时间序列趋势外推预测

时间序列趋势外推预测时间序列是指某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排列起来的数列。时间序列是时间t的函数，若用Y表示，则有：Y=Y（t）。时间序列分析预测法时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。我们对以下几种序列进行分析预测：具有水平趋势的数据序列、具有非水平趋势的序列、具有线性趋势的数据序列和具有线性趋势和季节波动的数据序列9.1具有水平趋势的时间序列的外推预测假设某种商品的销售额在某一水平下上下波动。已知现在的时刻为t，求在t＋1时刻的预测值1、朴素预测法所谓朴素预测法就是直接以本月的销售额做为下月销售额的预测值：L称为预测期朴素预测法的优点是简单，成本低，如果序列的变化稳定，波动小就具有一定的预测精度，缺点就是未能充分使用历史的数据信息，受随机波动影响大2、平均数预测法将样本算术平均数作为预测值。这种方法较朴素预测法具有更高的精度，克服了易受随机干扰的影响，充分使用了历史信息，样本越大，精度越高。3、理论模型－常数均值模型上述方法的理论基础是时间序列的常数均值模型服从经典假设该模型可以分成两种1、已知，则系列的最小均方差预测值为预测误差为：由于，所以预测值为无偏预测。预测方差为预测区间为：

若未知，那么可以通过最小二乘法求估。则：预测误差为：方差为：由于未知，所以使用估计值代替则统计量服从t分布：则预测区间为：

预测校正：如果得到新的观测值后，要进行新的预测就必须根据新得到的数据信息，对原来的预测结果进行校正，作为新的预测值。假定对时间序列作出的预测值为现在新增观测值，要在n＋1的基础上对作出预测，预测值记为或者9.2有非水平趋势势样本序列的的趋势外推法法如果时间序列列是均值缓慢慢变动的，则则使用局部均均值模型。1.加权滑动平均均预测法滑动平均预测测对时间序列要要外推预预测值为记记N为滑动平均时时段长，预测测值随n的变化而变化化，称为滑动动平均预测值值，通过滑动动平均可以清清除干扰，显显示趋势，得得到趋势外推推预测值。例1某市汽车配件件销售公司某某年1月至12月的化油器销销售量如表所所示。试用简简单移动平均均法，预测下下年1月的销售量。。化油器销售量量及移动平均均预测值表单位：只月份t实际销售量3个月移动平均预测值5个月移动平均预测值1423——2358——3434——4445405—5527412—6429469437742646743985024614529480452466103844694731142745644412446430444——419452解：分别取N=3和N=5，按预测公式式：计算3个月和5个月移动平均均预测值。当N=3时当N=5时计算结果表明明：N=5时，MSE较小，故选取取N=5。预测下年1月的化油器销销售量为452只。例2某商业企业季季末库存的资资料如下表，，试用简单移移动平均法对对该企业下一一季末的库存存进行预测观察期季末库存n=3n=510.610.8————11.1————10.410.830.43——11.210.770.43——1210.91.110.821.1811.811.20.611.10.711.511.670.1711.30.211.911.770.1311.380.521211.730.2711.680.3212.211.80.411.840.3610.712.031.3311.881.1810.411.631.2311.661.2611.211.10.111.440.24解：1、分别取n=3，n=5同时计算移动动平均预测值值，如表所示示。2、计算平均绝绝对误差：n=3时，n=5时，很明显n=5时的预测误差差大于n=3时的预测误差差，所以取移移动平均期数数n=3。3、对下期库存存额进行预测测。设时间序列为为：加权移动平均均公式为式中：Mtw为t期加权移动平平均数；Wt为的的权数，它体体现了相应的的y在加权平均数数中的重要性性。利用加权移动动平均数来作作预测，其预预测公式为：：即以第t期加权平均数数作为第t+1期的预测值。。例3我国1979~1988年原煤产量如如表所示，试试用加权移动动平均法预测测1989年的产量。我国原煤产量量统计数据及及加权移动平平均预测值表表单位：亿吨年份t原煤产量三年加权移动平均预测值相对误差（%）19796.35——19806.20——19816.22——19826.666.246.3119837.156.449.9319847.896.8313.4319858.727.4414.6819868.948.188.5019879.288.696.3619889.809.077.45解：取W1=3，W2=2，W3=1，按预测公式式：计算三年加权权移动平均预预测值其结果果列于上表中中。1989年我国原煤产产量的预测值值为：这个预测值偏偏低，可以修修正。其方法法是：先计算算各年预测值值与实际值的的相对误差，，例如1982年为：将相对误差列列于上表中，，再计算总的的平均相对误误差：由于总预测值值的平均值比比实际值低9.50%，所以可将1989年的预测值修修正为：例4现仍以例2的数据为例，，令n=3，权数由远到到近分别为0.1，0.2，0.7观察期季末库存（万元）加权移动平均预测值10.6——10.8——11.1——10.410.990.5911.210.580.621211.030.9711.811.680.1211.511.780.2811.911.610.291211.810.1912.211.930.2710.712.131.4310.411.130.7311.210.640.56某商业业企业业季末末库存存资料料解：取取W1=0.7，W2=0.2，W3=0.1，按预预测公公式：：计算n=3的加权权移动动平均均预测测值其其结果果列于于上表表中。。下期期预测测值为为：2.指数平平滑法法指数平平滑法法既不不需要要存贮贮很多多历史史数据据，又又考虑虑了各各期数数据的的重要要性，，且使使用了了全部部历史史资料料。指数平平滑法法，根根据平平滑次次数不不同，，有一一次指指数平平滑法法、二二次指指数平平滑法法和三三次指指数平平滑法法等。在加权权平均均算法法中，，如果果所加加权数数随数数据的的时限限增长长而几几何方方式减减小，，则的的预预测值值可可以写写为：：其中由由于于则则令则则：简化得得到一一次指指数平平滑公公式为为：平滑系系数的的选择择1、a值就根根据时时间序序列的的具体体性质质在0~1之间进进行选选择。。具体体如何何选择择一般般可遵遵循下下列原原则：：（1）如果果时间间序列列波动动不大大，比比较平平稳，，则a应取小小一点点，如如（0.1~0.3）。（2）如果果时间间序列列具有有迅速速且明明显的的变动动倾向向，则则a就取大大一点点，如如（0.6~0.8）。在实用用上，，类似似移动动平均均法，，多取取几个个a值进行行试算算，看看哪个个预测测误差差小，，就采采用哪哪个。。例7某市1976~1987年某种种电器器销售售额如如下表表所示示。试试预测测1988年该电电器销销售额额。年份t销售额a=0.2的预测值a=0.5的预测值a=0.8的预测值

1976150515151197725250.850.550.2197834751.0451.2551.64197945150.2349.1347.93198054950.3850.0750.39198164850.1049.5449.28198275149.6848.7748.26198384049.9449.8950.45198494847.9544.9542.091985105247.9646.4846.821986115148.7749.2450.961987125949.2250.1250.99解：采采用指指数平平滑法法，并并分别别取a=0.2,0.5,0.8进行计计算，，初始始值即按预测测模型型，计计算各各期预预测值值，列列于上上表中中.从上表表中可可以看看出，，a=0.2,0.5,0.8时，预预测值值是很很不相相同的的。究究竟a取何值值为好好，可可通过过计算算它们们的均均方误误差MSE，选使MSE较小的那那个a值。当a=0.2时，当a=0.5时，当a=0.8时，计算结果果表明：：a=0.2时，MSE较小，故故选取a=0.2，预测1988年该电器器销售额额为：9.3序列有线线性趋势势的外推推预测对于有线线性增长长趋势的的时间序序列，如如果采用用滑动平平均法和和指数平平滑法去去做预测测，就会会产生滞滞后，预预测值小小于实际际值。假假设线性性趋势方方程为：：则如果时间间从t增加到t+N，如果采用用滑动平平均法预预测得：：因此有必必要采用用二次滑滑动平均均值预测测法二次移动动平均法法（1）基本原原理为了避免免利用移移动平均均法预测测有趋势势的数据据时产生生系统误误差，发发展了线线性二次次移动平平均法。。这种方方法的基基础是计计算二次次移动平平均，即即在对实实际值进进行一次次移动平平均的基基础上，，再进行行一次移移动平均均。（2）计算方方法线性二次次移动平平均法的的通式为为：m为预测超超前期数数（5.1）（5.2）（5.3）（5.4）（5.1）式用于于计算一一次移动动平均值值；（5.2）式用于于计算二二次移动动平均值值；（5.3）式用于于对预测测（最新新值）的的初始点点进行基本修修正，使使得预测测值与实实际值之之间不不存在滞后现现象；（5.4）式中用用其中：除以，这是因因为移动平均均值是对对N个点求平平均值，，这一平平均值应应落在N个点的中中点。二、二次次指数平平滑法计算公式式为：可用以下下直线趋趋势模型型来预测测预测方程程为：例8仍以我国国1965~1985年的发电电总量资资料为例例，试用用二次指指数平滑滑法预测测1986年和1987年的发电电总量。。年份t发电总量一次平滑值二次平滑值19651676676676

19662825720.7689.467619673774736.7703.6765.419684716730.5711.7784.019695940739.4736.2757.4197061159903.1786.3875.11971713841047.4864.61070.01972815241190.4962.31308.51973916681333.71073.71516.319741016881440.01183.61705.119751119581595.41307.11806.3我国发电电总量及及一、二二次指数数平滑值值计算表表单位：亿亿度19761220311726.11432.82007.319771322341878.51566.52145.119781425662084.81722.02324.219791528202305.41897.02603.419801630062515.62082.62888.819811730932688.82264.53134.219821832772865.32244.73294.919831935143059.92629.33466.219842037703272.92822.43675.019852141073523.13032.63916.5解：取a=0.3，初始值值都都取序序列的首首项级数数值，即即。。计计算列列于于表中，，得到。。又由公式式知t=21时，于是得t=21时的直线线趋势方方程为：：预测1986年和1987年的发电电总量为为：例9某公司1990~2001年的实际际销售额额如下表表所示，，据此资资料预测测2002年和2003年企业销销售额。年份实际销售值一次平滑值二次平滑值19903333.733.733.70—19913633.333.533.1-0.333.719923234.934.335.50.932.919933433.233.632.8-0.736.319944233.733.733.70.032.119954038.736.740.73.033.819964439.538.440.61.743.719974842.240.743.72.342.319984645.743.747.73.046.019995045.945.046.81.350.720005448.447.049.82.048.120015851.849.953.72.956.55解：由于于观察值值变动基基本呈线线性趋势势，选用用二次指指数平滑滑法。取取α=0.6。初始值取取前三期观观察值的平平均值，其其数值为33.7。预测过程程如下：1、计算一、、二指数平平滑值。如如表所示。。2、计算和和的的值。则预测模型型为：3、运用预测测模型，确确定预测值值。即2002年及及2003年的的预预测测值值为为56.6亿元元和和59.4亿元元。。9.4序列列有有线线性性趋趋势势和和季季节节趋趋势势的的外外推推预预测测时间间序序列列分分析析预预测测法法，，是是将将预预测测目目标标的的历历史史数数据据按按照照时时间间的的顺顺序序排排列列成成为为时时间间序序列列，，然然后后分分析析它它随随时时间间的的变变化化趋趋势势，，外外推推预预测测目目标标的的未未来来值值。。时时间间序序列列分分析析法法也也称称历历史史延延伸伸法法或或趋趋势势外外推推法法。。编制制时时间间序序列列要要做做到到：：总体体范范围围一一致致；；代表表的的时时间间单单位位长长短短一一致致；；统计计数数值值的的计计算算方方法法和和计计量量单单位位一一致致。。时间间序序列列是是指指某某种种统统计计指指标标的的数数值值，，按按照照时时间间先先后后顺顺序序排排列列起起来来的的数数列列。。例例如如某某种种商商品品销销售售量量按按季季度度或或月月度度排排列列起起来来的的数数列列等等等等都都是是时时间间序序列列。。时时间间序序列列一一般般用用表表示示，，t为时时间间。。时间序列长期趋势季节变动循环变动不规则变动时间间序序列列的的因因素素分分析析1、长长期期趋趋势势：：是是时时间间序序列列的的主主要要构构成成要要素素，，指指由由于于某某种种根根本本性性因因素素的的影影响响，，时时间间序序列列在在较较长长时时间间内内朝朝着着一一定定的的方方向向持持续续上上升升或或下下降降，，以以及及停停留留在在某某一一水水平平上上的的倾倾向向。。它它反反映映了了事事物物的的主主要要变变化化趋趋势势。。2、季节变变动：指指由于自自然条件件和社会会条件（（生产生生活条件件）的影影响，时时间序列列在一年年内随着着季节的的转变而而引起的的周期性性变动。。3、循环变变动：是是近乎规规律性的的周而复复杂始的的变动，，是以数数年为周周期的周周期变动动。4、不规则则变动：：是指由由各种偶偶然性因因素引起起的无周周期变动动。二、时间间序列的的组合形形式（1）加法型型（2）乘法型型（3）混合型型其中：Yt为时间序序列的全全变动；；Tt为长期趋趋势；St为季节变变动；Ct为循环变变动；It为不规则则变动。。1、加法型型序列的的外推预预测法1.对样本序序列做长长度为（（k－1）的滑动动平均，，削去随随机干扰扰，记滑滑动平均均的序列列为2.对于求求出出趋势线线3.将序列消消除趋势势的影响响，求出出削去趋趋势后的的序列值值4、将按按季节次次序重排排，假定定t＝1为春季季5、对季季节指指数进进行检检验，，，，符合合季节节指数数条件件，否否则对对指数数进行修正正。若若，，则6、进行行预测测2.乘法型型序列列的外外推预预测对于乘乘法型型序列列1.对序序列列值分分解出出长期期趋势势因素素，假假设季季节长长度为为4，只要要将序序列做做滑动动长度度为4的滑动动平均均，即即可消消除随随即干干扰和和季节节波动动。记记滑动动平均均值为为，，滑滑动的的序列列只只包含含趋势势因素素。2.对分分解解出季季节因因素和和随机机因素素，，3.从中中分分解季季节因因素。。为为避免免直接接平均均将季季节因因素也也消除除掉，，需将将序列列按照照春夏夏秋冬冬的顺顺序逐逐季排排列，，然后后将相相同季季度的的相加平平均消消除随随机性性，保保留季季节性性。如如果得得到的的平均均数相相加则需需进进行行季季节节指指数数的的调调整整4。利利用用序序列列，，求求出出线线性性趋趋势势方方程程，，记记为为：：5.根据据3、4得到到的的季季节节指指数数和和，，可可得得预预测测公公式式：：9.5不同同的的滑滑动动平平均均方方法法及及其其在在趋趋势势外外推推的的应应用用移动动平平均均的的数数值值应应放放在在所所平平均均时时间间的的中中间间位位置置N为奇奇数数时时，，新新数数列列首首尾尾各各少少（（N-1）/2项；；N为偶偶数数时时，，新新数数列列首首尾尾各各少少N/2项。。当N为奇奇数数，，只只需需一一次次移移动动平平均均当N为偶偶数数，，需需再再进进行行二二项项移移动动平平均均即即移移正正平平均均（（或或中中心心化化））新新数数列列较较原原数数列列项项数数少少,造成成部部分分信信息息缺缺损损。。N越大大，，缺缺项项越越多多。。偶数数项项的的中中心心化化简简单单平平均均数数要要经经过过两两次次移移动动计计算算才才可可得得出出。。例如如：：移移动动项项数数N＝4时，，计算算的的移移动动平平均均数数对对应应中中项项在在两两个个时时期期的的中中间间：：由于于这这样样计计算算出出来来的的平平均均数数的的时时期期不不明明确确，，故故不不能能作作为为趋趋势势值值。。解决决办办法法：对第第一一次次移移动动平平均均的的结结果果，，再再作作一一次次移移动动平平均均。偶数项项“移动法法则”：1.要取““2n+1”项；2.采用““首尾取取半法法”计算算移动动平均均数；；3.作为n+1项的长长期趋趋势值值。3×3项移动动平均均就是是对3项移动动平均均值再再进行行3项移动动平均均，首首先进进行3项移动动平均均：5×5项移动动平均均对称的的henderson移动平平均在X11中，为为了从从TC1序列中中获得得趋势势循环环要素素TC，必须须消除除其中中的不不规则则要素素I，这使使用的的是henderson移动平平均法法，也也称Henderson滤波：：Henderson加权移移动有有5，9，13，23项之别别，不不规则则要素素越大大，需需要的的项数数也越越大，，具体体推导导可见见Kennyanddurbin（1982）。下面给给出5项平均均的公公式前后后各差差两项项中位平平均数数在每一一个序序列中中除去去最大大值和和最小小值，，然后后再对对余数数进行行平均均，称称为中中位平平均数数9.6温特线线性和和季节节性指指数平平滑预预测法法一、温特线线性和和季节节性指指数平平滑法法的基基本原原理温特线线性和和季节节性指指数平平滑法法利用用三个个方程程式和和一个个预测测方程程组成成，其其中每每一个个方程程式都都用于于平滑滑模型型的三三个组组成部部分（（平稳稳的、、趋势势的和和季节节性的的），，且都都含有有一个个平滑滑参数数。已知时时间序序列，，乘法法序列列的形形式：：满足平滑公公式霍尔特特-温特斯斯指数数平滑滑法的的三个个平滑滑公式式：设定初初始值值：预测方方程霍尔特特-温特斯斯指数数平滑滑法的的预测测方程程为：：是季节节长度度。平滑系系数的的确定定1.三个平平滑系系数：：、、的取取值可可以相相同也也可以以不同同，一一般根根据经经验选选定，，常在在0.1~0.2之间。。2.理论上上可以以通过过多值值试算算，也也可以以应用用工具具软件件帮助助实现现。9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。20:37:2220:37:2220:371/1/20238:37:22PM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。1月-2320:37:2220:37Jan-2301-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。20:37:2220:37:2220:37Sunday,January1,202313、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。1月月-231月月-2320:37:2220:37:22January1,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。01一月月20238:37:22下下午20:37:221月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。。一月月238:37下下午午1月月-2320:37January1,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/120:37:2220:37:2201January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。8:37:22下午午8:37下午午20:37:221月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Sunday,January1,202310、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。20:37:2220:37:2220:371/1/20238:37:22PM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。1月-2320:37:2220:37Jan-2301-Jan-2312、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。20:37:2220:37:2220:37Sunday,January1,202313、