上海市新沪高级中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析

上海市新沪高级中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“若，则”的逆否命题是

（

）A．若,则

B．若,则C．若,则

D．若,则参考答案：A2.运行如右图程序，若输入的是－2，则输出的结果是（ ）

A.3 B.9 C.0 D.－3参考答案：B分析：首先根据框图中的条件，判断-2与1的大小，从而确定出代入哪个解析式，从而求得最后的结果，得到输出的值.详解：首先判断－2＜1成立，代入中，得到，从而输出的结果为9，故选B.

3.设为等比数列的前项和,,则（

）A、 B、 C、 D、

参考答案：B略4.如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（

）A．

B． C．

D．参考答案：A5.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（

）

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．结论正确参考答案：A6.设点是轴上一点，且点到与点的距离相等，则点的坐标是 (A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B7.用数学归纳法证明时，到时，不等式左边应添加的项为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先列出当和时左边的式子，然后相减即可.【详解】解：当时，左边=当时，左边=所以不等式左边应添加的项为故选：C.【点睛】本题主要考查数学归纳法的基本步骤，数学归纳法的第二步从到时命题增加项可能不止一项.8.已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（）（1）MN⊥AB；（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；（3）平面CDM⊥平面ABN；（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C逐一考查所给的四个说法：(1)连结MC，MD，由三角形三线合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，∵MN?平面MCD,∴AB⊥MN,故(1)正确；(2)取BD中点E，连结ME，NE，则∠NME或其补角为MN与AD所成角，连结BN,由(1)知BM⊥MN,设正四面体棱长为1,则，,∴cos∠NME=,∴∠NME=45°,故(2)不正确；(3)由(1)知AB⊥平面CDM,∵AB?平面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN,故(3)正确；(4)取BC中点F，连结MF，DF，假设存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，∴AC⊥MN,∵MF∥AC，∴MF⊥MN，∵DF=DM=,∴∠FMD<90°,很明显∠CMF<90°.当N从D向C移动时,∠FMN先减小,后增大,故∠FMN<90°，与MF⊥MN矛盾.∴不存在点N,使得过MN的平面与AC垂直,故(4)正确.本题选择C选项.9.关于的不等式的解集为(－1,2)，则关于的不等式

的解集为

（

）

A.(－2,1)

B.

C.

D.

(－1,2)参考答案：B10.制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是()A．4.6mB．4.8m

C．5mD．5.2m参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正三棱锥的底面边长为2，高为1，则此三棱锥的体积为

▲

．参考答案：12.如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______．参考答案：【分析】根据原几何图形的面积与直观图的面积之比可快速的计算出答案．【详解】解：由直观图可得：原几何图形的面积与直观图的面积之比为：1又∵正方形O'A'B'C'的边长为2cm，∴正方形O'A'B'C'的面积为4cm2，原图形的面积S=cm2，【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查直观图面积和原图面积之间关系，属基础题．13.已知复数（i是虚数单位），则|z|=

▲_参考答案：，所以，故答案是.

14.若菱形的边长为，则__________。参考答案：2

15.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

.参考答案：1316.已知向量满足则，则

。参考答案：略17.复数

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）设(1)求x2，x3，x4的值；(2)归纳并猜想{xn}的通项公式；(3)用数学归纳法证明你的猜想．参考答案：19.过抛物线

=2（0<<3）的焦点F，倾斜角为30的直线与圆（－3）＋＝1相切，求此抛物线的准线方程.参考答案：解析：由题意知直线方程为：，即，又圆心（3，0），半径，且直线与圆相切，，解得或（舍去），抛物线方程为

=4，其准线方程为.20.已知函数.(1)若是函数的极值点,求的值；(2)求函数的单调区间.参考答案：（1）先求函数的定义域，然后求导数，根据“若是函数的极值点，则是导数的零点”；（2）利用导数的正负分析原函数的单调性，按照列表分析.试题解析：（1）函数定义域为，

因为是函数的极值点，所以

解得或

经检验，或时，是函数的极值点，又因为a>0所以

（2）若，所以函数的单调递增区间为；若，令，解得当时，的变化情况如下表-0+极大值所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是略21.已知函数f（x）=（x2﹣k）ex（e为自然对数的底数，e=2.71828，k∈R）．（1）当k=3时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）＜2x成立，求k的取值范围；（3）求函数y=f（x）在x∈[0，1]上的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）等价于k＞x2﹣对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x2﹣，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出k的范围即可；（3）求出函数的导数，通过讨论k的范围，得到函数的单调性，从而求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）k=3，f（x）=（x2﹣3）ex，f′（x）=（x+3）（x﹣1）ex，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞）；单调减区间为（﹣3，1）；当x=﹣3时，f（x）取得极大值6e﹣3；当x=1时，f（x）取得极小值﹣2e．（2）依据题意有（x2﹣k）ex＜2x，等价于k＞x2﹣对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x2﹣，g′（x）=2x﹣，由1≤x≤2，所以＜0，则g′（x）＞0成立，所以g（x）在[1，2]上单调递增，所以k＞g（2），故k＞4﹣．（3）f′（x）=（x2+2x﹣k）ex，令h（x）=x2+2x﹣k，当h（0）≥0，即k≤0时，h（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，则f′（x）≥0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（1）；当h（1）≤0，即k≥3时，h（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，则f′（x）≤0，所以f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）的最大值f（0）；当，0＜k＜3时，设f′（x0）=0，f（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，1]上递增，所以函数的最大值在x=0或1处取得，f（1）﹣f（0）=（1﹣k）e+k，当0＜k＜，f（1）＞f（0）；当3＞k＞时，f（0）＞f（1）；当k=时，f（1）=f（0），故f（x）max=．22.已知函数的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记，（1）求数列的通项公式；（2）设，Tn=b1+b2+…bn，求证：Tn＜3．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列与函数的综合．【分析】（1）根据条件建立方程组关系，求出a，b，结合指数和对数的运算性质即可求数列{an}的通项公式；（2）求出bn=的通项公式，利用错位相减法求出Tn=b1+b2+…bn，根据不等式的性质即可证明Tn＜3．【解答】解：（1）∵f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，