2023年山东省青岛市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年山东省青岛市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.设函数f(x)=2sinx，则f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

3.下列关系式正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

4.

5.在空间直角坐标系中，方程x+z2=z的图形是A.A.圆柱面B.圆C.抛物线D.旋转抛物面

6.

7.A.a=-9，b=14B.a=1，b=-6C.a=-2，b=0D.a=12，b=-5

8.

9.

10.

A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x11.（）。A.2ex＋C

B.ex＋C

C.2e2x＋C

D.e2x＋C

12.（）。A.

B.

C.

D.

13.下列命题中正确的有()．

14.

15.

A.仅有水平渐近线

B.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

C.仅有铅直渐近线

D.既无水平渐近线，又无铅直渐近线

16.

17.

18.

19.设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是()．A.A.f(x)在点x0必定可导B.f(x)在点x0必定不可导C.必定存在D.可能不存在

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.设，其中f(x)为连续函数，则f(x)=______．27.28.设f(x)=esinx，则=________。

29.

30.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______.31.函数y=x3-2x+1在区间[1，2]上的最小值为______．

32.∫e-3xdx=__________。

33.

34.设区域D：x2+y2≤a2，x≥0，则

35.

36.

37.

38.

39.40.三、计算题(20题)41.

42.

43.44.

45.46.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．47.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

48.

49.证明：50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

51.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则55.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．56.

57.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．58.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．60.求微分方程的通解．四、解答题(10题)61.求y"-2y'=2x的通解．

62.设y=xsinx，求y'。

63.

64.

65.设函数y=sin(2x-1),求y'。66.计算不定积分67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

是

收敛的()条件。

A.充分B.必要C.充分且必要D.无关六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D解析：

2.B本题考查的知识点为导数的运算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知应选B．

3.C本题考查的知识点为定积分的对称性．

4.A

5.A

6.B

7.B

8.B

9.A

10.B解析：

11.B

12.C由不定积分基本公式可知

13.B解析：

14.C

15.A

16.B

17.D

18.B

19.C本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．

函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0必连续．

函数f(x)在点x0连续，则必定存在．

函数f(x)在点x0连续，f(x)在点x0不一定可导．

函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在点x0必定不可导．

这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C．

20.C解析：

21.

解析：

22.

23.

24.y=1

25.26.2e2x本题考查的知识点为可变上限积分求导．

由于f(x)为连续函数，因此可对所给表达式两端关于x求导．

27.e．

本题考查的知识点为极限的运算．

28.由f(x)=esinx，则f"(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。

29.5/430.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).31.0本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题．

通常求解的思路为：

先求出连续函数f(x)在(a，b)内的所有驻点x1,…，xk．

比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的x即为，(x)在[a，b]上的最大(小)值点．

由y=x3-2x+1，可得

Y'=3x2-2．

令y'=0得y的驻点为，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当x∈(1，2)时有

Y'=3x2-2＞0．

可知y=x3-2x+1在[1，2]上为单调增加函数，最小值点为x=1，最小值为f(1)=0．

注：也可以比较f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为f(x)在[1，2]上的最小值．

本题中常见的错误是，得到驻点和之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内．而是错误地比较

从中确定f(x)在[1，2]上的最小值．则会得到错误结论．

32.-(1/3)e-3x+C

33.2x

34.

解析：本题考查的知识点为二重积分的性质．

35.

解析：

36.

37.

38.139.040.本题考查的知识点为无穷小的性质。

41.

42.

43.

44.

则

45.

46.函数的定义域为

注意

47.由二重积分物理意义知

48.

49.

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

52.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

53.

54.由等价无穷小量的定义可知

55.

56.由一阶线性微分方程通解公式有

57.

58.

59.

列表：

说明

60.61.y"-2y'=x为二阶常系数线性微分方程．特征方程为y2-2r=0．特征根为r1=0，r2=2．相应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x.r1=0为特征根，可设y*=x(Ax+B)为原方程特解，代入原方程可得

故为所求通解．

62.因为y=xsinx则y'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+x