建筑材料力学全部-课件1第08章

第八章能量法沈阳建筑大学侯祥林刘杰民

第八章能量法§8–1外力功与变形能§8–2虚功原理§8–3静定桁架的位移计算§8–5图乘法§8–6支座移动引起的位移§8–7互等定理§8–4静定梁、刚架的位移计算

§8–1

外力功与变形能一、外力功力在自身作用下引起的位移上作功称为外力实功，简称外力功。P△△ydyPP(y)oyP二、变形能由外力引起的内力在外力自身作用下产生的变形上作功称为内力实功，简称内力功或变形能。⒈拉压杆的变形能dxNNdxd△l⒉扭转变形能dxdxdT⒊弯曲变形能dxdMM横力弯曲时，可忽略剪力作功，变形能仍按上式计算。组合变形杆件的变形能为三、实功原理当外力由零缓慢增加到终值时，忽略其它能量损耗，根据能量守恒定律，则外力功转化为弹性体的变形能储存在弹性体内，即外力实功等于内力实功。这就是实功原理。[例8－1]计算图示梁的变形能。m=PlPEIEIx1ACBx2llBC

段：AB

段：解：[例8－2]计算图示直径为d的圆截面水平直角弯杆在铅直力P作用下的变形能。(G=0.4E)ABCP2aax1x2BC段为弯曲变形；AB段为弯曲与扭转组合变形；解：[例8－3]应用实功原理求图示1/4圆弧形曲梁B点的铅直位移。P、R、EI已知。PRAB解：外力功：变形能：PRAB[练习1]应用实功原理求图示外伸梁C点的铅直位移。EIABPx1x2YA=P/2l/2lC解：外力功：变形能：实功原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载方向的位移。多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，不能用实功原理求解。因此，实功原理无多大实用价值。§8–2虚功原理一、外力虚功外力在其它因素（如其它力、支座移动、温度改变等）引起的位移上作的功称为外力虚功ABAB1212△P1△P2△P1、△P2为力P作用下梁1、2点的位移。P在位移△P1上作功为外力实功，即ABAB1212△P1△P2在位移△P2上作的功为外力虚功，即△P1ydyPP(y)oyP△P2ydyoy二、内力虚功外力所产生的内力在其它因素（如其它力、支座移动、温度改变等）引起的变形上作的功称为内力虚功ABCABCdxdxqdxdxNNdxdxABCABCdxdxqdxdxNNdxdxdxdxdxdxNNdxdxdxdx内力虚功：三、虚原理功根据能量守恒定律得：外力虚功等于内力虚功，这就是虚原理功。即虚功原理对于的任何值都成立，为了计算方便，取，故也称单位力法。即虚功原理用于静定结构的位移计算具有广泛的适用性。§8–3静定桁架的位移计算解题步骤：⒈计算实际荷载下的各杆轴力Ni；⒉在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载（求结点位移加单位力，求杆件转角加单位力偶）；⒊计算单位荷载下的各杆轴力；⒋将Ni、

代入虚功方程求位移。桁架杆件只有轴力，且各杆均为等轴力、等截面杆，于是虚功方程简化为：ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF加单位荷载求结点D的水平位移求结点D的竖向位移求杆BD的转角lBD求结点D、E的相对位移[例8－4]求图示桁架结点D的水平位移和BE杆的转角，各杆EA

相同。ABCDEFaaaP123456789ACEF123456789123456789Nl－P0000P/2P/2000011/21/2aaaaaaaBD解：ABCDEFaaaP123456789ACEF123456789123456789Nl－P0000P/2P/20000-1/2a-1/2aaaaaaaaBD00[练习2]求图示桁架结点D的竖向位移，各杆EA

相同。ABCDaaaP12345ACD12345B12345Nl0P/2P/211/21/2aaa解：§8–4静定梁、刚架的位移计算应用虚功原理计算静定梁、刚架的位移时，拉压、剪切较弯曲的内力虚功小得多，可略去不计。于是，虚功方程可简化为：解题步骤：⒈计算实际荷载下各段杆的弯矩Mi；⒉在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载（求结点位移加单位力，求截面转角加单位力偶）；⒊计算单位荷载下各段杆的弯矩；⒋将Mi、

代入虚功方程求位移。加单位荷载PABCDPABCD求结点C的竖向位移求B截面的转角PABCDPABCD求C、E两点的相对位移求铰C两侧截面的相对转角E[例8－5]求图示1/4圆弧形曲梁B端的铅直位移、水平位移和转角。P、R、EI已知。PABPRABRAB解：PRABRAB（向下）PRABRAB（向左）PRABRAB注意※：M与转向的假设必须一致，结果为正表示位移与单位荷载同向；结果为负表示位移与单位荷载反向。（顺时针）BqlAClEIEI[例8－6]求图示刚架B点的水平位移和C截面的转角。BACEIEIx1x1x2x2q1ql/2ql/2ql/21111解：qql/2ql/211（向右）11BACEIEIx1x21/l1/l1/l（顺时针）[练习3]求图示外伸梁C端的竖向位移△Cy和转角C

。EIABPx1x2YA=P/2l/2lCEIABx1x2YA=1/2l/2lC解：EIABPx1x2YA=P/2l/2lCEIABx1x2YA=1/ll/2lC§8–5图乘法等截面梁、刚架，虚功方程可写为：其中积分可通过几何法求之，即通过弯矩图图乘求之，故称为图乘法。xdxxyCxCyCABBAO于是得其中P为M图的面积，yC为M图的形心所对应的图的竖距。一、解题注意事项⒈M图与图在杆的同侧时，图乘为正；在杆的两侧时，图乘为负。⒉当图为同一直线时才能图乘，若图为折线，需分段图乘。二、几种常用几何图形的面积和形心位置Cl/2l/2h矩形三角形l/32l/3Chl/2l/2C标准抛物线h三、解题步骤⒈画荷载下的弯矩图—M图，均布荷载下的弯矩图按叠加原理画；⒉在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画弯矩图—图；⒊用图乘法求位移。[例8－7]求图示阶梯形悬臂梁自由

端的挠度和转角。A2EIaaBPEICM图2PaPaA2EIBEIC2a

图C1C2C3y3y2y1解：A2EIaaBPEICM图2PaPaA2EIBEIC1

图C1C2y2y1（顺时针）[例8－8]求图示简支梁C截面的挠度和A截面的转角。EIABYA=P/3l/32l/3PCYA=2P/3EIACM图

图C1C2y1y2B解：EIABYA=P/3l/32l/3PCYA=2P/3EIACM图

图C1C2y1y21B（顺时针）[例8－9]求图示外伸梁C截面的挠度和B截面的转角。qAll/3BCM图ql2/9ql2/8ACBl/3

图解：qAll/3BCM图ql2/9ql2/8ACB1

图（逆时针）[练习4]求图示外伸梁C截面的挠度和转角。EIABPl/2lCEIABl/2lC解：M图EIABPl/2lCEIABl/2lC1M图BqlAClEIEI[例8－10]求图示刚架B点的水平位移和C截面的转角。BAC1qlql/2ql/211ll解：llBqlAClEIEIBAC1/lqlql/2ql/211/l[例8－11]求图示刚架C截面的挠度和A截面的转角。BACEIEIP=qaqaa/3aDBACDqaa/3解：a/3DBBD

段弯矩图可由下列几种图形叠加而成。BACEIEIP=qaqaa/3aDBACDqa11DBBD

段弯矩图可由下列几种图形叠加而成。11[例8－12]求图示刚架A、B两点的相对位移xAB，EI

为常数。ABPPaaaABPaPaPaPaPaPaaaaaaa解：PaPaPaPaPaPaaaaaaa[练习5]求图示结构K点的水平位移。K2EIEI2EIqaqaaaK2EIEI2EIqa/21aaa解：aaa§8–6支座移动引起的位移c1c2c3△B静定结构，支座发生移动时，各点也将发生位移，但杆件无变形发生。故外力虚功不等于零，内力虚功等于零。c1c2c3△B在B

点加一单位荷载，单位荷载下支座的约束反力为外力虚功：内力虚功：由虚功原理得虚功方程：即ci—支座实际移动位移；—单位荷载下支座的约束反力。解题步骤：⒈在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载；⒉计算单位荷载下的支座反力；⒊将单位荷载下的支座反力代入虚功方程求结点位移。[例8－13]图示刚架支座B发生水平位移a

、竖向位移b，求铰C左右截面的相对转角和C点的竖向位移。abl/2l/2h001/h1/h（）解：abl/2l/2h1/2l/4hl/4h1/2（）[练习6]图示刚架，固端A水平移动a=10cm，竖向下沉