(经典版)2019年全国卷Ⅲ文数高考试题

2019年一般高等学校招生全国一致考试（全国卷III）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真同意条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的地点贴好条形码。2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。1．已知会集A{x|1，0，1，2}，B{x|x2≤1}，则A∩B＝A．{－1，0，1}B．{0，1}C．{－1，1}D．{0，1，2}2．若z(1i)2i，则zA．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A．1B．1C．1D．164324．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学珍宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为认识本校学生阅读四大名著的状况，随机检查了100位学生，此中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该检阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的预计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.85．函数f(x)2sinxsin2x在[0,2]的零点个数A．2B．3C．4D．56．已知各项为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a53a34a1，则a3A．16B．8C．4D．27．已知曲线yexxlnx在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则aA．ae，b1B．ae，b1C．ae-1，b1D．ae-1，b1文科数学试卷第1页（共8页）8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM＝EN，且直线BM，EN是订交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是订交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行右侧的程序框图，假如输入的为0.01，则输出s的值为A．2124B．2125C．2126D．21272210．已知F是双曲线C：xy1的一个焦点，点P在C上，O为45坐标原点．若|OP||OF|，则△OPF的面积为A．3B．522C．7D．922xy≥，11．记不等式组6表示的平面地域为D．命题p：(x,y)D，2xy≥9；命题q：2xy≥0(x,y)D，2xy≤12．下边给出了四个命题①pq②pq③pq④pq这四个命题中，全部真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④12．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+)单调递减，则132123A．f(log3f(22)f(23)f(23)f(22))B．f(log3)44321231C．f(22)f(23)f(log3D．f(23)f(22)f(log3))44文科数学试卷第2页（共8页）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。13．已知向量a，b，a(2,2)，b(8,6)，则cosa，b__________.14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a35，a713，则S10___________．x2y21220为等腰三角形，则M的坐标为___________．16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，此中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6cm，AA14cm．3D打印所用的原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印消耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都一定作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）为认识甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行以下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，此中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积同样、摩尔浓度同样．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据实验数据分别获得以下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图获得P(C)的预计值为0.70．1）求乙离子残留百分比直方图中的a，b的值；2）分别预计甲、乙离子残留百分比的均匀值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinACbsinA．21）求B；2）若△ABC为锐角三角形，且c1，求△ABC面积的取值范围．19．（12分）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC构成的一个平面图形，此中AB＝1，BE文科数学试卷第3页（共8页）BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．1）证明：图2中的A，C，D，G四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；2）求图2中的四边形ACGD的面积．20．（12分）已知f(x)2x3ax22．（1）谈论f(x)的单调性；（2）当0a3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围．21．（12分）x2已知曲线C：y，D为直线y1上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为2A，B．2（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0,5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方2程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,)，D(2,???)，弧AB，BC，CD44所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,)，曲线M1是弧2是弧?，曲线是弧?．ABM2BCM3CD（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|3，求P的极坐标．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设x，y，zR，且xyz1．（1）求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；（2）若(x2)2(y1)2(za)2≥1成立，证明：a≤-3或a≥1．3文科数学试卷第4页（共8页）2019年一般高等学校招生全国一致考试文科数学参照答案一、选择题1．A2．D3．D4．C5．B6．C7．D8．B9．C10．B11．A12．C二、填空题13．214．10015．(3,15)16．118.810三、解答题17．（12分）由已知得0.70a0.200.15，故a0.35．b10.050.150.700.10．（2）甲离子残留百分比的均匀值的预计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05．乙离子残留百分比的均匀值的预计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00．18．（12分）（1）由题设及正弦定理得sinsinACsinBsinA．A20，所以sinAC因为sinAsinB．2由ABC180，可得sinACcosB，故cosB2sinBcosB．22222因为cosB0，故sinB=1，所以B60．222（2）由题设及（1）知△ABC的面积SABC3a．4由正弦定理得acsinAcsin(120C)31．sinCsinC2tanC2因为△ABC为锐角三角形，故0A90，0C90．由（1）知AC120，所以30C90，故1a2，从而33SABC．282所以，△ABC面积的取值范围是(3,3)．8219．（12分）1）由已知AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确立一个平面，从而A，C，D，G四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM．因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG．由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM．所以DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE=1，EM=3，故DM=2．文科数学试卷第5页（共8页）所以四边形ACGD的面积为4.．20．（12分）（1）f(x)6x22ax2x(3xa)．令f(x)0，得x0或xa．3若a0，则当x(,0)U(a,)时，f(x)0；当x(0,a)时，f(x)0．33故f(x)在(,0)，(a,)单调递加，在(0,a)单调递减；33若a0，f(x)在(,)单调递加；若a0，则当x(,a)U(0,)时，f(x)0；当x(a，0)时，f(x)0．33故f(x)在(,a)，(0,)单调递加，在(a,0)单调递减．33（2）满足题设条件的a，b存在．当0a3时，由（1）知，f(x)在(0,a)单调递减，在(a,1)单调递加．33所以f(x)在[0,1]的最小值为a)a32，最大值为f(0)2或f(1)4a．于是f(27334，a，ma2，Ma0227，2≤a3.22aa3，，270a2所以Mma3，2≤a3.27a3当0a2时，可知2aMm的取值范围是(8,2)．单调递减，所以3时，a32727当2≤a单调递加，所以Mm的取值范围是[8,1)．2727综上，Mm的取值范围是[8,2)2721．（12分）（1）设D(t,1)，A(x1,y1)，则x122y1．21y12因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1．tx1整理得2tx12y110．设B(x2,y2)，同理可得2tx22y210．故直线AB的方程为2tx2y10．所以直线AB过定点(0,1)．21．（2）由（1）得直线AB的方程为ytx2文科数学试卷第6页（共8页）ytx1，由22可得x22tx10．xy2于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，设M为线段AB的中点，则M(t,t21)．2uuuuruuuruuuur22)uuur2)t0，解得t0因为EMAB，而EM(t,t，AB与向量(1,t)平行，所以t(t2或t1．uuuur当t2，所求圆的方程为x2(y5)24．0时，|EM|uuuur25当t12x2(y)22．时，|EM|，所求圆的方程为222．（10分）1）由题设可得，弧?，?，?所在圆的极坐标方程为ABBCCD2cos，2sin，2cos．所以M1的极坐标方程为2cos（0≤≤），M2的极坐标方程为2sin4（≤≤），M3极坐标方程为2cos（4≤≤）．44（2）设P(,)，由题设及（1）知若0≤≤，则2cos3，解得6；4若≤≤，则2sin3，解得或；4433若≤≤，则2cos3，解得6．4综上，P的极坐标为(3,)或(3,)或(3,)或(3,)．633623．（10分）（1）因为[(x1)(y1)(z1)]2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)2(x1)(z1)2(y1)(z1)≤3[(x1)2(y1)2(z1)2]，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2≥4，当且仅当x5，y1，z1时