==．又＞n+1，∴，．∴当n=1时，，当n≥2时，．点评：熟练掌握等差数列的通项公式和等比中项的定义、等比数列的前n项和公式、二项式定理是解题的关键．21.在极坐标系中，已知曲线设与交于点（I）求点的极坐标；（II）若动直线过点，且与曲线交于两个不同的点求的最小值.参考答案：（I）由解得点的直角坐标为因此点的极坐标为（II）设直线的参数方程为为参数），代入曲线的直角坐标方程并整理得设点对应的参数分别为则ks5u当时，，有最小值22.已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x﹣2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程x02+y02=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则由