2021年中考数学一轮复习瓜豆原理处理动点最值问题专题讲义

专题瓜豆原理知识梳理瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同,瓜豆原理是主从联动轨迹问题.主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆.关犍是作出从动点的运动轨迹,根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。【类型一］点在直线上运动：线段+直线模型：如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是什么?【结论】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线。【分析】可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线。【类型二】点在直线上运动：角+直线模型：如图，AAPQ是等腰直角三角形，NP4Q=90°且4P=4Q,当点P在直线BC上运动时，Q点轨迹是什么?【结论】当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。1/10

【分析】当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定值（NPAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定值（AP：4Q是定值）。【结论】P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于NPAQ（当NPAQW90。时，NPAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于4P：4Q（由可得4P:AQ=BC:MN）2/10

典型例题【例1】(2021年3月新区实验初三月考)如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE=CB,连接AE,以AE为腰，A为顶角顶点作等腰Rt^ZDE,连接CD,当CD最大时，/DEC的度数为( )A.60° B.75° C.67.5°D.90°【例2】(2017姑苏区二模)如图，在等边4ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD,以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边^DP凡当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是【例3】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2逐的一个定点，4C1%轴于点M,交直线y=-%于点N,若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,B41P4则点P在线段ON上运动时，A点不变，8点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是。xx【例4】如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以3/10

AB为边在AB的下方作等边^ABP,点B在y轴上运动时，求OP的最小值。【例5】（2019宿迁中考）如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为一.A DGG4/10

知识梳理【类型三】点在圆上运动：线段+模型：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点。问题：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有4/MQ〜△40P，QM:PO=AQ:AP=1:2.【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、。三点共线，由Q为AP中点可得：4M=1/240。Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放。【类型二】点在圆上运动：角+模型1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQLAP且AQ=AP。问题：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆。接下来确定圆心与半径。考虑APLAQ，可得Q点轨迹圆圆心乂满足4Ml40；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心乂满足AM=AO，且可得半径MQ=PO。即可确定圆M位置，任意时刻均有△4P0w44QM。5/10模型2：如图，AAPQ是直角三角形，NP4Q=90°且4P=24Q,当P在圆O运动时，Q点轨迹是什么？【分析】考虑4P14Q,可得Q点轨迹圆圆心乂满足4Ml4。；考虑4P:4Q=2:1,可得Q点轨迹圆圆心乂满足40：4时=2:1。即可确定圆M位置，任意时刻均有△ZPO〜4/QM,且相似比为2。【模型总结】为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”。此类问题的必要条件：两个定值主动点、从动点与定点连线的夹角是定值(NP4Q是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定值(4P：4Q是定值).AA【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：NP4Q=N04M；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：4P:4Q=40:4M,也等于两圆半径之比。按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆。“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。6/10【思考1］如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边△APQ。考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【思考2］如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ。考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？典型例题【例1】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是。【例2】如图，在等腰Rt^【例2】如图，在等腰Rt^ABC中，AC=BC=2<2，点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为7/10【例3】（2018南通中考）如图，正方形ABCD中，AB2不,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.【例4】4【例4】4ABC中,的最大值为 4B=4,4c=2，以BC为边在4ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O，则线段AO8/10巩固练习1、（2020年，连云港中考，16题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的OO与x轴的正半3轴至于点A，点B是EO上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=x-3与x轴、y轴分别至于点D、E，4则ACDE面积的最小值为。2、（2020年，南通中考，10题，3分）如图，在^ABC中，AB=2,NABC=60°,NACB=45°,D是BC的中点，直线l经过点D,AE±l,8?^1,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为（ ）A.6B.2・月 C.2/3D.333、（2020年，无锡中考，18题，3分）如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上，且DB=2AD,AE=3AC连接BE,CD,相交于点O,则4ABO面积最大值为。变