上海市思源中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析

上海市思源中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.无穷等差数列的各项均为整数，首项为、公差为，是其前项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项；②对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项；③存在满足条件的数列，使得对任意的，成立。其中正确命题的序号为

（

）A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③参考答案：C略2.（5分）在下列命题中，正确的个数是（）①若||=||，=；②若=，则∥；③||=||；④若∥，∥，则∥． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：B考点： 平行向量与共线向量．专题： 平面向量及应用．分析： 根据向量相等的概念可以判断①②是否正确；根据相反向量可以判断③是否正确；根据向量平行的概念判断④是否正确．解答： 解：对于①，||=||时，与的方向不一定相同，∴=不一定成立，命题错误；对于②，当=时，∥，命题正确；对于③，向量与是相反向量，∴||=||，命题正确；对于④，当∥，∥时，若=，则与的方向不能确定，∴∥不一定成立，命题错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．点评： 本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，是基础题目．3.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线对称，则直线的方程为()A．x＋y＋1＝0

B．x－y＝0

C.x－y＋1＝0

D．x＋y＝0参考答案：C略4.点(3,4)关于直线的对称点的坐标为（

）A.(4,3) B. C. D.参考答案：D令，设对称点的坐标为，可得的中点在直线上，故可得①，又可得的斜率，由垂直关系可得②，联立①②解得，即对称点的坐标为，故选D.点睛：本题考查对称问题，得出中点在直线且连线与已知直线垂直是解决问题的关键，属中档题；点关于直线成轴对称问题，由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”即斜率关系，“平分”即中点在直线上这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．5.若为圆的弦的中点，则直线的方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．【解答】解：由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，那么这个小组的平均分是(

)A．97.2

B．87.29 C．92.32 D．82.86参考答案：B8.已知A（1，3），B（﹣5，1），以AB为直径的圆的标准方程是（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=10 B．（x+2）2+（y﹣2）2=40 C．（x﹣2）2+（y+2）2=10 D．（x﹣2）2+（y+2）2=40参考答案：A【考点】圆的标准方程．【分析】因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：∵A（1，3），B（﹣5，1），设圆心为C，∴圆心C的坐标为C（﹣2，2）；∴|AC|=，即圆的半径r=，则以线段AB为直径的圆的方程是（x+2）2+（y﹣2）2=10．故选A．9.已知平面向量，则向量（）A．

B．

C.

D． 参考答案：D10.已知，函数与的图像可能是（

）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，则侧棱与底面所成角为_______．参考答案：45°【分析】先作出线面角，在直角三角形中求解.【详解】设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，如图所示，正四棱锥中，过作平面，连接，则是在底面上的射影，所以即为所求的线面角，，，，即所求线面角为.【点睛】本题考查直线与平面所成的角.12.已知且，则________.参考答案：13.若函数的值域为R，则实数的取值范围是

．参考答案：略14.某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0．2，则

．参考答案：200略15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．参考答案：3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的俯视图是半圆，得其原图形是底面半径为1，高为2的半圆柱，如图，该几何体的表面积等于两底半圆面的面积加上以1为底面半径，以2为高的圆柱侧面积的一半，加上正视图的面积．【解答】解：由几何体的三视图可得其原图形是底面半径为1，高为2的半圆柱，如图，该几何体的表面积等于两底半圆面的面积加上以1为底面半径，以2为高的圆柱侧面积的一半，加上正视图的面积．所以该几何体的表面积为π+π?1?2+2?2=3π+4．故答案为3π+4．16.求值arctan（cot）=．参考答案：【考点】反三角函数的运用．【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案为：．17.化简：+=．参考答案：2【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解：+=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，.（1）求的解析式；（2）解关于的方程（3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围.参考答案：解：（1）令即，则即(2)由化简得：即当时，方程无解当时，解得

若，则

若，则（3）对任意总有成立，等价于当时，令则令①当时，单调递增，此时，即（舍）②当时,单调递增此时，

即③当时，在上单调递减，在上单调递增且即，综上:略19.如图①，四边形ABCD是矩形，AB=2AD=2a，E为AB的中点，在四边形ABCD中，将△AED沿DE折起，使A到A′位置，且A′M⊥BC，得到如图②所示的四棱锥A′﹣BCDE．（Ⅰ）求证：A′M⊥平面BCDE；（Ⅱ）求四棱锥A′﹣BCDE的体积；（Ⅲ）判断直线A′D与BC的位置关系．参考答案：考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）证明A′M⊥DE，结合A′M⊥BC，利用线面垂直的判定定理，即可得到结论；（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE，则A′M是四棱锥A′﹣BCDE的高，利用体积公式，即可求四棱锥A′﹣BCDE的体积；（Ⅲ）直线A′D与BC是异面直线，利用反证法进行证明即可．解答：（I）证明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D，∵M为DE的中点，∴A′M⊥DE，∵A′M⊥BC，又DE与BC相交，∴A′M⊥平面BCDE．（II）解：由（I）知A′M⊥平面BCDE，则A′M是四棱锥A′﹣BCDE的高，在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D=a，则A′M=a．∵四边形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a，∴四边形BCDE的面积S==a2∴四棱锥A′﹣BCDE的体积V=S?A′M+a2×a=a3（III）解：直线A′D与BC是异面直线，理由如下：假设直线A′D与BC共面，则直线A′D与BC确定平面α，所以A′、D、B、C，都在平面α上∵D，B，C确定平面BCDE，则A′在平面BCDE上，这与已知矛盾∴直线A′D与BC是异面直线．点评：本题考查线面垂直，考查四棱锥体积的计算，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．20.（12分）已知函数，（Ⅰ）若，求方程的根；（Ⅱ）若函数满足，求函数在的值域；参考答案：21.(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；(2)已知x＞0，求y＝的最大值．参考答案：解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋＋7＝＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋，当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立，于是，，故y的最大值是7－2.(2).因为x＞0，所以，所以0＜y≤＝1，当且仅当，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.

22.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长．（2）求以M（1，1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程．（3）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆于A，B，求弦AB的中点P的轨迹方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆，右焦点为F（2，0）．（1）过点F（2，0）且斜率为1的直线为y=x﹣2，设l与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式：|AB|=即可得出．（2）设l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，，．把点A，B的坐标代入椭圆方程，两式相减可得k，再利用点斜式即可得出．（3）设点P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），且，kAB=kFP，即，把点A，B的坐标代入椭圆方程，两式相减即可得出．【解答】解：椭圆，右焦点为F（2，0）．（1）过点F（2，0）且斜率为1的直线为y=x﹣2，设l与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得14x2﹣36x﹣9=0，∴，，∴．（2）设l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，，．联立，两式相减得：5（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=