2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第81讲圆锥曲线常见题型解法

第81讲圆锥曲线常见题型解法【知识要点】圆锥曲线常见的题型有求圆锥曲线的方程、几何性质、最值、范围、直线与圆锥曲线的关系、圆锥曲线与圆锥曲线的关系、轨迹方程、定点定值问题等.【方法讲评】题型一求圆锥曲线的方程解题方法一般利用待定系数法解答.【例1】已知椭圆1( (=>&>°)的左、右焦点为网'用，点上在椭圆上，且叫与x轴垂直.(1)求椭圆的方程;(2)过工作直线与椭圆交于另外一点B,求8面积的最大值.1解析】⑴育已知：£=2"—=^2.',£?= 75*=4,故褥提!E程为£十号=口㈡)当月3斜率不存在时：$皿石，当y8斜率存在时：设其方程为：yYS与,由卜………―M+A=8由已知：也=161点—工时M 好+1)[(&-2#)：-4]=式2上+应y>0即：——|AB|=石淳_?® >综上所求：当工3斜率不存在或斜率存在时：1M面积取最大值为20.【点评】（1）求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.（2）本题用到了椭圆双曲线的通径公式 以，这个公式很重要，大家要记熟.【反馈检测1】已知椭圆股：1（ （=>s>°）的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+40.（1）求椭圆服的方程;（2）设直线'与椭圆肱交于工、§两点，且以乩5为直径的圆过椭圆的右顶点仃，求△超C面积的最大值.题型二圆锥曲线的几何性质解题方法利用圆锥曲线的几何性质解答.【例2】已知椭圆厘b 的左顶点和上顶点分别为&3,左、右焦点分别是用'片，在线段工B上有且只有一个点F满足尸与,F与，则椭圆的离心率的平方为()

A.TOC\o"1-5"\h\zy/3—1 -1A.\o"CurrentDocument"B. 2 C. 3 D. 21解析】由题设可知以月片为直径的圆与直线AB相切，而直线的方程为二匚+二=1,即—ab5工一卬十口5=0,故圆心0(0.0)到直线白比一卬+次1=0的距离d=, ==——=c■，即o5=£?*,\o"CurrentDocument"+旷 c也即—1)=不,所以/+/=1,解之得r二寸、］，故应选D.【点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于的方程.【反馈检测2】已知双曲线【反馈检测2】已知双曲线)的左、右焦点分别为及厘以国片3+八1 厂为直径的圆被直线1截 截得的弦长为"62，则双曲线的离心率为()B.2A.3B.2题型三圆锥曲线的最值问题解题方法一般利用数形结合和函数的方法解答.~2+T2~=^(a>8>口) pp【例3】已知椭圆盘白 上任意一点到两焦点巧'仃距离之和为近4瓶，离心率为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线［的斜率为之，直线？与椭圆C交于其8两点.点尸(2J)为椭圆上一点，求心出2?的面积的最大值.

【解析】（1）由条件得:解得方程为<2）设『的方程为丁=由韦达定理得西+町一【解析】（1）由条件得:解得方程为<2）设『的方程为丁=由韦达定理得西+町一1当且仅当附“=2,即溶=±皿时取得最大值.令△=4"—*讨4-16>0>解得则由弦长公式得M3=J1十—所以椭圆的面积的最大值为2.【点评】圆锥曲线的最值问题一般利用函数和数形结合解答【反馈检测3】在平面直角坐标系0中，直线1与抛物线丁=4*相交于不同的两点（I）如果直线？过抛物线的焦点，求刀.屈的值;

(II)在此抛物线上求一点尸，使得产到◎◎◎的距离最小，并求最小值.题型四圆锥曲线的范围问题解题方法一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答.【例4】已知椭圆。的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在工轴上，有一个顶点为…，(1)求椭圆°的方程；(2)过点坑一10作直线'与椭圆。交于夙尸两点，线段下F的中点为股，求直线必的斜率上的取值范围.［睥析】(1)因为椭圆得一个顶点为^4(-4=0),故长轴点=41又二16,从而存;口=4,c=2铲=12,椭圆石的方程巳+看=1/(2)依题意，直线,过点3(-10)目斜率不为零.(1)当直线与轴垂直时，取点的坐标为为一L°),此时，上二°(2)当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为T二阳(工+由方程组(y=阳(丈+1)二+1=1L1612消去!并整理得0/+3)/+加、+4加-42=0,设成孙乃）,FOL,M（加九），又有融一4⑼，则,..。＜1处"铲鹏飞,..。＜1处"铲鹏飞且手综合（1）、（2）可知直线必的斜率小的取值范围是：3【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等【反馈检测4】设椭圆后中心在原点，焦点在工轴上，短轴长为4,点口（2,血）在椭圆上.（1）求椭圆下的方程；（2）设动直线£交椭圆下于工石两点，且。上―o-*，求^^^45的面积的取值范围.（3）过般（位'乃）的直线'1：i+2y/=心也与过N（町凶）的直线生叼工+功炉二心口的交点F（称为）在椭圆总上，直线九W与椭圆月的两准线分别交于5*两点，求OG-O8的值.题型五直线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答.

【例5】已知双曲线一【例5】已知双曲线一2 ，经过点能否作一条直线‘，使'与双曲线交于工、B,且点航是线段45的中点.若存在这样的直线'，求出它的方程，若不存在，说明理由.【解析】设存在被点M平分的弦AB,且就为j'J、E（三二打）贝I」巧十巧=2V'l+Vn=-父-1=1,X7-g=1两式相减，得（%+XjX^i-Xj）+>,2X>,1->,2）=0 kAS=h__k=21 工1—x2故直线WB：y—1=五工—1）\'-l=2（x-l）由J 工/i 消去>,得2——4工+3=0 A=（-4）1-4x2x3=-S<0这说明直线工5与双曲线不相交，故被点取平分的弦不存在，即不存在这样的直线.【点评】（1）这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件.本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理.（2）本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心.由此题可看到中点弦问题中判断点的取位置非常重要.（1）若中点河在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点服在圆锥曲线外，则被点战平分的弦可能不存在.【反馈检测5】过点7（-1,0）作直线'与曲线凶：/二二交于工田两点，在x轴上是否存在一点总（曲，0），使得口BE是等边三角形，若存在，求出两；若不存在，请说明理由.题型六圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式和数形结合解答.—+1【例6】已知曲线 2及5产一*十।有公共点,求实数2的取值范围.【解析】联立两个方程可得：』=2（1—口如+『—4=0.A=4（l-a）1-4（£72-4）>0,.\a<如下图可知：椭圆中心［6日）,半轴长"=应,抛物线顶点为（W）,所以当圆锥曲线在下方相切或相交时，£7之1 在.综上所述，当1—点三口三：时，曲线G与G相交.【点评】直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用来处理.但用心3口来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题：方法1，由“心3°”与直观图形相结合；方法2，由“心3°”与根与系数关系相结合.【反馈检测6】设椭圆a： °），抛物线7:/+切二吐ab（i）若q经过a的两个焦点，求g的离心率；⑵设』（Q⑵设』（Q切,，又取，“为5与弓不在7轴上的两个交点，若h4M的垂心为'且AQk®的重心在三上，求椭圆G和抛物线J的垂心为'题型七圆锥曲线的定点和定值问题解题方法过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问题，直接求解就可以了.【例7】在直角坐标系立功中，点取到点片（一/，0）3式召曲的距离之和是4,点航的轨迹是c与工轴的负半轴交于点工，不过点工的直线「y二丘+s与轨迹C交于不同的两点产和口.（I）求轨迹C的方程；（II）当*a时，求化与8的关系，并证明直线上过定点.【解析】⑴丁点M'到（-用mG反0）的距离之和是h--M的轨迹C是长轴为4,焦点在工轴上焦中为工忑的椭圆，方程为—+/=1（2）将＞"8，代入曲线c的方程，整理得（1+4/）/+区岳工+”°因为直线与曲线C交于不同的两点F和0所以八64百-4(1+4此，华-4)=16(4/U+1)＞。.①_片每_ 4设尸（"）◎"）,，则仃户一由②且"L网+政也+占）二东/对）+烟西+屯）+出③显然，曲线。与X轴的负半轴交于点金（-2,0）,所以<F=6+2,乃）,AQ=（后+2Ml由正.亚=0,得（位+认町+2）+乃为=0.将②、③代入上式，整理得12炉—16扬+$*=0.所以（%-切•（品一%）二口，b=2碗=-k,即 5经检验，都符合条件①当5=2日寸，直线J的方程为>=衣+2匕显然j此时直线『经过定点"2,0）点.即直线『经过点与题意不符.当日=:日寸，直线『的方程为v=H+:k=k（x+1）.显然，此时直线］经过定点（一；0）点，且不过点A.综上，上与5的关系是：1=注直线『经过定点（一■|以点』【点评】证明曲线过定点，一般先求曲线的方程，再证明它过定点.【反馈检测7】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线'：T=七+海与椭圆°相交于工，两点（儿不不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线？过定点，并求出该定点的坐标.题型八轨迹问题10

解题方法一般利用直接法、待定系数法、代入法、消参法解答解题方法一般利用直接法、待定系数法、代入法、消参法解答【例8】已知抛物线,和点现铝)，E为抛物线上一点，点尸在线段地上且即:E4=l:2,当点3在该抛物线上移动时，求点R的轨迹方程._一八"，I【解析】设点尸旧＞')7附,J，］，由的=如且，贝U ［二］，-2又瓦点在抛物线上，贝(写j=”-1.整理得；\-；;=半里-为所求轨迹方程.【点评】点F之所以在动，就是因为点B在动，所以点F是被动点，点B是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程.【反馈检测8】已知.西的顶点区-孙依此，顶点工在抛物线上运动，求△池C的重心5的轨迹方程.题型九存在性问题解题方法一般先假设存在，再探求，最后检验.【例9】已知中心在原点，焦点在工轴上的椭圆d的离心率为2,且经过点2，过点F(2，D的直线’与椭圆q在第一象限相切于点取.(1)求椭圆°的方程；(2)求直线’的方程以及点舷的坐标；(3))是否存过点F的直线4与椭圆°相交于不同的两点A*,满足可・再二瓦片？若存在，求出11

直线’1的方程；若不存在，请说明理由.t解析】£I）设椭圆。的方程为♦二+1=ig>5>0）「由题意得£=三04b〜 a2解得了=4:犷=3?故福圆。的方程为一十二二L（IIX因为过点产。1）的直线『与椭圆在第一象限相切，所以，’的斜率存在，故可调直线,的议程为。二找工—2）+1一匕匚］由+4 3-:得〔3+4/1，一2就2工-1）工+16必一16上一£=0・①_y=k（x-2）+l因为直线与椭圆相切，所以也二［告21）『-4（3+W26--16—整理，得32（阮+3）>0解得了［y=-<0-2）+1=-<工+2.所以直线方程为2 2k=--将 2代入①式，可以解得航点横坐标为1,故切点股坐标为（III）若存在直线/满足条件，的方程为丁二叫E一团十^代入椭圆仃的方程得(3+4^)x2-8^(2^-l)x+16^2-16^-8=0.因为直线4与椭圆c相交于不同的两点'乃，设』乃两点的坐标分别为（孙h）,（孙均），所以A+跟侬-1）『-4©+W26M-16j"32g+A0-12k所以1 幽（2片一1） 1品；一1时一8.又(^-2)(^-2)+^-1)(^-1)=|,所以国-2股-2）（1+增二|[金石—2(、网+勺)+4](1+^2)=即所以*31篝-2'与篝。+4贝+用=左第=?解得网=土，因为4m为不同的两点、，所以｛=•「于是存在直线f:满足条件，其方程为工，=:工【点评】存在性问题，一把先假设存在，再探究，最后检验【反馈检测9】在平面直角坐标系中，已知抛物线C：丁=2"初＞0），在此抛物线上一点版Q，㈤到焦点的距离是3.（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线°的准线与x轴交于肠点，过肠点斜率为上的直线'与抛物线C交于工、B两点.是否存在这样的小，使得抛物线C上总存在点0（/沙。）满足04_LQ3,若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.13高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第81讲:圆锥曲线常见题型解法参考答案—+-【反馈检测1答案】（1）§ ；（2）【反馈检测1详细解析】门）:椭圆也上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长为6+40又椭圆的离心率为手，即（=不，',=孚皿=3,C=14if：,b=\f椭圆鼠的方程为三十『=1.（2）不妨设近的方程尸网犬一笏（心0），则公的方程为y=^（x-3）,于+/=1, —6超。+9用之一1二0口_81«2-9 _27^-3设3M,昭心•产二1777,.・「=177?I5（71=71+??同理可得21S皿=产+巴=承受兰后1+TI5（71=71+??同理可得21S皿=产+巴=承受兰后1+T'+工，当且仅当§时等号成立，•••△^c面积的最大值为G14

【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】由已知可得圆心到直线的距离~—a2c2+/=0=2J-5e2+2=0 =2=e=2 ，故选门【反馈检测3答案】(I)-3；(II)4.【反馈检测3详细解析】(I)由题意：抛物线焦点为%0>设]:x=7-1代入；抛物线/=由口消去天春6-4。,-4=0;设刘二当)二弟马二打)贝U =射；二?OA03=巧第-苴此=(M-lX<k,j-1)-J,ji；=i隆-工&-y;).1-乃=—4厂+4尸+1—4=—3(II)忸Q|=«工-»"二=J1-伊+25，,当工=3时，忸。，二二4,此时FQ±2的)【反馈检测4答案】(1)(3)-8.【反馈检测4【反馈检测4答案】(1)(3)-8.【反馈检测4详细解析】(1)因为椭圆下:S=1「「丁 (鼻>"0过期⑵£),犯=4故可求得&=2,〃=2/椭圆总的方程为⑵设外工城工皿允田每，乃)，当直线£斜率存在时设方程为：：-..".一：,v=Ax+ffl解方程组「了十了―得,+现辰+陋＞=*,即Q+2好)^+4协+?加一*=0,解方程组则△=" "二；」『函…一：••[即幻「一；一一一；口(*)15,2zm3—8zm2—kFULIULiJ. + 要使Q4_L0B,需使u,即］-二丁-二二2_8^+8所以3；-一三；一一三二"即黑3 ①将它代入（*）式可得d产到上的距离为d产到上的距离为当AB的斜率不存在时，$二］，综上占及韦达定理代入可得（3）点P（两'八）在直线'i：/x+2y/=.也和白：与工+2”=%也上/冲+2yl%=872心/+2”口=8^/2

，16故点股（和乃）（产心）在直线犬而+2y八二遇上故直线划的方程，-。+2川。=8正上设0,区分别是直线与椭圆准线，工=±4的交点47上+上/I由工通+2小口二£点和工…得GI,丁42-2工n由-0+2^0"应和.4得以⑷ 「32-4x02故0G.eW=—16+ 必又尸（两名）在椭圆/8+4一［有2+4/故4工J=32fJ【反馈检测5答案】=—【反馈检测5答案】=—8【反馈检测5详细解析】依题意知：，直线的斜率存在，且不等于①设直线1-'=奴工+1）,正工。，工（工rJi）,B（x,:y2）.由整理，得 也f+（、号-l1x+F=0 ①由直线和抛物线交于两点，得也=（2标-1）：—4/=-4^+1>0,即0<:标<:二 ②由韦达定理，得：为+句=—七二f三二i.则线段AB的中点为（―。^二之）.k Ik2k1i]_?L-2线段的垂直平分线方程为：>」上=-二二一）IkkIk令k0,得2?-217v 为正三角形，现击-舁）到直线AB的距离d为网二依-了+3一四）-土运解得13满足②式，此时现击-舁）到直线AB的距离d为网二依-了+3一四）-土运解得13满足②式，此时【反馈检测6答案】（1）;（2）椭圆方程为，抛物线方程为工+2y=4【反馈检测6详细解析】（1）由已知椭圆焦点在抛物线上，可得：1二V，由由题设可知N关于>轴对称，设£（—药=刈）加（应二均乂均>0）,由上外必「的垂心为B,有崩一4=口=_父+（劝一之阳当一百）=0.4由点¥（为：网）在抛物线上，才+如1=/,解得：M=-2或^=白管去）4故甬=9故甬=9瓦A£（—咚瓦一由重心在抛物线上得：3+1=吐所以白=?,廿〔一6「二）二阳：在「三），又因为明：》在椭圆上得:A.।.―一果椭圆方程为抛物鲂程为八""318二十二二1【反馈检测7答案】(1)4 3

修。；(2)直线过定点，定点坐标为%+「=ig>b>0)【反馈检测7详