《平面向量概念及运算》同步训练

《平面向量概念及运算》同步训练●考试目标主词填空1.实数与向量的积a与λa同向的充要条件是λ＞0.a与λa反向的充要条件是λ＜0.λ·(a＋b)＝λa＋λbλ·(a-b)＝λa-λb设a＝(x,y),则λa＝(λx,λy).2.向量的坐标运算设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)a＋b＝,a-b＝,a＝bx1＝x2且y1-y2,a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1＝0.3.三点共线的充要条件A、B、C三点共线存在λ∈R,使＝λ.4.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2.●题型示例点津归纳【例1】设e1、e2是不共线的向量，已知向量＝2e1＋ke2,＝e1＋3e2,＝2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k值.【解前点津】因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使＝λ由此等式可得关于λ,k的方程组，从而可求得k值.【规范解答】由条件得:＝-＝(2e1-e2)-(e1＋3e2)＝e1-4e2.因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使＝λ,所以2e1＋ke2＝λ(e1-e2)λ＝2且k＝-4λ,∴k＝-8.【解后归纳】利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.例2题图【例2】一艘船以5km/例2题图向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.【解前点津】用向量分别表示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.【规范解答】如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度，∠AOC＝30°,||＝5km/h.∵OACB为矩形，||＝||·cot30°＝||·cot30°＝5＝(km/h),||＝10km/h.所以，水流速度为8.66km/h【解后归纳】有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景，数形结合，是应用向量工具的一项基本功.【例3】(1)证明:三个两两不平行的向量a,b,c可以构成一个三角形(每个向量的始点重合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是:a＋b＋c＝0.(2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形.【解前点津】利用(1)的结论证明(2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论.【规范解答】(1)充分性:∵a＋b＋c＝0,∴a＋b＝-c根据三角形法则,三个两两不平行的向量a、b、c可以构成一个三角形;必要性:∵向量a、b、c可以构成一个三角形，∴不妨设在△ABC中,＝a,＝b,＝c,根据多边形法则,∵＋＋＝＝0,∴a＋b＋c＝0.例3题图(2)如图，D、E、F分别是△ABC中三边的中点，例3题图因为＝＋＝＋,＝＋＝＋,＝＋＝＋BC.∴将上述三式相加得,＋＋＝(＋＋)＝·0＝0.【解后归纳】熟练应用“三角形”法则以及“多边形法则”，是必须具备的一项“基本功”.【例4】用向量法证明:三角形三中线交于一点.【解前点津】在△ABC中,G是AD与BE的交点,连接AB的中点F与G及GC,欲证三中线共点，只须证明:G在中线CF上，从而只须证明与共线.例4题图【规范解答】∵＝＋,＝＋,例4题图∴＝(＋)＋(＋)①又∵＝＋,＝＋,∴两式相减得:＋＝(＋)即(＋)＝(＋)代入①消去＋得＝(＋)＋(＋)＝(＋)②∵＝＋,＝＋,∴2＝(＋)③比较②③得＝2,∴∥,∴C、G、F在一条直线上，故G在中线AF上.【解后归纳】证明“线共点”或“点共线”问题，常转化为向量共线的问题.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.设e1,e2是同一平面内的两个非零向量，则有()∥e2B.|e1|＝|e2|C.同一平面内的任一向量a,都有a＝λe1＋μe2(λ,μ∈R)D.若e1与e2不共线，则同一平面内的任一向量a,都存在实数λ,μ,使a＝λe1＋μe22.已知a＝e1-2e2,b＝2e1＋e2,且e1,e2是不共线的非零向量，则a＋b与c＝6e1-2e2的关系是()A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1,e2不共线，实数x,y满足:(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2＝6e1＋3e2,则x-y的值等于()4.若a,b不共线,且λa＋μb＝0(λ,μ∈R),则()A.λ·μ＝1B.λ·μ＝-1C.λ＝μ＝0D.λ,μ不确定5.已知a,b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1,λ2∈R),若c,b共线,则λ1＝()6.若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则()A.＝B.＝()C.＝2D.＝()7.已知＝(x,y),点B的坐标为(-2,1),则的坐标为()A.(x-2,y＋1)B.(x＋2,y-1)C.(-2-x,1-y)D.(x＋2,y＋1)8.已知a＝(3,-1),b＝(-1,2),则-3a-2b等于(A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)9.已知点B的坐标为(m,n),的坐标为(i,j),则点A的坐标为()A.(m-i,n-j)B.(i-m,j-n)C.(m＋i,n＋j)D.(m＋n,i＋j)二、思维激活10.已知平行四边形ABCD的顶点:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)则第四个顶点D的坐标是.11.已知向量a＝(3,-2),b＝(-2,1),c＝(7,-4),若c＝λa＋μb,则λ＝,μ＝.12.已知a＝(1,2),b＝(-3,2),若(ka＋b)∥(a-3b),则实数k＝.13.已知＝i-2j,＝i＋m·j,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,若A、B、C三点共线，则实数m＝.三、能力提高14.在平行四边形ABCD中.(1)设对角线＝a,＝b,求:,,,;(2)设边和的中点为M、N,且＝p,＝q,求,.15.设a＝,B(1,0),b＝(-3,4),c＝(-1,1)且a＝3b-2c,求点A的坐标.16.用向量证明:平行四边形对角线互相平分.17.在平行六面体ABCD-EFGH中,证明:＋＋＝2.第第17题图第2课数乘向量及坐标运算习题解答直接使用平面向量基本定理.∵a＋b＝3e1-e2＝·c.由条件:3x-4y＝6且3＝2x-3y,解之:x＝6且y＝3故x-y＝3.令c＝x·b则由x·b＝λ1a＋λ2b得x＝λ2且λ1＝0.第6题图解第6题图解∴＝∵,所以,＝-＝(-2,1)-(x,y)＝(-2-x,1-y).-3a-2b-3(3,-1)-2(-1,2)＝(-9,3)＋(＋2,-4)＝(-7,-1).＝-＝(m,n)-(i,j)＝(m-i,n-j).10.设D(x,y),∵＝,∴(-1,-2)-(3,-1)＝(x,y)-(5,6)故(-4,-1)＝(x-5,y-6).由得:故D点坐标是(1,5).11.由(7,-4)＝λ(3,-2)＋μ·(-2,1)得:7＝3λ-2μ,且-4＝-2λ＋μ解之:λ＝1,μ＝-2.12.∵ka＋b＝k·(1,2)＋(-3,2)＝(k-3,2k＋2);a-3b＝(1,2)-3(-3,2)＝(10,-4),∴10·(2k＋2)＝-4(k-3)k＝-.13.因,＝(1,m)故由∥得-2＝m即m＝-2.14.(1)如图(1)，记平行四边形ABCD的对角线交点为0,因平行四边形对角线互相平分，所以:第14题图解（1）＝＋＝a-b;第14题图解（1）＝＋＝b＋a;＝＋＝-a＋b;第第14题图解(2)＝＋＝-b-a.(2)如图(2)所示,∵＝＋＋＝＋q-＝＋q①又＝＋＋＝-＋(-p)＋＝-p②解①②构成的方程组得:＝q-p,＝q-p.15.设A(x,y),则＝(1-x,-y)代入a＝3b-2c得:(1-x,-y)＝3(-3,4)-2(-1,1),故.16.如图，AC与BD是平行四边形ABCD的两对角线，O是其交点.第16题