福建省厦门市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题 附答案

厦门市2023-2024学年度第一学期高一年级质量检测数学试题满分：150分 考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.2 B. C.3 D.43.已知，为第二象限角，则（）A. B. C. D.4.已知，，，则（）A. B. C. D.5.若命题：，是假命题，则（）A. B. C.或 D.6.已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（）A. B.C. D.7.已知函数，若，则（）A. B. C. D.8.已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9.下列函数中，与函数是同一个函数的是（）A. B. C. D.10.函数在区间内存在零点的充分条件可以是（）A. B. C. D.11.已知实数，，满足且，则（）A. B.C. D.12.已知表示不超过的最大整数，例如：，.定义在上的函数满足，且当时，，则（）A.B.当时，C.在区间上单调递增D.关于的方程在区间上恰有23个实根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______.14.已知函数的定义域为，，，，，，…，.写出满足上述条件的一个函数：______.15.已知函数，若，则的最小值为______.16.水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称位于的“大距点”.如图2，初始时刻位于，位于以为始边的角的终边上.图1 图2（1）若，当第一次位于的“大距点”时，的坐标为______；（2）在内，位于的“大距点”的次数最多有______次.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知函数.（1）若的解集为，求，；（2）若，，，求的最小值.18.（12分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.19.（12分）已知函数.（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；（2）当时，恒成立，求实数的最大值.20.（12分）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若方程在区间上有三个实根，，，求的值.21.（12分）在常温下，物体冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.知空气的温度为，现用某品牌电热水壶烧600毫升水，2分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与空气的温度一致.（1）从开始烧水算起，求壶中水的温度（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数解析式；（2）电热水壶在保温模式下会自动检测壶中水温，若水温高于，保温管不加热；若水温不高于，保温管开始加热，直至水温达到才停止加热，保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的.水烧开后，立即将电热水壶设定为保温模式.从开始烧水算起，求96分钟后壶中水的温度.22.（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）讨论函数的零点个数.厦门市2023-2024学年度第一学期高一年级质量检测数学试题参考答案与评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9.BD 10.AB 11.ACD 12.ACD第12题提示：对于选项C：的单调递增区间为，当时，，，故在区间上单调递增，故选项C正确；对于选项D：当，，，，“=”不同时成立，原方程无实根；当时，画出函数的图象，如图12-1，12-1 12-2因为，要证，只需证，令，则，只需证，如图12-2可知成立.所以方程在区间上恰有2个实根，所以方程在区间上恰有个实根，故选项D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 14.（答案不唯一，如）15.4 16.①②6第16题提示：（1）当时，经过时间，，，当位于的“大距点”时，与小圆相切，此时为直角三角形，所以，因为，所以，因为是第一次位于的“大距点”，所以，所以，所以，.（2）经过时间，，，对于任意，当位于的“大距点”时，，两点坐标满足，即.当时，求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题.若与有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，共长度等于36，因为，所以内不可能有7个交点.又当时，如图所示，与有6个交点，故最多有6次位于的“大距点”.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.本题考查二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系、基本不等式等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想.满分10分.解：（1）因为的解集为，所以，是方程的两根，所以，解得，.（2）因为，所以.因为，，所以.当且仅当，即时，等号成立.所以当，时，的最小值为9.18.本题考查三角函数图象与性质、图象变换等数学知识；考查运算求解、推理论证等数学能力；考查数形结合等数学思想；考查数学运算、直观想象等数学核心素养.满分12分.解：（1）由图知：，因为，所以.因为，所以，所以，即.因为，所以，所以.（2）的图象向右平移个单位长度后得.因为，令，当，即时，取最小值；当，即时，取最大值1.19.本题考查函数的单调性、奇偶性、最值等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查转化与化归、函数与方程等数学思想；考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养.满分12分.解法一：（1）在区间上单调递减.证明：，，且，则，因为，所以，，又，，所以，即，所以在区间上单调递减.（2）的定义域为，因为，所以为偶函数.由（1）可知在上单调递减，所以在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为.因为恒成立，所以恒成立，所以，解得，所以的最大值为.解法二：（1）同解法一（2）因为，所以，所以，所以，所以当时，的最小值为.因为恒成立，所以，所以的最大值为.20.本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查数形结合、转化与化归等数学思想；考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.满分12分.解法一：（1）令，由得，即，所以的单调递增区间为，.（2）由得，所以在区间上有三个实根，，等价于在区间上有三个实根，，，由对称性得，，所以，因为，，所以，所以.解法二：（1）同解法一（2）由，得，所以在区间上有三个实根，，等价于在区间上有三个实根，，，由周期性，有，因为，，所以，.21.本题考查指数运算、指数函数模型的应用等数学知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查函数与方程、转化与化归等数学思想；考查数据分析、数学建模等数学核心素养.解：（1）由题意知，空气的温度为，水温从自然冷却到用时30分钟，所以，即，所以，当时，依题意设，则，解得，所以，当时，依题意得，，即，综上，（2）由，解得，即从开始烧水算起，水温从升到，再冷却到，用了62分钟，因为，所以保温管加热过，因为保温管加热时水温上升速度是正常烧水时的，所以保温管加热时，水温每分钟升高，所以水温从升至，所用时间为分钟，假设水温从降至需要分钟，则，即，因为，所以，即水温从冷却至所用时间超过30分钟，因为，所以从开始烧水算起，96分钟内保温管只加热过1次，所以当时，，所以当时，，所以从开始烧水算起，96分钟后壶中水的温度为.22.本题考查函数的单调性、奇偶性、函数的零点、不等式等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查转化与化归、函数与方程等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养.解：（1）的定义域为，因为，所以是奇函数.因为是增函数，所以是增函数，由得，即，所以，解得，即原不等式的解集为.（2）由得，①当，即时，等式成立，所以为的一个零点.②当，即