《角平分线模型》

角平分线模型的构造角平分线⑴定义：如图2-1,如果/人08=/80。，那么NA0C=2NA0B=2NB0C,像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线．图2-1(2)角平分线的性质定理①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角，②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(3)角平分线的判定定理①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线，②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型，

已知P是NMON平分线上一点,⑴若PA，0M于点A,如图2-2(a),可以过P点作PB，ON于点B,则PB二「人.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”.⑵若点A是射线OM上任意一点，如图2-2出)，可以在ON上截取OB=OA,连接「8,构造40「8640「人.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．闭若人「，0「于点「，如图2-2(0,可以延长AP交ON于点B,构造△AOB是等腰三角形，「是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．⑷若过P点作PQ〃ON交OM于点。，如图2-26),可以构造^「0。是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”．例例如图2-9匕)，AB=AC,BD,CD分别平分NABC,NACB.问:(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形⑵过D点作EF〃BC,如图2-9(b),交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形闭如图2-9(0,若将题中的4人8。改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形直接写出线段EF与BE、CF有什么关系(4)如图2-9&),BD平分NABC,CD平分外角NACG.DE〃BC交人8于点£，交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系并说明理由.⑸如图？4©,BD、CD为外角NCBM、NBCN的平分线，DE〃BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系,AD平分例7如图2-10(a)所示，已知AABC中，AC,AD平分NCAB,求证：AB=ACD变式1如图变式1如图2-11所示，已知AABC中，NA=108°,BD平分NABC.求证：BC=AB+CD.AB=AC，变式2如图2-12,已知AABC中，AB=AC,NA=IOO°,BD平分NABC,求证：BC=BD+AD.例8如图2-13(a),OP是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴如图2-13（b）,在AABC中，NACB是直角，NB=60°,AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的数量关系；②如图2-136）,在AABC中，如果/ACB不是直角，而（l）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立若成立请证明；若不成立，请说明理由．图2-13(c)牛刀小试⑴如图？-^(a),在AABC中，NABC与NACB的角平分线相交于点F,过点17作口17〃8。，交人8于点口，交人。于点£，若BD+CE=9,则线段DE之长为()(2)如图2-14(b),在AABC中，BD、CD分别平分NABC和NACB,DE〃AB,FD〃AC.,BC=6,求4DEF的周长，2.已知：如图2-15,NBAD=NCAD,AB>AC,CDLAD于点是BC中点.求证：DH=1(AB-AC).2

BC=CD.3、已知如图2-16,四边形ABCD中，NB+=D=180°,BC=CD.求证：AC平分NBAD..如图2-17,4ABC的外角/ACD的平分线CP与内角/ABC的平分线BP交于点「，连接AP、CP,若NBPC=40。，求NCAP的度数.

.已知：如图2-18,在四边形中，BC>AB,AD=CD,BD平分NABC.求证：NA+NC=180°.在平行四边形ABCD中，NBAD的平分线交直线8。于点£,交直线DC于点F.⑴在图2-19(a)中证明CE=CF；出若/人8。=90,G是EF的中点(如图2-19(b),直接写出出若/人8。=90度数；度数；闭若/ABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、口6(如图2-19(c),求NBDG的度数.图2-19(c)G图2-19(c)G.已知：如图2-20,在AODC中，ND—90°,EC是NDCO的角平分线，且OE=CE,过点E作EF，OC交OC于点F.猜想