微积分3sadfa-第一次习题课题解

第一次讨论课参考1（1）

（（2）x2x2y21

|x||y||x||y|

.（p1存在2 x2y2xy(x,y注释：二元函数求极限的常用思路（一般是计算题，不要用方法证明先

limf(xy是否存在．如果发现沿不同的路径（例如当(xy沿不同射线）于零时，f(xy（例如（1）（2（3）x2y22解（3x2y2)x2y2x2y2x2y2xy

，注意在x,y)(0,0x2y

[1(x

y

x2yx2y20。

0x2y

x2y 所

x2y0(x,y)(0,0)x2y (x2y2)xylimt

limet

1（可化成一元极限的问题(x,y

t

t2所 (x2y2)xy [(x

x2yx2y2)(22x2y2

0(x,y xy（１）ux

xy（

（２）u x

y2（0（３）已知f

x2y,

axy2,求a提示：利用混合偏导数到顺序无关（a1

(x,y)二元函数fx,y)x2

在点(0,0处[C (x,y)(A)连续且偏导数存在 (C)不连续但偏导数存在 (D)不连续且偏导数不存在设f(xy)|xy|(xy)，其中(xy在原点O(0,0连续．求证f(xy在原点可微的充分必要条件是：(0,0)0．充分性

flim|x0|(x,0)0，flim|0y|(0,y)

．（ x0,

(x,y)0fxy

x

y

x

xy)(x,

x2y2|f(xx2y2

(x,

(xy)0．于是f(xy必要性f(xy在原点可微，则fx(0,0和fy(0,0f(0,0)

f(x,0)f(0,0)lim|x|(x,0)

x0如果这个极限存在，则必有lim(x,0)0，所以(0,0)0．5

xsinf(x,y)|x|2|y

(x,y)

证明f(x,y)在(0,0)点可微，并求

(x,y)注释：研究f(xy在点(x0y0(x)2 两个偏导数fx(x0y0和fy(x)2

f(x0x,y0y)f(x0,y0)0．f(xy(xy

xsinx1以xsinx |x|2|y

x2y0dfx2y6．设二元函数

f(xy)有连续偏导数，且

f(0,1．求证在单位圆周Lx2y21PP，满足y

x

0 （提示：在单位圆周上f(x,y化为参数t的函数(t)

f(cost,sint)，题目条件推出(0)()(2)．对于(t)应 2z

f(xyDxx(ty

(tD光滑曲线（x(t)2y(t)20的端点为AB．若f(A

f(B)M(xy，使f(M0)0．其中是M 0, 证：在上二元函数变成tz(t)f(x(ty(t．Ax(y(B(x(),y())．于是()()． 定理，存在(,)，使得()0由复合函数求导法则得到(

令 (x(),y())．则f(M0)fx()fy()()0 z

f(xy在点(aa

f(a,a)a,

b,

(a,a)b令(x)

f(x,f(x,f(xx)))

d2(x)

xa

2a(bb22b3)）f1和f2分别表示函数f对于第一个变量和第二个变量的偏导数.理清函数的复合d2(x)2(x)d

(x)d(x)ff

f(x,f(x, 2df(x,f(x,x))ff(ff d2(x)2(x)[f

f(ff(ff

当xaya代入题目条(a

f(a,f(a,f(a,a)))a

f(aa)b.得到

2

2a(bb22b3)．

zz(xy),zsiny

1

分析：利用公式f(x,y) fdxg(y),其中g(y)为待定函数,可以利用条 zzdxg(y)xsiny1ln(1xy)g( x1z(1ysiny1ln(1ygyz(1ysinyysiny1ln(1ygy)sinygy)1ln(1y),最后求得 zxsiny1ln(1xy)1ln(1y)y设函数f(x,y在点

y

j,

2求df(x0y0)

f(x0,y0)

f(x0,y0)解题思路解：因为函数f(x,yM(x0,y0f(x0,y0)

,y0

1fy2

,y0)12f(x0,y0)f(x,y)1f(x,y)2

1fy(x0,y02

1 5 55fx(x0,y05

fy(x0,y0)25解 fx(x0,y0)5

4

fy(x0,y0)

52555255df(x0,y0)

4

22)dy设zf(xyxy)，且函数f的二阶偏导数连续，求xy解题思路求复合函数的偏导数时，首先要将函数的复合结构分析清楚，找出变量之间的关解：令uxy,vxyz

f(u,v)f(u,v)y 注意到fu(uv),fv(uvxy2z

fuv(u,v)x

fv(u,v)

若fx,y的偏导数在点x0,y0的某邻域内存在且有界，则fx,y在点x0,y0分析：利用题目条件证明f证：f(x,y)f(x0,y0f(x,y)f(x0,y)

f(x0,y)f(x0,y0fx(,

x

fy(x0,)M(xy)2MXM为fx,fy的界设fxx0,y0存在，fyx0,y0在点x0,y0处连续，证明fx,y在点x0,y0处分析:证明函数fxyf

f(

x,

y)f(

,y表示成AxBy,其中当x2y2x20时, 比较是高阶无穷小量.或者x20AxByxyx2y20时,00f

f(x0x,y0y)f(x0,y0f(x0x,y0y)f(x0x,y0)

f(x0x,y0)f(x0,y0

因为fy(x,y)在点(x0,y0)连续，所以，根据一元函数 f(x0x,y0y)f(x0x,y0fy(x0x,y0y)y[fy(x0,y0)()]

x2其中， ，()为当x2又由已知，fxx0,y0

f(x0x,y0)f(x0,y0)

,y0f(x0x,