云南省昆明市官渡区金马中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

云南省昆明市官渡区金马中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若点与点关于直线对称，则直线方程为(A)(B)

(C)(D)参考答案：D2.某四棱锥的三视图如图所示，在四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是（

）A. B. C.2 D.3参考答案：D【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其几个侧面积中的最大值即可.【详解】如图所示，三视图对应的几何体为图中的四棱锥，其中正方体的棱长为2，点M为棱的中点，很明显，，由于，故，，，则四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是3.故选：D.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.若是函数的零点，则属于区间（

）A.

B．

C．

D．参考答案：A4.下面叙述正确的是（

）A．过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行B．过直线外一点只能作一个平面与这条直线平行C．过平面外一点只能作一个平面与这个平面垂直

D．过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直参考答案：D略5.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确的结论有几个

（

）A．3

B．2C．1

D．0参考答案：A略6.已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()A．－3i

B．3i

C．±3i

D．4i参考答案：B7.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．8.直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是(

)A．平行 B．不平行C．平行或重合 D．既不平行也不重合参考答案：C【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】计算题．【分析】化简方程组得到2k﹣1=0，根据k值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组，得2k﹣1=0，当k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选C．【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．9.设变量满足约束条件则目标函数的最小值是A．

B．C．D．参考答案：B10.复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为()A．2cos

B．－2cos

C．2sin D．－2sin参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是_________．参考答案：

1略12.已知两曲线的参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________________。参考答案：13.某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x(℃)171382月销售量y(件)24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．参考答案：46

14.若，则=

.参考答案：315.参考答案：16.双曲线的离心率大于的充分必要条件是

．参考答案：m>1

17.已知函数f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，则a的取值范围是

．参考答案：（，）考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，等价为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值，利用极大值大于0，极小值小于0，即可得到结论．解答： 解：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三个不相等的实根，设g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，则函数的导数g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，则g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=时，g′（x）=≥0，此时函数g（x）为增函数，不可能有3个根，若＞1，即0＜a＜时，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此时函数递增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极大值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极小值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，则，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此时函数递增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极小值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极大值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，则ln2a＞0，则不等式ln2a＜﹣1不成立，即此时不等式组无解，综上＜a＜．故答案为：点评：本题主要考查导数的综合应用，根据条件转化为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆M交于B，C两点，，.已知椭圆M离心率，且点在椭圆M上.（1）求椭圆M的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线方程；（3）求△BCD面积的最大值.参考答案：（1）椭圆的标准方程为：.（2）设点坐标为，设点坐标为，则点坐标为，由题，可得：，即①，即②联立①②，化简整理得，，故点在定直线上运动.（3）由（2）可得，点的纵坐标为，又，则，所以，，当且仅当，即时，等号成立.19.已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p．即可得出抛物线E的方程．（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p=2．∴抛物线E的方程为y2=4x；（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），∴kGA=．kGB==﹣，∴kGA+kGB=0，∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+2=0，=0，点F（1，0）到直线GA的距离d==，同理可得点F（1，0）到直线GA的距离=．因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．20.（本小题满分9分）在数列中，，

.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）解：因为，

，所以，……………………2分

.…………………4分（Ⅱ）证明：因为，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.……5分

所以，

即，所以的通项公式为

.…………6分（Ⅲ）解：因为的通项公式为

，所以当是正奇数时，.……………7分当是正偶数时，.………………8分综上，

…………………9分21.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知，.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.参考答案：证明：（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA

……………2分又因为PA平面DEF，DE平面DEF，

……………4分所以直线PA∥平面DEF

……………5分（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，EF∥BC，且DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，

……………6分所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF

……………7分又PA⊥AC，DE