2022年北京第二十七中学高一数学理模拟试卷含解析

2022年北京第二十七中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用与球心距离为的截面去截球，所得截面的面积为，则球的表面积为

A、

B、

C、

D、

参考答案：D2.已知等比数列{an}中，a1=2，且有a4a6=4a72，则a3=（）A．B．C．1D．2参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】由a4a6=4a72可得a12q8=4a12q12，解方程求得q2=，再根据a3=a1q2求出结果．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则由a4a6=4a72，可得a12q8=4a12q12，∴q2=．∴a3=a1q2=2×=1．故选：C．3.直线过点，在轴上的截距取值范围是，其斜率取值范围是

A、

B、或

C、或

D、或参考答案：D4.数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于()A．4n－1

B．2n－1－1 C．2n＋1

D．2n－1参考答案：D

5.已知tanα＝2，则＝()A.

B．－

C.

D.参考答案：D略6.（5分）已知两组样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，y1，y2，…ym的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 众数、中位数、平均数．专题： 计算题．分析： 首先根据所给的两组数据的个数和平均数做出这两组数据的和，把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，要求两组数据合成一组的平均数，只要用两组数据的和除以数据的个数即可．解答： ∵样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，y1，y2，…ym的平均数为k，∴第一组数据的和是nh，第二组数据的和是mk，把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，所有数据的和是nh+mk，∴这组数据的平均数是，故选B．点评： 本题考查两组数据的平均数，考查平均数的做法和意义，实际上这是一个加权平均数的做法，本题是一个基础题．7.数列{}的前n项和为若则等于…(

)A.1

B.

C. D.参考答案：B8.图中阴影部分表示的集合是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.若数列满足：存在正整数T，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足则下列结论中错误的是

（

）

A.若则可以取3个不同的值B.若数列是周期为3的数列C.对于任意的正整数T且,存在，使得是周期为T的数列D.存在有理数且使得数列是周期数列参考答案：D略10.

设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（

）

（A）

（B）

(C)

(D)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]?D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值=．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．由韦达定理可得b﹣a==，利用二次函数的性质求得b﹣a的最大值．【解答】解：关于x的函数y=f（x）==（1﹣t）﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．故有a=f（a），且b=f（b），即a=，b=．即a2+（t﹣1）a+t2=0，且b2+（t﹣1）b+t2=0，故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．而当t=0时，函数为y=1，不满足条件，故t∈（﹣1，）且t≠0．由韦达定理可得b﹣a==，故当t=﹣时，b﹣a取得最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．12.设(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2013)＝－17，则f(2013)＝________．参考答案：31略13.定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段PP2的长为

.参考答案：14.方程有两个不同的解，则的取值范围是参考答案：a<1,或a=5/415.（5分）函数f（x）=x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于

．参考答案：4考点： 二次函数在闭区间上的最值．专题： 函数的性质及应用．分析： 求出函数的对称轴，通过函数的开口方向，利用函数的单调性，求解函数的最大值．解答： 因为对称轴为x=2?[﹣1，1]，所以函数在[﹣1，1]上单调递增，因此当x=1时，函数取最大值4．故答案为：4．点评： 本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，注意对称轴与函数的单调性的应用．16.已知||=1，=（1，），（﹣）⊥，则向量a与向量的夹角为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出，代入夹角公式计算．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）?=0，即==1，∵||==2，∴cos＜＞==．∴＜＞=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的夹角计算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题．17.在区间上随机取一个数x，则的值在之间的概率为_________;参考答案：试题分析：本题考察的是几何概型中的长度问题，由且，求得，从而得到所求概率.考点：解三角不等式及几何概型.

16.侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．【答案】，【解析】【分析】侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥是正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，他们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出表面积。【详解】侧棱长为的正三棱锥其实就是棱长为的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为，该球的表面积为【点睛】此类特殊的三个面都是直角的三棱锥可以看着是正方体或者长方体的顶角，求三棱锥的外接球直径转换为求立方体的体对角线，求表面积或者体积实际就是在求外接球半径。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图（1），边长为的正方形中，分别为上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将沿折起，使三点重合于点。（1）求证：；（2）求四面体体积的最大值。参考答案：（1）证明：折叠前，，折叠后又，所以平面，因此。

-------4分（2）解：设，则。因此，

-------8分.所以当时，四面体体积的最大值为。

-------12分略19.经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据图中数据求的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．参考答案：见解析（Ⅰ），．（Ⅱ）第组人数为人，第组人数为人，第组人数为人，∴比例为，∴第组，组，组各抽，，人．（Ⅲ）记组人为，，，组人为，，组人为，共有种，符合有：种，∴．20.在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．（Ⅰ）求的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数．（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率．参考答案：见解析（Ⅰ）．（Ⅱ）有人，有人，两名学生都在概率为：，∴．21.已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=．（1）求sin（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．参考答案：【考点】GR：两角和与差的正切函数；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角的正弦公式求得sin（α+β）的值．（2）由（1）求得tanα和tanβ的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=，∴cosα==，sinβ==，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=．（2）由（1）可得tanα==，tanβ==，∴tan（α﹣β）===．22.（本小题满分12分）已知函数⑴求函数的定义域；⑵讨论函数f(x)的奇偶性；⑶判断函数f(x)的单调性，并用定义证明.参考答案：（1）使得函数有意义，则有,-解得：.-------------------------2分所以函数的定