初二数学寒假专题-四边形折叠问题华东师大版知识精讲

初二数学寒假专题——四边形折叠问题华东师大版同步教育信息】.本周教学内容：寒假专题——四边形折叠问题（一）四边形折叠问题折叠问题是近年出现的一种新题型，它以轴对称性质为依托。有利于考查同学们分析问题和解决问题的能力。【典型例题】例1.如图所示，等腰梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=72,平移腰AB到DE,再将△DCE沿DE翻折，得到△DC'E，则ZEDC'二。分析：由于△DCE沿DE翻折后得厶DC'E，因此△DEC与厶DEC'关于DE成轴对称,由轴对称性质及等腰梯形性质可知ZC'=ZC=72°DC'二DC二DE/.ZC'DE二180°-72°-72°二36°答：ZEDC'=36°例2.矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果ZBAF=60则ZDAE等于°。分析：由对称性可知：Z1=Z2=2ZFADZFAD二90°-ZBAF二30°.•.ZDAE二15°答：ZDAE=15例3.把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G,点D、C分别落在D'C'的位置上，若ZEFG=55°，求Z1、Z2的度数。分析：此题特点是沿着一组较长对边上的两点（非矩形顶点）的直线折叠，且使重叠部分为三角形，则折痕平分关于折痕对称的两边所构成的角，而且重叠部分为等腰三角形解：由已知条件可知：四边形EDCF与四边形ED'C'F关于EF成轴对称。/.ZDEF=ZDEF•・•矩形ABCD/AD//BC/.ZDEF=ZEFG,Z2=ZGEDZEFG=55°・•・ZDEF=55°・•・ZD'EF=55°・•・ZGED=ZD'EF+ZFED=110°・Z1=70°Z2=ZGED=110°例4.将一长方形纸片按如图所示的方式折叠。BC、BD为折痕，则ZCBD的度数为分析：由对称性知：ZCBA=ZCBA'，ZDBE'=ZDBE又由于ZCBA+ZCBA+ZABD+ZDBE=180°所以ZCBA+ZABD=-x180°=90°2答：ZCBD=90°例5.把一张正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平得折痕为EF,如图（1）所示，接着，使点C不动。把B点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B'，折痕为GC如图（2）所示，连AB'，问图中ZGAB的度数。

分析：由对称性可得△ABB'是等腰三角形且ZABB'=30°可得ZGAB'=75°解：连结BB'由已知条件可知ACBG与ACB'G关于CG成轴对称CB=CB又•・•四边形ABFE与四边形DCFE关于EF成轴对称••.EF垂直平分BC・•・BB'=B'C・•・CB=CB'=BB'・AB'BC为等边三角形・ZB'BC=60°又•・•正方形ABCD:,ZABC=90°ABB'=30°正方形ABCD,AB=BC:.BB'=ABBAB'=ZBB'A2答：ZGAB'=75°0・・.ZBAB'=18°2答：ZGAB'=75°0(二)代数几何综合题例6.梯形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t。当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形。当t为何值时，四边形PDCQ是等腰梯形。

分析：本题是一道几何运动题，在解题时，只要抓住平行四边形及等腰梯形的性质将几何问题转化为代数中的方程去解即可。解：（1）TAD//BC・•.当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形。DP二18—t,CQ二2t18—t—2t答：当t—6秒时，四边形PDCQ是平行四边形。（2）设P、Q运动到如图所示位置，梯形PDCQ为等腰梯形。分别过PQ作高PNDM,此时NQ=MC=BC—AD=3,QN=BN—BQ=AP—BQ=t—（21—2t）=3t—21即3t—21—3t—8答：当t—8秒时，四边形PDCQ是等腰梯形。例7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，E为CD中点，P为正方形边上一动点，动点P从点A出发沿ATBTCTE运动到E,若P经过的路程为x，△APE的面积为1y,则当y—3时，x的值为。分析：P点的运动可分三种情况讨论。（1）P在AB上;（2）P在BC上;（3）P在CE上。（1）当P在AB上时，y—1AP-BC—1x12把y=3代入，x=3（2）当P在BC上时，S—SKAPEAAP'E

・•・PP'//AE・x111(3)当P在CE上时，S最大为CE-AD=丁＜三AAPE2431故P在CE上时，面积达不到3,因此也不存在符合条件的点。答：x的值为3或5。模拟试题】2.点M、N为矩形ABCD一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点B落在直线MN上，得到点B'和折痕AE,延长EB'交AD于F,判断AAEF是什么三角形，并说明理由。四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D同时出发，按逆时针方向以同样的速度在正方形ABCD的边上移动。运动中的四边形PQEF是何种特殊四边形？请说明理由；PE和QF按怎样的规律运动呢？如果正方形ABCD边长为10，求四边形PQEF面积的变化范围。已知如图所示，正△AMN与菱形ABCD有一公共点A,且边长相等，M、N在BC、

CD上，求BAD的度数。5.（竞赛题）一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在起，得到折痕EF。证明四边形AECF是菱形。6.有一矩形纸片ABCD，AB=1