基本不等式解析几何

基本不第一等关系与不等一．实数的大小顺序与运算性质之间的关二．不等式的性 ， a＞b,，a＞b, a＞b＞0an＞bn(n∈Na＞b＞0⇔nanb(n∈N1(1)(1)a，b，c() B．若 C．若

已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若 ②若 d>0，则 ③若 d>0，则其中正确命题的个数是

已知a,b,c,d为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的 B.必要而不充分条 C．充要条 D.既不充分也不必要条例 若－2＜α＜β＜2α－β一．常用的重要的不等

第二讲基本不等ab，我们有a2b2ab二．基本不a0b0ab2当且仅 时，取等一正，二定，三相等

ab（即ab 例 (1)若x0，则x2的最小值 x若函数fxx

1x

(x2)在xa处取最小值，则a 23 23例2(1)若正实数 满足xy3，则xy的最大值 x，yR+x4y1xy若实数a,b满足ab2，则3a3b的最小值是 3 （C） （D）243若x，y是满足2x+y=20的正数，则lgxlgy的最大值为

3(1)x，y

4的最小值为 (x+y)(x+ (2)x0y0191xy 已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y14的最小值是

ya1x(a0，a1AA在直线mxny10(mn0上，11的最小值为 例4 已知a0,b0，则112ab的最小值是 2 B．2

下列函数中，最小值为4的是 Ayx4

Bysinx

sin

Cy4ex

Dylogx3

x(0x例5某公司一年某种货物400吨，每次都x吨，运费为4万元/次，一年的总费用为4x万元，要使一年的总运费与总费用之和最小，则x v（千米∕时）y

v23v

(vv为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（0.1千辆∕时）提升训练1(1)x1x

2x

的最小值 函数fxx

1x

4(x2),则fx有 最大值 B．最小值

＋＋

1 满足x2y3，则xy的最大值(2)若0＜x＜1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为 若实数 满足x2y23，则xy的最大值 3(1)已知logalogb1，则3a9b的最小值 已知x,yR，且满足xy1，则xy的最大值 1已知0b1

的最大值 yloga(x31(a0，且a1AA在直线mxny10mn012 532,(x0y0xy 若ab＞1P

lgalgb,Q1(lgalgb),Rlgab，则 解析几直线方一、知识要1LX,.90k=tan2p(x,y),p(x,y)(x≠x:k=tan

y2

x2 1x＝xp 1AB,CkABx①过点P(a,b)垂直于x轴的直线方程 ;过P(a,b)垂直于y轴的直线方程 ②已知直线的纵截距为b,可设其方程 axmyaxx1

2yy 二、基本训若直线过点(12(42

3),则此直线的倾斜角 若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等 已知直线l的倾斜角为，且cos3，则直线l的斜率 5

3xy10的倾斜角 过点(4,04

的直线方程 直线过点(4,0

10

D.-三．典型例1ABCA(4,0B(3,1),C(3,4(1)BC所在直线的方程；(2)BCAD(3)BCDE直线过点(4,0，倾斜角为，且2sincos5cos3sin 直线过点(3,4)2.P(3，2)，yx2(3）x、yA、B△AOBO2已知点P（1，－1），直线l的方程 x－2y+1=0.求经过点P，且倾斜角为直线l的倾斜角23.A(2,3B(4,1P(2,1的直线lAB有公共点，求直线l的斜率k及倾斜角的取值范围.区别（2）在观察动直线在运动过程中,要特别注意倾斜角是否含有900(,k1[k2,),若不含有,则斜率的范围是[k1,k2]（k1k2分别为线段端点与直线所过定点连线的变式训练：直线lM(0,2N(3,3m212m11求直线l的倾斜角ktan（1）达标练习3，2，

2A．y2C．y2

3(x3(x

B．y2D．y2

3(x33(x3

1在y轴上的截距是 b

b

设直线axbyc0的倾斜角为,若sincos0,则a,b满足 过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程 已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程是 4x2yC．x2y

4x2yD．x2yO（0，0，A(1,3),y13(x B.y13(xC.y33(x D.y33(x 点若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则11的值等 已知直线l6

3，求直线l已知直线lkxy12k0(k（2）若直线lxAyBAOBSS的最小值并求此时直线l的方程.一 知识要

两条直线的位置关0,则这两条直线垂直.若l1,与l2相交, ;若l1l2,则 ;若l1//l2, ;若l1与l2重合, ②设点A(x0,y0)，直线l:AxByC0,点A到直线l的距离为d ③设两平行直线l1AxByC0l2AxByC0(C则l1与l2间的距离d 二、基本训已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值 过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程 若三条直线2x3y80,xy10xkyk10k22 222

（C）2

（D）2若两平行线3x4y60与6x8yk0之间的距离为2，则k 2已知直线l过点A1,2，且原点到直线l的距离等22

，求直线l的方三．典型例11.已知两条直线l1

l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时

l1与（2）（3）变式训练：已知两直线l1:mx8yn0和l2:2xmy10mn(1)l1与l2P(m,1；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1y轴上的截距为1.2.已知直线lP（3，1，且被两平行直线l1：x+y+1=0l2：x+y+6=05。求直线l的方程。P(3,0作直线l，使它被相交直线2xy20xy30P点平分，求直线l的方程3.（1）A（2，2）关于直线l2x4y90求直线l2x4y90A（2，2）求直线l2x4y90x3y10变式训练：等腰三角形一腰所在的直线l1x2y20，底边上的高所在的直线l2xy10l34.已知三条直线3xy20,2xy30mxy0m变式训练：已知三条直线3x2y6m

2x3m2y180和2mx3y120达标练习x1mym20mx2y80平行，则实数m

1或

1或 3直线3

2xy3x

3y222

A(4,sinB(5,cosxyc0平行,则|AB|2 2

D．2光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为 21

B．y＝ y＝

已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是 或 C．3或 若直线l与直线y＝1，x＝7交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜1 )A.

3 B.点A(1,1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是( B.C. 已知点A(0,2)B(2,0)若点C在函数y＝x2的图象上则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 已知l经过3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线求直线l的方程求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积圆的方一、知识要①圆的标准方程 2M(xyx2y2DxEyF0 M在圆内 M在圆上 M在圆外 二、基本训x2y24x6y1102A.2,2

B.2,3；

C.2,3

D.2,32以两点A31B5,5为直径端点的圆的方程2(x1)2(y2)2 B.(x1)2(y2)2C.(x1)2(y2)2 D.(x1)2(y2)2圆(x2)2y25关于原点00x22y2 B.x2y22C.(x2)2(y2)2 D.x2(y2)2直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为 A．2 B.C．2 已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是 222在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积 22222

三．典型例1（1）A(5,2),B(3,2),2x-y-3=01x,y轴均相切且过点(1,8的圆(2)y2xy1x切于点（2，-1）达标练习△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则该三角形外接圆方程是( B．(x－2)2＋(y－2)2＝10D．(x－2)2＋(y－2)2＝5若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离

,则a（2 B．1或

0D．-2 已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小 95 5 55直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的范围 3，两个坐标轴上，则这个圆的方程 在圆x2＋y2＝9上，到直线3x＋4y＋24＝0的距离最小点的坐标 已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋2m－5＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出4.直线与圆、圆与圆的位置关一、知识要(一)．直线与圆的位置直线与圆相交直线与圆 个公共点直线与圆相切直线与圆只 直线与圆相离直线与 公共点(二)．直线与圆的位置关系的判断l：Ax+By+C=0(A,B0)与圆(xa)2yb)2r2（r>0） 注：①d为圆心（a,b）到直线l的距离AxByC②由xa2yb2r(三)．圆与圆的位置关

消元，得到的一元二次方程的判别式为O1O2RrRrd⊙O1与⊙O2相离圆心距d Rr⊙O1与⊙O2没有公共⊙O1与⊙O2外切圆心距d Rr⊙O1与⊙O2只 个公共⊙O1与⊙O2相交圆心距Rr d Rr⊙O1与⊙O2 ⊙O1与⊙O2内切圆心距d Rr⊙O1与⊙O2只 个公共⊙O1与⊙O2内含圆心距d Rr⊙O1与⊙O2没有公共(四)．设两圆Cx2y2DxEyF0Cx2y2DxEy

0 则两圆的公共弦所在的直线方程是(D1D2)xE1E2yF1F2)②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0x y22 1x y22 1kaBx2,

AB

r2dABr2d二、基本训

（其中rd直线到圆心的距离圆心为1,2且与直线5x12y70相切的圆的方程

x2y210(x1)2y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程 若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围 圆O：x2+y2-2x=0和圆O：x2+y2-4y=0的位置关系 直线x＋3y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1截得的线段的长为 23 233设直线l过点(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是 3（A）三．典型例

（B）2

（C） 3

（D）1．已知

x2y24

3C：x2+y2+2x-4y+3=0.Cxy2．直线lP（5，5，且与圆cx2y225相交，截得的弦长为

5，求直线l变式训练：1C(xa)2y2)24(a0l:x-y+3=0.lC23时，则a 2A222

B2 22过点P1,3引圆x2y24x4y100的弦 则所作的弦中最短的弦长为 2A. B.22C. 2已知直线l2mxy8m30和圆Cx2y26x12y2001mR时，证明l与C总相交；2ml被C3.已知圆⊙Cx2y22x2y80与⊙Cx2y22x10y240AB 1求公共弦AB所在的直线方程及AB2yxAB3求经过A,B两点且面积最小的圆的方程变式训练：1.若圆x2y24与圆x2y22ay60a0的公共弦的长为23，则a 2.C：x2＋y2－2x＋4y－4＝01mmCAB，且以ABm的方程；若不存在，说明理由．4.已知圆Cx3)2y5)2r2和直线l4x3y20若圆C4l1，求半径r若圆C3l1，求半径r若圆C2l1，求半径r【解题思路】从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入变式训练：1.圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是 22C. D.22已知圆(x3)2y5)236A(2,2)B(1,2,若点C在圆上且ABC52条件的点C四．达标练

1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是 A.xy3 B.2xy3C.xy1 D.2xy512两个圆Cx2y22x2y20与Cx2y24x2y10121 B.2C.3 D.4过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为 3363 632已知圆C1：x2y26x70与圆C:x2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的 2过点(,2)的直线l被圆022

，则直线l的斜率 直线lx2y22x4ya0(a3A，B，AB（0，1，则直线l的方程为4若曲线y (2x2)与直线yk(x2)4有两4则实数k的取值范围 。5．椭一、知识要(一)．椭圆的标准方程及其几何性F1、F2|F1F2|)M注Mx,y为椭圆上的MF1

2a（a为常数）

2c（c为常数a2②令b ，则有a2b2a2（a0b0c0abc均为常数x2y2 1 a y2x2 1 a 0 性质|x|≤a|y|≤aeca（）(二)．定义法求椭圆标准方程的方mx2ny21m0n0且mn二、基本训x

y

1的焦距 ，离心率 （2）椭圆6x2y26的焦点坐标 ，长轴端点坐标 y2已知F1F2是椭圆25

1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则ABF2的周长6A、 6C、 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 33 33 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 22

y1的离心率e ,则m的值 y 3 3且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程 xy xy椭

1的焦点为F1F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2

1具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程 三．典型例1（1）

3,)，且与椭圆2

24

4532已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（6，1）、 3222222过椭圆C:xy1(ab0)的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点 ) 21

333 （1）F1F2Ea2

1(ab0Px

2F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为 (A)2

(B)3

(C)

(D) 左焦点，线段AB过椭圆的右焦点F且垂直于长轴，则该椭圆的离心率 例3.已知点P是椭

1（ab0）F1F2P使F1PF2601求椭圆离心率e的取值范围 2若a=5,b=3求△PF1F2的面变式训练：(1).在平面直角坐标系xOy中，已知△ABCA(40)C(40)B在椭圆x2y2

1上，则sinAsinC sin点Py2x2=1，F和F∠FPF=30°,求△FPF F1、F2是椭圆Ca2

1(ab0p为椭圆CPF1PF2若PF1F2的面积为9，则b 例4.设椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为求C的方程；(2)求过点

CAB的中点坐标及且斜率为52变式训练:（1）直线l过点M1,1，与椭圆2

y2y1ABABM 求直线lx y（2）F1F2分别是椭圆Ca2+b2

ab0）A是椭圆CBAF2与椭圆CF1AF23求椭圆C的离心率 （Ⅱ）已知△AF1B的面积为3

，求a,b的值四．达标练 y2.已知F1F2是椭圆25

1F1ABABF2（6A、 D、6

y1(ab0x2y20y圆的离心率为 2A．

B．

C．

D．在△ABCA90tanB3A，B4焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e

x10

yk

1y2222x22

1上的点到直线x2y 的最大距离 已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为 椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)A(a,0)，B(0，b)F，△FABB三角形，则椭圆的离心率e为 21＋

22 → 333C.

2333 1的两个焦点,P为椭圆上一点,求|PF1||PF2|的最大 xy xy点A、B分别是椭

1长轴的左、右端点，点FPxPAPFPMAB上的一点，MAP的距离等于|MB|M的距离6双曲一、知识要(一)．双曲线的标准方程及其几何MoF1、F2小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双FMoMx,y为双曲线上的动点

2a（a为常数）

2c（c为常数②令b2c2a2（其中b0，则有c2a2b（a0b0c0abc均为常数x2y2 1 a y2x2 1 a 图形范围x≥a对称轴：坐标轴;对称中心：原对称轴：坐标轴;对称中心：原eca（）线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的离心率e(二)．定义法求双曲线标准方程的mx2ny21mn0ya二、基本训

x的双曲线方程可设为2a2

yb2

1的焦点坐标为

70)0)

7)，(0，7

(0)

(05)x4

y9

1的渐近线方程是 y32x

y23y

y94

y494

1的焦点到渐近线的距离为 3（A）3

（B）2

3已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1，则m（35 mx2y212

x2k

yk

1表示双曲线，则kyy1x2设△ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 11 1 23C． D．123三．典型例1（1）

y 1共焦点且过点(32,2y yPP坐标分别为(34295(4)求与双(4)求与双曲 1共渐近线且过A33

x2y2

1x2y21有共同的渐近线，且过点323 2与双曲

1有公共焦点，且过点322 3x2y21P423 4经过点15,3，且一条渐近线方程为4x3y0 25双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率2

，且过点4,

10x2.（1）a

y

1(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A.( B.

M:

1的左顶点A作斜1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 5 55 5 已知双曲线a2－2=1(a>2)的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为 2C.

B.B.2D.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率 设△ABCABC120A，B为焦点且过点C3.C(2,0)，右顶点为(3,02若直线lykx2

ABOAOB2（其中O为原点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．M(3，m)在双曲线上．12 (3)求△FMF面12四．达标练2设mF0,52

x9

1的一个焦点，则m x4

的距离 x y 3

1的一条渐近线的倾斜角为120，则m（ m33B.333 D.353 53若双曲线5m＝1的渐近线方程为

x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为 已知双曲线a2－b2＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为 A．(1， B．(1，C．( D．[5设椭圆C1的离心率 ，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 A.2－ B.2－

C.2－ D.

x y

双曲 4(,C.(12,

1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是 k(3,D.(60,设双曲

1(0ab的半焦距为c，直线l过(a,0、(0b两点，且原点到直线l

3c47抛物一、知识要（一．抛物线的定lNMKF平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 焦点，直lNMKFMxy为抛物线上的动点MF（dM到准线l的距离（二．抛物线的标准方程与几何性标方pFl图顶对称xy焦离心准方范开方焦半p2p2p2p2注：方法①图形特征：抛物线怀抱着焦点，准线在抛物线的另一标准方程的一次项xy)抛物线的对称轴为xy标准方程的一次项系数为正（或负）抛物线的开口朝（或“负）二、基本训焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程

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