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文档简介

会计学1第7讲数学物理方程第二章分离变量法§1傅里叶级数指数形式的傅里叶级数其中第1页/共44页基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。§2齐次方程齐次边界条件的定解问题第2页/共44页代入方程：令代入边界条件1求两端固定的弦自由振动的规律一有界弦的自由振动令(4)(6)(7)（5）第3页/共44页本征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下的求解问题本征（固有）值：使方程有非零解的常数值本征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数（8）（9）第4页/共44页把（8）式代入（6）式，得（10）其中Cn和Dn是任意常数。将(9)(10)代入(4)式，得(11)式满足方程(1)和边界条件(2)，但一般不满足初始条件(3)。为了满足(3)式，按照解的叠加原理，将(11)式对n求和，即（11）（12）第5页/共44页将(12)式代入(3)式，得到第6页/共44页故定解问题的解为其中第7页/共44页▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。第8页/共44页2解的性质

x=x0时：其中：驻波法t=t0时：第9页/共44页例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。解：(1)分离变量第10页/共44页(2)求本征值和本征函数第11页/共44页(3)求另一个微分方程(4)求通解第12页/共44页(5)确定常量第13页/共44页解：例2求下列定解问题(1)分离变量第14页/共44页(2)求本征值和本征函数第15页/共44页(3)求另一个微分方程(4)求通解第16页/共44页初始条件(5)确定常量第17页/共44页二有限长杆上的热传导令带入方程：解：第18页/共44页第19页/共44页第20页/共44页令第21页/共44页令带入方程：令例3

求下列定解问题解：第22页/共44页第23页/共44页第24页/共44页例4

求下列定解问题解：第25页/共44页第26页/共44页第27页/共44页若则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考第28页/共44页分离变量流程图第29页/共44页三拉普拉斯方程的定解问题解：第30页/共44页第31页/共44页第32页/共44页第33页/共44页例5

求下列定解问题解：第34页/共44页第35页/共44页第36页/共44页第37页/共44页例6

求下列定解问题解：第38页/共44页第39页/共44页第40页/共

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