2022浙江省丽水市平原中学高三数学文联考试卷含解析

2022浙江省丽水市平原中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（

）（A）

（B）2

（C）

（D）4参考答案：C2.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.复数满足则等于

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围，确定出整数解得到A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即A={0，1，2，3}，由B中不等式变形得：lnx＜lne，解得：0＜x＜e，即B=（0，e），则A∩B={1，2}．故选：C．5.已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数A.0 B.1 C. D.1或参考答案：D6.一个六面体的三视图如图所示，其左视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C略7.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，得到c≥，a＞0，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若函数f（x）在R上是单调递增函数，则，解得：c≥，a＞0，故≥=≥=，当且仅当3a=2b﹣3a即b=3a时“=”成立，此时的最小值是==4，故选：B．【点评】本题考查了求函数的单调性问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．8.已知命题：函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（

）

A. B.

C.

D.参考答案：D略9.设集合A={﹣1，0，a}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是（）A．{1} B．（﹣∞，0） C．（1，+∞） D．（0.1）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由题目给出的集合A与B，且满足A∩B≠?，说明元素a一定在集合B中，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由A={﹣1，0，a}，B={x|0＜x＜1}，又A∩B≠?，所以a∈B．则实数a的取值范围是（0，1）．故选D．10.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（）A．[0，3] B．[1，4] C．[2，5] D．[1，7]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵，λ∈[0，1]，=+λ=+λ=M（2+，λ），即M（2+，λ）；==+（﹣λ）=（，）+（1﹣λ）?（2，0）=（﹣2λ，），即N（﹣2λ，）．所以=（2+，λ）?（﹣2λ，）=﹣λ2﹣2λ+5=﹣（λ+1）2+6．因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，故当λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故选：C．【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2014?黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为_________．参考答案：12.一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，若第三次（不放回地摸）摸到红球的概率为，则袋中红球有

个.参考答案：813.在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若=x+y，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为．参考答案：[，4]【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用三点共线得出1≤x+y≤2，作出平面区域，根据斜率的几何意义得出的范围，从而得出的取值范围．【解答】解：∵AB∥MN，2OA=OM，∴AB是△OMN的中位线．∴当P在线段AB上时，x+y=1，当P在线段MN上时，x+y=2，∵终点P落在四边形ABNM内（含边界），∴．作出平面区域如图所示：令k=，则k表示平面区域内的点C（x，y）与点Q（﹣1，﹣1）的连线的斜率，由可行域可知当（x，y）与B（2，0）重合时，k取得最小值=，当（x，y）与A（0，2）重合时，k取得最大值=3，∴≤k≤3．∵=+1=k+1，∴≤≤4．故答案为[，4]．【点评】本题考查了平面向量的运算，线性规划的应用，属于中档题．14.把1,2,…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格Tn，第一行是1,2,…,n.例如：.设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)=

．参考答案：

(34,95)15.若f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在［a-1,2a］上的偶函数，则a=

，b=

.参考答案：,016.在二项式的展开式中，含项的系数记为，则

的值为

．参考答案：

略17.已知矩形ABCD的顶点都在半径为13的球O的球面上，且，，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则四棱锥E-ABCD的体积为_____________.参考答案：384

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线EF与BD所成角的余弦值．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知条件推导出PA⊥AD，由此利用面面垂直的性质定理能证明PA⊥平面ABCD．（2）法一：取BC的中点M，连结EM、FM，则FM∥BD，从而∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．法二：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．【解答】（本题满分12分）（1）证明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD…而∠PAD=90°即PA⊥AD，且PA?平面PAD…由面面垂直的性质定理得：PA⊥平面ABCD…（2）解法一：取BC的中点M，连结EM、FM，则FM∥BD，∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角．

…设PA=2，则AD=DC=CB=BA=2，…Rt△MAE中，，同理，又，…∴△MFE中，由余弦定理得，…解法二：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=2，…A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（1，2，0）…∵，，…∴…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查两导面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：ACC1A1）：甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：52

32

41

72

43

35

45

61

53

44乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：44

56

38

61

72

57

64

71

58

62（Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）法1：求出甲地区调查数据的平均数为，乙地区调查数据的平均数为，推出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：利用茎叶图可直接推出结果，乙地区的引用水中砷含量更高．（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：得到X的分布列，求出期望．【解答】解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为，；设乙地区调查数据的平均数为，．由以上计算结果可得，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高…（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：X的分布列为…

X0123P∵…【点评】本题考查茎叶图以及离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．20.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x=my﹣1经过点F1与椭圆C交于点M，点M在x轴的上方，当m=0时，|MF1|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点，MF1∥NF2，且=3，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出直线恒过F1（﹣1，0），即c=1，令x=﹣1，代入椭圆方程求得=，又a2﹣1=b2，解方程，即可得到椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），（y1，y2＞0），代入椭圆方程，结合直线的斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，由=3，可得y1=3y2，联立方程，解得M，N的坐标，即可得到直线l的方程．【解答】解：（1）直线l：x=my﹣1经过（﹣1，0），即有F1（﹣1，0），即c=1，当m=0时，x=﹣1，代入椭圆方程，可得y=±b，即有=，又a2﹣1=b2，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），（y1，y2＞0），由题意可得，+y12=1，+y22=1，①由MF1∥NF2，则=，即有=，②由=3，则=3即y1=3y2③由①②③解得或，即有M（0，1），N（，）．则m==1．即有直线l：x﹣y+1=0．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，掌握点在椭圆上，满足题意方程，同时考查直线的斜率及直线方程的求法，属于中档题．21.已知（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y-2=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域；（Ⅱ）若?x∈，使得对?t∈上恒有f（x）≥t3-t2-2at+2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．参考答案：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，

由条件可得，把x=-1代入x+y=2可得，y=1，

∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，

故只需t3-t2-2at+2≤1，即对任意的上恒成立，

令，易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，

而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，

∴g（x1）=g（x2）=0，

∴，，相加可得，相减可得，

由两式易得：；要证，即证明，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故?（t）在（1，+∞）上是增函数，∴?（t）＞?（1）=0，∴，故原不等式成立．22.已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，定点，P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M、F2N的倾斜角分别为α、β且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率求得a=c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得=，=，由+=0，结合韦达定理，即可求得m=﹣2k．则直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C的离心率e==，则a=c，椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（