上海市定西中学2021年高二数学理月考试题含解析

上海市定西中学2021年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在上的最大值和最小值分别是（

）A

B

C

D参考答案：A略2.已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：+=（3，1，6），k﹣=（2k﹣1，k，4k﹣2），∵+与k﹣互相垂直，∴3（2k﹣1）+k+6（4k﹣2）=0，解得k=，故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是A．若，，则

B．若，，,则C．若，，,则

D．若，，则参考答案：D略4.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若为正三角形，则这个椭圆的离心率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.若ａ，ｂ为实数，则ａ，ｂ的值为（）Ａ．ａ＝１，ｂ＝－１．

B．ａ＝１，

ｂ＝１．Ｃａ＝－１，ｂ＝１．Ｄ．ａ＝－１，ｂ＝－１．参考答案：C略6.若函数，则f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.0参考答案：B【详解】因为，所以.所以,故选B.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.7.椭圆的焦距为(

)A.10

B.5

C.

D.参考答案：D略8.对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25参考答案：B【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25．第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5，第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8，第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15，第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22，第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25，前四组的频数之和为5+8+15+22=50，∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点，故2.02比较适合，故选：B．9.下面命题正确的个数是（

）①若，则与、共面；②若，则、、、共面；③若，则、、、共面；④若，则、、、共面；A．

B．

C．

D．参考答案：C10.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线,及直线x=a,与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A、

B、

C、

D、参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是

．（用区间表示）参考答案：12.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为则直线的斜率的取值区间为

．参考答案：13.已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________参考答案：【分析】对m进行分类讨论，、时分别分析函数的单调性，对m的取值范围进行进一步分类讨论，求出该函数在区间上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范围.【详解】①当时，函数外层单调递减，内层二次函数：当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，，解得：；当，即时，无意义；当，，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需，无解；当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，，无解.②当时，函数外层单调递增，，二次函数单调递增，函数单调递增，所以，解得：.综上所述：或.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，若大于0恒成立，则最小值大于0，若小于0恒成立则最大值小于0，注意对参数进行分类讨论，区分存在性问题与恒成立问题.14.已知的最大值是

.参考答案：2－415.已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则等于

。参考答案：16.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，S4=λa4，则λ为．参考答案：【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．【解答】解：∵等比数列{an}的公比q=2，∴由S4=λa4，得=λ23a1=8λa1，即15=8λ，故λ=，故答案为：【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，建立方程是解决本题的关键．17.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使an＜0成立的最小值n是

．参考答案：7【考点】等差数列的前n项和．【分析】S12＞0，S13＜0，可得＞0，＜0，因此a6+a7＞0，a7＜0，即可得出．【解答】解：∵S12＞0，S13＜0，∴＞0，＜0，∴a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0．则使an＜0成立的最小值n是7．故答案为：7．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数φ（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论φ（x）的单调性；（2）设f（x）=φ（x）﹣x3，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a＞﹣x2对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）φ′（x）=，（x＞0），a≤0时，φ′（x）＞0恒成立，则φ（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，则φ（x）在（0，）递增，令φ′（x）＜0，解得：x＞，则φ（x）在（，+∞）递减；（2）x＞0时，f（x）＜0恒成立，则lnx﹣ax﹣x3＜0，即a＞﹣x2对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2（x＞0），g′（x）=，设h（x）=1﹣lnx﹣x3（x＞0），h′（x）=﹣﹣3x2＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，又h（1）=0，则0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0，x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0，故g（x）max=g（1）=﹣，故a＞﹣．19.定义“矩阵”的一种运算·，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的变换下成点.设矩阵A=

(1)已知点在矩阵A的变换后得到的点的坐标为，试求点的坐标；(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由。参考答案：解：（1）设P（）由题意，有

，即P点的坐标为。（2）假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：因为该直线上的任一点M（），经变换后得到的点N()仍在该直线上所以即，其中代入得对任意的恒成立解之得故直线方程为或略20.如图,在四面体ABCD中,,点E,F分别是AB,BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）BD⊥平面EFC．参考答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据已知中E，F分别为AB，BD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥AD，再由线面平行的判定定理，即可得到直线EF∥面ACD；（2）由AD⊥BD结合（1）的结论可得EF⊥BD，再由CB＝CD，结合等腰三角形“三线合一”的性质，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC．【详解】证明：（1）∵E,F分别是AB,BD的中点．∴EF是的中位线,面ACD,面ACD,∴直线面ACD；（2）,F是的中点,又,平面CEF,平面CEF,得平面面EFC．【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间线面平行及线面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．21.在五面体中，,

,平面.（1）证明:直线平面；（2）已知为棱上的点，，求二面角的大小.参考答案：证明：（1）四边形为菱形，，………1分又∵平面∴………2分又直线平面.………4分(2)，为正三角形，取的中点，连接，则，又平面，∴两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，………5分，，………6分由（1）知是平面的法向量，………7分，，则