上海高中数学-知识点总结

上海高中数学一一知识点总结一、集合与常用逻辑.集合概念元素：互异性、无序性.集合运算全集U：如U=R交集：APlB={Xxe4且xeB}并集：AuB={xxeA或xeB}补集：CA={x|xe0且x与A}.集合关系空集0之A子集A三B:任意xeAnxeBAPB=A=A三BAUB=B=A三B4.注：数形结合一-文氏图、数轴四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若「P则」q5.原命题=5.原命题=逆否命题充分必要条件否命题=逆命题p是q的充分条件：Pnqp是q的必要条件：PUqp是q的充要条件：pOq.复合命题的真值①q真(假)O“「q”假(真)②p、q同真O“pAq”真③p、q都假O“pVq”假.全称命题、存在性命题的否定VeM,p(x)否定为：3eM,「p(X)3eM,p(x)否定为：VeM,「p(X)

二、不等式.一元二次不等式解法若a>0,ax2+bx+c=0有两实根a,P(a<0)，则ax2+bx+c<0解集(a,0)ax2+bx+c>0解集(—8,a)U(P,+s)注：若a<0,转化为a>0情况.其它不等式解法一转化x<ao—a<x<aox2<a2x2>a2x>aox>a或x2>a2f(x)g(x)af(x)>ag(x)of(x)>g(x)(a>1)ff(x)>0logf(x)>logg(x)o\(0<a<1)aa〔f(x)<g(x)3.基本不等式①a2+b2>2ab②若a,bgR+，则a”>ab2注：用均值不等式a+b>2ab、ab<(a+b)2求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质.奇偶性f(x)偶函数of(—x)=f(x)of(x)图象关于y轴对称f(x)奇函数of(—x)=—f(x)of(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性n定义域关于原点对称②f(x)奇函数，在x=0有定义nf(0)=0③“奇+奇=奇”(公共定义域内)

2．单调性f(x)增函数：X1<x2nf(x1)<f(x2)或x1>x2nf(x1)>f(x2)Tf(x)-f(x)、或12->0x-x12f(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性T是f(x)周期=f(x+T)=f(x)恒成立(常数T中0)4．二次函数解析式：f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x)(x-x)12-bb4ac-b2对称轴：x=—顶点：(---,)2a2a4abb单调性：a>0，(-8，--]递减，[---,+8)递增2a2af(x)=f(x)=

min4ac-b24a奇偶性：f(x)=ax2+bx+c是偶函数Ob=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b奇函数Ob=0四、基本初等函数1卫.指数式a0=1(a丰0)a-n=——am=manan.对数式logN=boab=N(a>0，a/1)a

logMN-logM+logN=logM-logNlogMn=nlogMaalogbJogJJgbalogalgamlogb=logb=logbn=an1loga

b注：性质log1=0aloga—1a注：性质log1=0aa常用对数lgN—logi0N,lg2+lg5―1自然对数lnN—logN,lne—1e定义域、值域、过定点、单调性？注：定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）14.幂函数y—x2,y―x3,y―x2,y—x-1点法点法数化简一定义域一讨论（奇偶、单调）特殊点如零点、最值点等象变换移：“左加右减，上正下y—x。在第一象限图象如下:五、函数图像与方程.描a>10<a<1a<0函性质取.图平

负”J=f(x)-J=f(x+h)1伸缩：J=f(x)—每一点的横坐标变为原来的句倍>J=f(x)w对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”J=f(x)x轴>J=—f(x)J=f(x)J轴>J=f(—x)J=f(x)原点>J=—f(-x)注：J=f(x)直线—x=aJ=f(2a-x)翻折：J=f(x)-J=lf(x)1保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方并将下方部分沿x轴翻折到上方J=f(x)fJ=f(IxI)保留J轴右边部分并将右边部分沿J轴翻折到左边3．零点定理若f(a)f(b)<0，则J=f(x)在(a,b)内有零点(条件：f(x)在［a,b］上图象连续不间断)注：①f(x)零点：f(x)=0的实根②在［a,b］上连续的单调函数f(x)，f(a)f(b)<0则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---f(a)f(b)<0？六、三角函数

…兀…，一.概念第二象限角（2k兀+—,2k兀+兀）（keZ）.弧长l二件卜r扇形面积S=1lr.y__x,一一y.定义sina=_cosa=_tana=—rrx其中P(x,y)是a终边上一点，PO=r4.符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如Sin(2k-a)=一sina,cos3/2+a)=—sina6.特殊角的三角函数值a0兀兀兀兀兀3兀sina02巫杷10—1cosa1正20—10tga01/0/.基本公式sina.同角sin2a+cos2a=1=tanacosa和差sin（a±p）和差sin（a±p）=sinacosP±cosasinPcosQ±p）=cosacosP干sinasinPtan（a±P）=tana±叫1干tanatanP倍角sin2a=2sinacosacos2a=cos2a=coga—sima=2cosa—1=1—2simatan2a=2tana1—tan2a1+cos2a降幕1+cos2a降幕cos2a=sin2a=2叠加sina+cosa=2sin（a+一）4兀3sina-cosa=2sin（a——）6“sina+Z7cosa=“2+匕2sin（a+（p）（tan中=a）b8.三角函数的图象性质y=cosxy=tanx单调性:单调性:（0,兀）减sinxcosxtanx值域奇偶奇函数偶函数奇函数奇偶奇函数偶函数奇函数周期对称轴中心（k兀中心（k兀,0）G/2+k兀,0）（k兀/2,0）9.解三角形基本关系：sin（A+B）=sinCtan（A+B）=-tanCcos（A+B）=-cosC.A+B基本关系：sin（A+B）=sinCtan（A+B）=-tanCcos（A+B）=-cosC.A+BCsin=cos22正弦定理:sinAsinBcsinC余弦定理：面积公式:余弦定理：面积公式:a=2RsinAa:b:c=sinA:sinB:sinCa2=b2+c2—2bccosA（求边）Ab2+c2—a2cosA=（求角）2bcS=-absinC△2注：A注：AABC中，A+B+C=?A<BosinA<sinB兀a2>b2+c2oNA〉七、数列1、等差数列定义：a-a=dn+1n通项：a=a+(n-1)dn1求和：n(a求和：n(a+a)S=1n—n21=na+—n

i2(n-1)d中项：b=Wc（a,b,c成等差）性质：若m+n=p+q，贝|a+a=a+amnpq2、等比数列定义：an+1-=q(q丰0)an通项：a=aqn-1n1na(q=1)求和：a(1-qn)求和：(q丰1)1-q中项：b2=ac（a,b,c成等比）性质：若m+n=p+q贝°a•a=a-amnpq3、数列通项与前n项和的关系s=a(n=1)a=<11ns-s(n>2)nn-14、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减三角形法°，平行四边形法°AACACAB+BC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始点中点公式：AB+AC=2ADoD是BC中点2．向量数量积x1x2+y1y22．向量数量积注：①a,b夹角：0o<0<180o

②同向：a-b=3.基本定理a=Xe+Xe（e,e不共线一基底）平行：allboa=，b=xy=xy(Z?wO)垂直：a.Lba-b=Qoxx+yy=0——►f2模：〃=%2+>2a+b=(〃+Z?”二…夹角：COS0=f2注：①注：①0〃。•b-c（结合律）不成立③a・b=a・cnb=c（消去律）不成立九、复数与推理证明.复数概念复数：z=a+bi（a,be7?）,实部a、虚部b分类：实数（匕=。），虚数（匕。。），复数集C

注：z是纯虚数=〃=0,b彳。相等：实、虚部分别相等共弧z=a-bi模：|z|=a2+Z?2=复平面：复数z对应的点（。/）.复数运算加减：（a+bi）+（c+di）=?乘法：（a+bi）（c+di）=?除法:a+bi(a+bi)(c-di)c+di(c+di)(c-di)乘方:.合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题一小前题一结论）4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论反证法：反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A为真，只要证B为真，即证……，这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立，(2)假设当n=k(keN*，k>1)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围［。,兀),y一y斜率k=tana=乙一。x-x21注：直线向上方向与X轴正方向所成的最小正角倾斜角为90°时，斜率不存在2、直线方程点斜式y—y=k(X—X)，斜截式y=kx+b00y一yx一xxy4两点式1=，截距式一+:=1y一yx一xab2121一般式Ax+By+C=0注意适用范围：①不含直线x=x0②不含垂直x轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系(注意条件)平行ok=k且b丰bTOC\o"1-5"\h\z1212垂直okk=—1垂直oAA+BB=01212124、距离公式两点间距离：|AB|二(x一x)2+(y一y)21212

Ax+By+C\点到直线距离：d=00।<A2+B2圆心(a,b)，半径r5、圆标准方程：(x-a)2+(y-b圆心(a,b)，半径r圆一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(条件是？)半径r=(D半径r=圆心--V26、直线与圆位置关系位置关系相切相交相离几何特征d=rd<rd>r代数特征△=0△>0△<0注：点与圆位置关系(x-a)2+(y-b)2>r2o点P(x,y)在圆外00007、直线截圆所得弦长AB=2Jr2-d2十一、圆锥曲线、定义椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F21)双曲线：|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹、标准方程与几何性质(如焦点在x轴)x2y2椭圆——十—=1(a>b>0)a2b2x2双曲线——-

a2y2b2=1(a>0,b>0)中心原点对称轴？焦点F1(c,0)、F2(-c,0)顶点：椭圆(土a,0),(0,土丘，双曲线(土a,0)范围：椭圆-aVxVa,-bVyVb双曲线|x|>a,yeR焦距：椭圆2c(c=a2—b2)双曲线2c(c=a2+b2)2a、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a椭圆0«<1,双曲线e>1x2y2b注：双曲线——一二=1渐近线y=±一］a2b2a方程mx2+ny2=1表示椭圆今m>0,n>0.m丰n方程mx2+ny2=1表示双曲线omn<0抛物线y2=2px(p>0)顶点(原点)对称轴(x轴)开口(向右)范围xN0离心率6=1焦点F(p,0)准线x=-p22十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图程序框名称功能r1、起止框起始和结束^27输入、输出框输入和输出的信息—处理框赋值、计算O判断框判断某一条件是否成立rf<__>循环框重复操作以及运算．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT"提示内容”变量2输出语句：PRINT"提示内容”表达式3赋值语句：变量=表达式

4条件语句“IF—THEN—ELSE”语句IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIF4条件语句“IF—THEN—ELSE”语句IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIF5循环语句当型循环语句WHILE条件循环体WEND当型“先判断后循环”IF-THEN”语句IF条件THEN语句ENDIF直到型循环语句DO循环体LOOPUNTIL条件直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)=anxn+an_1xn-i+….+a1x+a0的求值秦九韶算法：v1=anx+an－1v2=v1x+an－2v3=v2x+an－3vn=vn－1x+a0注：递推公式V。=anVk=Vk.ix+an_k(k=l，2，^n)求f(x)值，乘法、加法均最多n次3、进位制间的转换k进制数转换为十进制数：aann-1aa(k)=axkn+axkn-1+10nn-1+axk+a10十进制数转换成k进制数：“除k取余法”例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x5—5x4—4x3+3x2—6x+7,秦九韶算法求f⑸123=2X48+2748=1X27+2127=1X21+621=3X6+36=2X3+0v0=2v1=2X5－5=5v2=5X5－4=21v3=21X5+3=108v4=108X5－6=534v5=534X5+7=2677十三、立体几何1．三视图正视图、侧视图、俯视图2.直观图：斜二测画法/XOY=45。平行X轴的线段，保平行和长度平行丫轴的线段，保平行，长度变原来一半3.体积与侧面积SS=nrl圆锥侧4V球-3nR3S=兀(R+r)lS=4兀R2圆台侧球表4.公理与推论确定一个平面的条件:①不共线的三点②一条直线和这直线外一点③两相交直线④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。.两直线位置关系相交、平行、异面异面直线一一不同在任何一个平面内.直线和平面位置关系auaaa=Aa//a.平行的判定与性质线面平行：a〃b,bua,aaana〃aPaa//a,auP,Pca=bna〃bb面面平行：AB//a,AC//an平面ABC/aaa/P,auana/P.垂直的判定与性质线面垂直：P1AB,P工ACnP上面ABC面面垂直：a1a,aupnpla如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直三垂线定理：PO1a,AO1anPA1aPO1a,PA1anAO1a在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理?TOC\o"1-5"\h\z.空间角、距离的计算八异面直线所成的角范围(0°,90。］/\平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理/A\直线和平面所成的角范围［0°,90°］\定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形\\\二面角范围［0°，180°］/―X定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形-g°点到平面的距离体积法一用三棱锥体积公式注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出.立体几何中的向量解法法向量求法：设平面ABC的法向量n=(x,y)TOC\o"1-5"\h\zn±ab,n±acan•AB=0,n•AC=0-aC解方程组，得一个法向量n线线角：设n,n是异面直线l,l的方向向量，1212l,l所成的角为0，则cos">cos<n,n>1212即l,l所成的角等于<n，儿>或兀><n,n>121212线面角：设n是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线，AB与平面a所成的角为0,"»AB-n则Usin①一cos<n,AB>=AB-n二面角：设n,n是面a,p的法向量，二面角a>l>0的大小为0,则cosO=cos<n},n>或TOC\o"1-5"\h\z1212—cos<n,n>12即二面角大小等于七n,n>或兀<n,n>1212点到面距离：若n是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线段，且Bea,AB•n则点A到平面a的距离d=n十四、计数原理.计数原理加法分类，乘法分步n！(n！(n-m)!公式Am=n(n-1)•一(n-m+1)=nn(n-1)•…(n-m+1)n！Cm二-一二F——「n1x2x•…xmm！•(n—m)!关系：Am-m！•Cn性质：Cm二Cn-mC0+C1+C2H\~Cn=2