2023年全国高考理科数学2卷-精美解析版

☆第10页共10页2023年普通高等学校招生全国统一考试〔新课标II卷〕理科数学本试卷4页，23小题，总分值150分．考试用时120分钟．一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔〕A．B．C．D．1．【解析】，应选D．2．集合，那么中元素的个数为〔〕A．9B．8C．5D．42．【解析】，元素的个数为9，应选A．3．函数的图像大致为〔〕A．O11O11xyO11xyC．O11O11xyO11xy3．【解析】，即为奇函数，排除A；由排除D；由排除C，应选B．4．向量满足，，那么〔〕A．4B．3C．2D．04．【解析】，应选B．5．双曲线的离心率为，那么其渐近线方程为〔〕A．B．C．D．5．【解析】离心率，所以，渐近线方程为，应选A．6．在中，，，，那么〔〕A．B．C．D．输出是否结束开始输出是否结束开始由余弦定理得，应选A．7．为计算，设计了右侧的程序框图，那么在空白框中应填入〔〕A．B．C．D．7．【解析】依题意可知空白框中应填入．第1次循环：；第2次循环：；；第50次循环：，结束循环得，所以选B．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是〔〕A．B．C．D．8．【解析】不超过的素数有：，共10个．从中选取两个不同的数，其和等于的有：与、与、与，共3对．那么所求概率为，应选C．9．在长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．D1AD1ABCDA1C1B1xyz那么，，，，所以，，那么，应选C．10．假设在上是减函数，那么的最大值是〔〕A．B．C．D．10．【解析】因为在区间上是减函数，所以的最大值是，应选A．11．是定义域为的奇函数，满足．假设，那么〔〕A．B．C．D．11．【解析】因为，所以，那么，的最小正周期为．又，，，，所以，选C．12．是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，那么的离心率为〔〕A．B．C．D．12．【解析】如图，因为为等腰三角形，且，所以，那么的坐标为，故，化简得，所以离心率，应选D．AAxyPF2F1O二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．13．曲线在点处的切线方程为．13．【解析】，那么曲线在点处的切线方程为．14．假设满足约束条件，那么的最大值为．xABCO－35y14．【解析】可行域为xABCO－35y15．，，那么．15．【解析】，，那么，即．16．圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，假设的面积为，那么该圆锥的侧面积为．ASBO16．【解析】如下图，因为，所以ASBO，所以．又与圆锥底面所成角为，即，那么底面圆的半径，圆锥的侧面积．三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．〔12分〕记为等差数列的前项和，，．〔1〕求的通项公式；〔2〕求，并求的最小值．17．【解析】〔1〕设等差数列的公差为，那么由，得，所以，即的通项公式为；〔2〕由〔1〕知，因为，所以时，的最小值为．18．〔12分〕下列图是某地区2000年至2023年环境根底设施投资额〔单位：亿元〕的折线图．0020402402202001801601401201008060投资额20002001200220032004200520062007202320232023202320232023202320232023年份14192535374242475356122129148171184209220为了预测该地区2023年的环境根底设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型，根据2000年至2023年的数据〔时间变量的值依次为〕建立模型①：；根据2023年至2023年的数据〔时间变量的值依次为〕建立模型②：．〔1〕分别利用这两个模型，求该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值；〔2〕你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．18．【解析】〔1〕将代入模型①：〔亿元〕，所以根据模型①得该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值为亿元；将代入模型②：〔亿元〕，所以根据模型②得该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值为亿元．〔2〕模型②得到的预测值更可靠．理由如下：答案一：从折现图可以看出，2023年至2023年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线的上下，2023年至2023年的环境根底设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型①不能很好的反响环境根底设施投资额呈线性增长．而2023年至2023年的数据对应的点紧密的分布在回归直线的附近，这说明模型②能更好地反响环境根底设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的预测值更可靠．答案二：从计算结果来看，相对于2023年的环境根底设施投资额为220亿元，利用模型①得到的该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值为亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值为亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．19．〔12分〕设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，．〔1〕求的方程；〔2〕求过点且与的准线相切的圆的方程．xFOABy－119．【解析】〔1〕焦点为xFOABy－1联立方程组，得，令，那么，．根据抛物线的定义得，即，解得〔舍去〕，所以的方程为；〔2〕设弦的中点为，由〔1〕知，所以的坐标为，那么弦的垂直平分线为，令所求圆的圆心为，半径为，根据垂径定理得，由圆与准线相切得，解得或．那么所求圆的方程为：或20．〔12分〕如图，在三棱锥中，，，为的中点．〔1〕证明：平面；PABCMO〔2〕假设点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．PABCMO20．【解析】〔1〕证明：连接，，为的中点，，，，即，，又，那么，即，PABCMOxyPABCMOxyz〔2〕由〔1〕知两两互相垂直，以为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系，那么，，，，，，令，．那么，，令平面的法向量为，由，取，得易知平面的一个法向量为，所以，解得〔舍去〕，即，因为，所以与平面所成角的正弦值为．21．〔12分〕函数．〔1〕假设，证明：当时，；〔2〕假设在只有一个零点，求．21．【解析】〔1〕方法1：欲证明当时，，即证明．令，那么，那么为增函数，，得证．方法2：时，，那么，令，那么，时，，为减函数，时，，为增函数，所以，即当时，，为增函数，所以，因此，时，．〔2〕方法1：假设在只有一个零点，那么方程只有一个实数根．令，等价于函数的图像与直线只有一个公共点．又，时，，为减函数，时，，为增函数，所以，时，时．那么时，在只有一个零点．方法2：假设在只有一个零点，那么方程只有一个实数根．令，等价于函数的图像与直线只有一个公共点．当直线与曲线相切时，设切点为，又，那么，此时．x1Oy2又当时，，x1Oy2时，，为增函数，所以，且时，时．根据与的图像可知，时，函数的图像与直线只有一个公共点，即在只有一个零点．〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数〔1〕求和的直角坐标方程；〔2〕假设曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．22．【解析】〔1〕消去参数，得的直角坐标方程为；消去参数，得的直角坐标方程为；〔的直角坐标方程也可写成：或．〕〔2〕方法1：将的参数方程：为参数代入得：，即，由韦达定理得，