工科数学分析-数分2往年课件第16章

1§16.2

直角坐标系下二重积分的计算二重积分定义：(3)求和：(4)取极限：(1)分割：(2)近似：二重积分的计算(D是矩形区域)y0xz

yabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

y0xz

yabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

Q(y

)=.

二重积分的计算(D是矩形区域).I0xz

yyabcdD.Q(y

)=I同理，也可以先对y积分..z=f(x,y)D是矩形区域[a,b;c,d]

二重积分的计算(D是矩形区域)6一、矩形区域上的二重积分的计算780xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)cyd

二重积分的计算（D是曲线梯形区域）0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).yD:(y)x(y)cyd

.Q(y

)

=I=

二重积分的计算（D是曲线梯形区域）.0xz

yx=(y)ycdDD:(y)x(y)cyd.Q(y

)

=I=z=f(x,y)x=(y)

二重积分的计算（D是曲线梯形区域）D:

x1(y)xx2(y)cydI=0y

xx2(y)x1

(y)cdy

X—型，Y—型区域D0y

xcdyDx2(y)x1

(y)I=

X—型，Y—型区域.D:

x1(y)xx2(y)cyd0y

xcdyDD:

y1(x)yy2(x)axb0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)xI=.D:

x1(y)xx2(y)cyd

X—型，Y—型区域0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x.I=D:

x1(y)xx2(y)cydD:

y1(x)yy2(x)axb

X—型，Y—型区域0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x.I=D:

x1(y)xx2(y)cydD:

y1(x)yy2(x)axb

X—型，Y—型区域170y

x113y=xx=y2D...例2.11y=x20y

xD2先对y积分（从下到上）1画出区域D

图形3

先对x积分（从左到右）...y=x...例3.

用两种顺序计算x0z

yab1D1（定积分三角代换）..瓦里斯公式例4.=0yx

D:x+y=1,x–y=1，x=0所围11–1先对y积分.y=1–xy=x–1.例5.将二重积分化成二次积分0y

xD:x+y=1,x–y=1，x=0所围11–1先对

y

积分.先对x积分D1D2.x=1–yx=y+1（不分块儿行吗？）.

用两种顺序计算

D:

由四条直线:x=3，x=5,

3x–2y+4=0,3x–2y+1=0

共同围成的区域

oxy35583x–2y+4=03x–2y+1=0D.D1D2D3先对y积分先对x积分..（需分块）..（需分块）例6.

将二重积分化成二次积分

D:..0y

x11y=xy=x2.例7.

将二重积分换序D:..0y

xaa....x=y例8.

将二重积分换序262728303132333435解例2

求òò+Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy=和2yx=所围平面闭区域.3637解38解积分区域如图39解原式例5

改变积分)0(),(20222>òò-adyyxfdxaaxxax

的次序.40解利用对称关系41

例7

求由曲面解:1、作出该立体的简图,并确定投影消去变量z得一垂直于面的柱面

立体镶嵌在其中,立体在所围成的立体的体积4243曲面的投影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域2、列出体积计算的表达式3、配置积分限,化二重积分为二次积分4445思考题46设积分区域D关于x

轴对称，D1

是D

中对应于

y

≥0的部分，则：利用对称性计算二重积分47解例

计算积分

òò=yxydxedyI212141òò+yyxydxedy121.òò=xxxydyedxI2211例2

求òò+Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy=和2yx=所围平面闭区域.例5

改变积分)0