安徽省滁州市练铺乡中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

安徽省滁州市练铺乡中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=ln(1-x)的大致图象为

(

）参考答案：C2.设复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝A.1

B.5

C.

D.参考答案：C【考点】复数运算，复数的模因式展开得从而复数，分母实数化得到因此，故选C【点评】：分式形式的复数运算，注意分母实数化的步骤，分子分母要求同乘分母的共轭复数；求模运算注意正确选取实部和虚部；本题属于基本题型3.已知数列{an}为等比数列，a4+a7=2，a5?a6=﹣8，则a1+a10的值为（）A．7 B．﹣5 C．5 D．﹣7参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用数列的通项公式，列方程组求解a1，q的值，在求解a1+a10的值【解答】解：a4+a7=2，a5?a6=﹣8，由等比数列的性质可知a5?a6=a4?a7a4?a7=﹣8，a4+a7=2，∴a4=﹣2，a7=4或a4=4，a7=﹣2，a1=1，q3=﹣2或a1=﹣8，q3=a1+a10=﹣7故选：D4.有下列关系：①学生上学的年限与知识掌握量的关系；②函数图象上的点与该点的坐标之间的关系；③葡萄的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③④参考答案：D【考点】BG：变量间的相关关系．【分析】相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，①③④是一种函数关系，②中的两个变量具有相关性，即可得答案．【解答】解：根据题意，相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，依次分析所给的4个关系：①③④是相关关系，②是确定的函数关系，故选：D．【点评】本题考查变量间相关关系的判断，注意区分相关关系与函数关系的概念．5.如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则A．

B．C．

D．参考答案：B6.已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A解析：∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)

且3＋log23＞4

∴＝f(3＋log23)

＝7.若复数是纯虚数，则实数a的值为

（

）

A．6 B．—6

C．5 D．—4参考答案：答案：A8.已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)

B．[4,8)

C．(4,8)

D．(1,8)参考答案：B略9.已知向量，满足，，若，则m=（

）．A.2 B. C. D.参考答案：D【分析】根据已知求出的坐标，再由共线向量的坐标关系，即可求解.【详解】．因为，所以，解得．故选：D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题.10.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是（

）A．B．C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有

个．参考答案：23【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．12.如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为．参考答案：7【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=3x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．参考答案：y2＝4x设，则，，．14.已知直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，过点分别作椭圆的两条切线，则其交点的轨迹方程

参考答案：15.已知对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：略16.设不等式组，其中a>0,若z=2x+y的最小值为，则a=

.

参考答案：画出可行域如图所示，目标函数可变为，平移可知在取得最小值，代入可得，所以.17.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是

．

参考答案：9的变化如下表：159975则输出时．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列的公差不为零，其前n项和为，若=70，且成等比数列，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为，求证：．参考答案：解：（Ⅰ）由题知，即，

------------2分解得或（舍去），

------------4分所以数列的通项公式为．

------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得

------------7分

则

------------8分则=

------------10分由可知，即

------------11分由可知是递增数列，则

------------13分可证得：

------------14分略19.已知函数（Ⅰ）当时，求使成立的的值;（Ⅱ）当，求函数在上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数，并求它的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，由得，解得；（Ⅱ）当，作出示意图，注意到几个关键点的值:，最大值在中取.当；当；当2≤a＜3时，f(x)在上单调递减，单调递增，且是函数的对称轴，由于，所以，综上（Ⅲ）因为当x∈(0,＋∞)时，，故问题只需在给定区间内f(x)≥﹣2恒成立，由，当时，M(a)是方程的较小根，即时，，当时，M(a)是方程的较大根，即时，，综上，略20.已知如图5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2,,.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥D－PAC的体积；(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

图5参考答案：(1)证明：∵ABCD为矩形∴且--------------------------------------1分∵

∴且

--------------------2分∴平面,又∵平面PAD∴平面平面-----------------------------------------5分(2)∵----------------------------------7分由（1）知平面，且

∴平面-------------8分∴----10分（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得,,可得,----------------------------12分平面ABCD的单位法向量为，设直线PC与平面ABCD所成角为，则∴，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.---------------------14分解法2：由（1）知平面，∵面∴平面ABCD⊥平面PAB,在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角-------------12分在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,又∴在Rt△PEC中.即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.--------14分略21.（本小题满分14分）已知椭圆（）的长轴长为，且过点．求椭圆的方程；设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．参考答案：由已知……………………2分解得：………………4分椭圆的方程为……………5分证明：设，则，………6分由得：即……………7分是椭圆上一点……………8分即得故……………9分又线段的中点的坐标为……………10分…………11分线段的中点在椭圆上……………12分椭圆的两焦点恰为，……………13分……………14分22.设f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=处有水平切线．（1）求a的值；（2）设g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；转化思想；导数的概念及应用．【分析】（1）利用导数的运算法则可得：f′（x）．由于曲线y=f（x）在x=处有水平切线，可得=0，解得a即可．（2）对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2?g（x）max﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2．g（x）=+x+xlnx，g′（x）=+2+lnx，可知：g′（x）在x∈（0，1）上单调递增；由于x∈（0，1），可得x→0时，g′（x）→﹣∞；x=1时，g′（x）=＞0．因此必然存在t∈（0，1），使得g′（t）=0．进而证明即可．【解答】（1）解：f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），x∈R．f′（x）=（ax+a+1）?eax．∵曲线y=f（x）在x=处有水平切线．∴=（a+2）e=0，解得a=﹣2．（2）证明：对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2?g（x）max﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2．g（x）=f（x）+x+xlnx=+x+xlnx，g′（x）=+2+lnx，可知：g′（x）在x∈（0，1）上单调递增；∵x∈（0，1），∴x→0时，g′（x