传递函数矩阵的矩阵分式描述

传递函数矩阵的矩阵分式描述第一页，共六十四页，2022年，8月28日右MFD和左MFD对于p维输入和q维输出，描述系统输入和输出关系的传递函数矩阵G(s)为有理分式矩阵。则一定存在多项式矩阵N(s)和D(s),以及多项式矩阵NL(s)和DL(s),使成立：第二页，共六十四页，2022年，8月28日如何构造右MFD和左MFD？第三页，共六十四页，2022年，8月28日第四页，共六十四页，2022年，8月28日

MFD的特性（1）MFD的实质类同于单输入单输出线性定常系统的传递函数的分式表示，多输入多输出线性定常系统传递函数矩阵的MFD实质上也是G(s)的分式化表示。称D(s)和DL(s)为G(s)的分母矩阵，N(s)和NL(s)为G(s)的分子矩阵。右MFD和左MFD的分母矩阵和分子矩阵一般为不同。第五页，共六十四页，2022年，8月28日（2）MFD的次数对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD规定对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD规定（3）MFD的的不唯一对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD不唯一，且不同的MFD可能具有不同的次数。只要能构成就是MFD。第六页，共六十四页，2022年，8月28日（4）不同次数MFD的扩展构造对的传递函数矩阵G(s)，为其中一个右MFD，而W(s)为任一非奇异矩阵，定义第七页，共六十四页，2022年，8月28日（5）同次数MFD的扩展构造对的传递函数矩阵G(s)，其一个右MFD，而W(s)为任一单模矩阵，定义第八页，共六十四页，2022年，8月28日第九页，共六十四页，2022年，8月28日第十页，共六十四页，2022年，8月28日（6）最小阶MFD对的传递函数矩阵G(s)，和为其一个右MFD和一左MFD，则有：MFD的不唯一，所以最小阶MFD也不唯一；称最小阶MFD为不可简约MFD第十一页，共六十四页，2022年，8月28日则为最小阶当且仅当其为左不可简约MFD，为最小阶当且仅当其为右不可简约MFD。第十二页，共六十四页，2022年，8月28日8.2矩阵分式描述的真性和严真性8.2.1真性和严真性对传递函数矩阵G(s)定义8.1[G(s)真性严真性]称G(s)为严真，当且仅当对i=1,2,..q，j=1,2,..,p,G(s)元满足degnij(s)<degdij(s)第十三页，共六十四页，2022年，8月28日称G(s)为真，当且仅当对i=1,2,..q，j=1,2,..,p,至少存在一个G(s)元满足定义8.2对传递函数矩阵G(s)，称G(s)为真，当且仅当称G(s)为严真，当且仅当第十四页，共六十四页，2022年，8月28日定义8.3称MFD为真，当且仅当其导出的传递函数矩阵G(s)为真。称MFD为严真，当且仅当其导出的传递函数矩阵G(s)为严真。和在传递函数是一样，只有当MFD为真或严真时，他所表征的系统才是可实现的。8.2.2真性和严真性的判别准则第十五页，共六十四页，2022年，8月28日（1）分母矩阵为既约的情形结论8.10[列既约右MFD真性严真性判据]第十六页，共六十四页，2022年，8月28日注意：结论中D(s)为列既约是一个不可缺少的前题，否则结论只是必要条件，而非充分条件。第十七页，共六十四页，2022年，8月28日结论8.11[行既约左MFD真性严真性判据]第十八页，共六十四页，2022年，8月28日第十九页，共六十四页，2022年，8月28日（2）分母矩阵为非既约的情形结论8.12[非列既约右MFD真性严真性判据]第二十页，共六十四页，2022年，8月28日第二十一页，共六十四页，2022年，8月28日结论8.13[非行既约左MFD真性严真性判据]第二十二页，共六十四页，2022年，8月28日8.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述8.3.1存在性和唯一性结论8.14[右MFD除法定理]第二十三页，共六十四页，2022年，8月28日结论8.15[左MFD除法定理]第二十四页，共六十四页，2022年，8月28日（2）确定严真MFD的算法算法8.1[确定严真右MFD算法]给定非真右MFDStep1:计算给定的有理分式矩阵G(s).Step2:对G(s)中所有非真和真元有理分式，通过多项式除法得到第二十五页，共六十四页，2022年，8月28日非真左MFD确定其严真左MFD的算法，可基于上述来导出。第二十六页，共六十四页，2022年，8月28日第二十七页，共六十四页，2022年，8月28日第二十八页，共六十四页，2022年，8月28日（3）一类特殊情形的多项式矩阵除法问题考虑具有相同列数的矩阵(sI-A)和多项式矩阵N(s),A为常阵，(sI-A)为非奇异且列次数和行次数满足表N(s)为矩阵系数多项式第二十九页，共六十四页，2022年，8月28日结论8.16[特殊情形右除法定理]对具有相同列数的矩阵（sI-A)和多项式矩阵N(s),唯一的存在常阵Nr(A)和多项式矩阵Qr(s),使成立：第三十页，共六十四页，2022年，8月28日

8.4不可简约矩阵分式描述不可简约MFD实质是传递函数矩阵的一类最简结构MFD，通常也称为最小阶MFD。定义8.4[不可简约MFD]称G(s)的一个右MFD为不可简约或右不可简约，当且仅当D(s)和N(s)为右互质；称G(s)的一个左MFD为不可简约或左不可简约，当且仅当DL(s)和NL(s)为左互质。第三十一页，共六十四页，2022年，8月28日第三十二页，共六十四页，2022年，8月28日不可简约MFD的基本特性（属性）（1）不可简约MFD的不唯一性结论8.18对传递函数矩阵G(s)其右不可简约MFD和左不可简约MFD均不唯一。（2）两个不可简约MFD间的关系结论8.19设为传递函数矩阵G(s)的任意两个右不可简约MFD，则必存在单模阵U(s)使成立：D1(s)=D2(s)U(s)N1(s)=N2(s)U(s)第三十三页，共六十四页，2022年，8月28日结论8.20设为传递函数矩阵G(s)的任意两个左不可简约MFD，则必存在单模阵V(s)使成立：DL1(s)=V(s)DL2(s)NL1(s)=V(s)NL2(s)(3)不可简约MFD的广义唯一性结论8.21传递函数矩阵G(s)的不可简约MFD满足广义唯一性。即若定出一个不可简约MFD，则所有不可简约MFD可由单模变换定出。第三十四页，共六十四页，2022年，8月28日第三十五页，共六十四页，2022年，8月28日（4）不可简约MFD和可简约NFD间的关系结论8.23[右不可简约MFD和有可简约MFD关系]对传递函数矩阵G(s)的任一右不可简约MFD，和任一有可简约MFD，必存在非奇异多项式矩阵T(s)，使成立：证明（1）由右可简约MFD找出一个右不可简约MFD。第三十六页，共六十四页，2022年，8月28日第三十七页，共六十四页，2022年，8月28日第三十八页，共六十四页，2022年，8月28日（5）不可简约MFD在史密斯形和不变多项式意义下的同一性结论8.25[右不可简约MFD的同一性]对传递函数矩阵G(s)的所有右不可简约MFD：必成立：1.Ni(s),i=1,2,…具有相同的史密斯形；2.Di(s),i=1,2,….具有相同不变多项式。第三十九页，共六十四页，2022年，8月28日（6）左不可简约MFD和右不可简约MFD间的关系结论8.27[左和右不可简约MFD关系]对传递函数矩阵G(s)的任一左不可简约MFD，和任一右不可简约MFD，必成立：

degdetDL(s)=degdetD(s)第四十页，共六十四页，2022年，8月28日（7）不可简约MFD的最小阶结论8.28[不可简约MFD最小阶属性]对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，和任一右MFD，定义其阶次为nL=degdetDL(s),nr=degdetD(s)则为最小阶当且仅当其为左不可简约MFD，为最小阶当且仅当其为右不可简约MFD。第四十一页，共六十四页，2022年，8月28日第四十二页，共六十四页，2022年，8月28日第四十三页，共六十四页，2022年，8月28日第四十四页，共六十四页，2022年，8月28日8.5确定不可简约矩阵分式描述的算法（1）基于最大公因子的算法结论8.29对传递函数矩阵G(s)，为任一右可简约MFD，多项式矩阵R(s)为的一个最大右公因子且为非奇异，若取第四十五页，共六十四页，2022年，8月28日则必为G(s)的一个右不可简约MFD。对偶地为任一左可简约MFD，多项式矩阵RL(s)为的一个最大左公因子且为非奇异，若取则必为G(s)的一个左不可简约MFD。

第四十六页，共六十四页，2022年，8月28日算法8.2[确定右不可简约MFD算法]对于右可简约MFD，确定一个右不可简约Step1:计算的一个最大右公因子多项式矩阵R(s).Step2:计算R(s)的逆。Step3：Step4:组成即为一个右不可简约MFD。第四十七页，共六十四页，2022年，8月28日第四十八页，共六十四页，2022年，8月28日第四十九页，共六十四页，2022年，8月28日（2）基于最大公因子构造定理的算法结论8.30对传递函数矩阵G(s)，为任一右可简约MFD，U(s)为单模阵，使成立：第五十页，共六十四页，2022年，8月28日第五十一页，共六十四页，2022年，8月28日第五十二页，共六十四页，2022年，8月28日第五十三页，共六十四页，2022年，8月28日（3）由右可简约MFD确定左不可简