上海甘泉外国语中学2022年高三数学理期末试卷含解析

上海甘泉外国语中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是（）A．3 B．8 C．14 D．15参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，2），此时z=3×2+4×2=6+8=14，故选：C．3.已知点An（n，an）（n∈N*）都在函数y=的图象上，则的大小关系是

A．

B．

B．

D．的大小与a有关参考答案：A4.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），则“a=2”是“∥”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据向量平行的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若∥，则a（1﹣a）+2=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，则“a=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量共线的坐标公式是解决本题的关键．5.已知，则

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.不等式组的区域面积是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D略7.若，则向量与的夹角为（）A．

B.

C.

D.参考答案：B8.已知命题，则为（

）A．

B．C．

D．参考答案：C9.已知向量m、n满足||=2，||=3，，则|+|=(

) A． B．3 C． D．参考答案：B考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，|﹣|2+|+|2=22+22=26，从而求得|+|的值．解答： 解：由，||=2，||=3，∴|﹣|2+|+|2=22+22=26，∴|+|=3，故选：B．点评：本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求，属于基础题．10.点M是抛物线x2=2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上，在△PFM中，sin∠PFM=λsin∠PMF，则λ的最大值为（）A． B．1 C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由正弦定理求得丨PM丨=λ丨PF丨，根据抛物线的定义，则=，sinα=，则λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，△=0，求得k的值，即可求得λ的最大值．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，由sin∠PFM=λsin∠PMF，则△PFM中由正弦定理可知：则丨PM丨=λ丨PF丨，∴|PM|=λ|PB|∴=，设PM的倾斜角为α，则sinα=，当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣，则，即x2﹣2pkx+p2=0，∴△=4p2k2﹣4p2=0，∴k=±1，即tanα=±1，则sinα=，则λ的最大值为=，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的前项n和为Sn，满足,且，则__，______.参考答案：

【分析】由，得到，列用裂项法，即可求得，在分别求得，归纳即可求解．【详解】由题意，数列满足，可得，所以++…+，由，递推可得，，，归纳可得.【点睛】本题主要考查了裂项法求和，以及利用数列的递推公式求解数列的项，归纳数列的通项公式，其中解答中熟记数列的求和方法，以及合理利用递推公式求项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．12.（理）函数的最大值和最小值分别为，则______．参考答案：略13.命题“?x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是：

．参考答案：?x＞0，x2+x﹣2＜0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答： 解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“?x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是：?x＞0，x2+x﹣2＜0．故答案为：?x＞0，x2+x﹣2＜0．点评：本题考查特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14.若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.参考答案：15.如图,对大于或等于的正整数的次幂进行如下方式的“分裂”(其中)例如的“分裂”中最小的数是,最大的数是；若的“分裂”中最小的数是,则最大的数是

．参考答案：271略16.

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是

．参考答案：420解：顶点染色，有5种方法，底面4个顶点，用4种颜色染，A=24种方法，用3种颜色，选1对顶点C，这一对顶点用某种颜色染C，余下2个顶点，任选2色染，A种，共有CCA=48种方法；用2种颜色染：A=12种方法；∴共有5(24+48+12)=420种方法．17.函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：①

函数=（xR）是单函数；②

若为单函数，③

若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④

函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是

.（写出所有真命题的编号）参考答案：②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和满足且成等差数列。（Ⅰ）求的通项公式

（Ⅱ）若，求．参考答案：（Ⅰ）)由已知，可得，即

…3分则，.又因为，，成等差数列，即.所以，解得.

…5分所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故

…………6分（Ⅱ）解：依题意，bn==，则，…………8分设Tn=b2+b4+…+b2n，故，……………9分而．两式相减，得=，……11分故．……………12分19.（本大题12分）

已知函数.

（Ⅰ）判断奇偶性；

（Ⅱ）若图象与曲线关于对称，求的解析式及定

义域；

（Ⅲ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）奇函数（2）,当时，；当时，

（3）当时，，故此时定义域中无正整数

当时，需所有正整数在定义域中，故，即

再利用单调性可知，，故所求范围是20.为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(1)求文娱队的人数；(2)求的分布列并计算．参考答案：解：设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有人，那么只会一项的人数是人.（1），

，即，…………（3分）.

故文娱队共有5人.………………（5分）

（2），………（8分）

的分布列为012P

……………（10分）

…………（12分）21.(本小题满分16分)设数列的首项为常数，且．（I）若，证明：是等比数列；（II）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．（Ⅲ）若是递增数列，求的取值范围．参考答案：证明：（Ⅰ）因为，所以数列是等比数列；……4分（Ⅱ）是公比为－2，首项为的等比数列．通项公式为，

…6分若中存在连续三项成等差数列，则必有，即解得，即成等差数列．

………8分（Ⅲ）如果成立，即对任意自然数均成立．化简得

………………10分当为偶数时,因为是递减数列，所以，即；…12分当为奇数时，,因为是递增数列，所以，即；………14分故的取值范围为．

…………………16分22.为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图所示是测量数据的茎叶图.规定：当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时，该产品为优等品.（1）试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；（2）若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取1件，抽到的2件优等品中，“甲产品的含量28毫克优等品必须在内，且乙产品的含量28毫克优等品不包含在内”为事件，求事件的概率.参