惠州市届高三第一次调研考试理数

惠州市2019届高三第一次调研考试数学（理科）全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必然自己的姓名、准考据号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必然用黑色笔迹署名笔作答，答案必然写在答题卡各题指定的地点上，写在本试卷上无效。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）复数5的共轭复数是（）i2(A)2i(B)2i(C)2i(D)2i（2）已知会合Mxx21，Nxax1，若NM，则实数a的取值会合为（）(A)1(B)1,1(C)1,0(D)1,1,0（3）函数f(x)2cos2xsin2x+2的最小正周期为，则=（）(A)3(B)2(C)1(D)122（4）以下相关命题的说法错误的选项是（）(A)若“pq”为假命题，则p与q均为假命题；“x1”是“x1”的充分不用要条件；(C)若命题p：x0R，x020，则命题p：xR，x20；1”的必需不充分条件是“x”.(D)“sinx26（5）已知各项均为正数的等比数列an中，a11，2a3，a5，3a4成等差数列，则数列an的前n项和Sn（）(A)2n1(B)2n11(C)2n1(D)2n6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中结构的一个友好优美的几何体。它由完满同样的四个曲面组成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，恰似两个扣合（牟合）在一同的方形伞（方盖）。其直观图如图，图中四边形是为表现其直观性所作的协助线。当其正视图和侧视图完满同样时，它的俯视图可能是（）(A)(B)(C)(D)1（7）若函数f(x)ax2，g(x)loga|x|（a0，且a1），且f(2)g(2)0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大概图象是（）开始S=0(A)(B)i=1输入aii=i+1(C)(D)SS(aia)2（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观察了8次，获得如下表所示的数据.i≥8?否观察次数i12345678是观察数据ai4041434344464748S=S/8在上述统计数据的分析中，一部分计算见以以下图的算法流程输出S图(此中a是这8个数据的均匀数)，则输出的S的值是（）(A)6(B)7(C)8(D)9结束（9）已知F1和F2分别是双曲线x2y21a0,b0的两个焦点，A和B是以O为圆b2a2心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且VF2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为()3+1(B)31(C)31(D)2(A)2（10）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥外接球的表面积为（）(A)108(B)72(C)36(D)12（11）已知函数f(x)xxlnx，若kZ且k(x2)f(x)对随意x2恒成立，则k的最大值为（）(A)3(B)4(C)5(D)6（12）设抛物线y24x的焦点为F，过点2,0的直线交抛物线于A,B两点，与抛物线准线交于点C，若SVACF2，则AF（）SVBCF52(B)4(C)3(D)2(A)32二．填空：本共4小，每小5分。xy10（13）若数x，y足的束条件xy10，函数z2xy的最大是．y10（14rr1)，且rrr）已知向量a(2,1),b(x,ab与b共，x的．15）某企业招聘5名工，分手下的甲、乙两个部，此中2名英翻人不可以分同一部，另3名程人不可以都分同一部，不同样的分派方案种数是．（16）已知数列an是公差不0的等差数列，随意大于2的正整数n，会合xxaiaj,iN,jN,1ijn的元素个数cn，把cn的各成如所示的三角形数，数中第17行由左向右数第10个数___________．c3c4c5c6c7c8c9c10c11c12⋯⋯⋯⋯三．解答：共70分，解答写出文字明，明程或演算步。第17～21必考，每个考生都必作答。第22、23考，考生依据要求作答。（一）必考：共60分。（17）（本小分12分）在ABC中，角C足2sin2Ccos2C5.32（1）求角C的大小；（2）点P在BC上，PAC，PB3，sinBAP357，338求ABC的面。3（18）（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，DAB600，E是棱CB的延伸线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F2BF．（1）求证：平面AC1E平面BCC1B1；D1C1（2）求二面角EAC1C的平面角的余弦值．B1A1DFC（19）（本小题满分12分）ABE如图，椭圆E：x2y21ab0经过点A0,1，且离心率为2．a2b22（1）求椭圆E的方程；（2）经过点1,1，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同样两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．（20）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖企业，其送餐员的日薪资方案以下：甲企业底薪70元，每单抽成2元；乙企业无底薪，40单之内(含40单)的部分每单抽成4元，高出40单的部分每单抽成6元．假设同一企业送餐员一天的送餐单数同样，现从两家企业各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，获得以下频数表：甲企业送餐员送餐单数频数表乙企业送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142送餐单数3839404142天数2040201010天数1020204010（1）现从甲企业记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（2）若将频次视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙企业送餐员日薪资为X(单位：元),求X的散布列和数学希望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家企业中的一家应聘送餐员，假如仅从日薪资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明原因.4（21）（本小题满分12分）已知函数fxx2exaaR，（1）试确立函数fx的零点个数；（2）设x1，x2是函数fx的两个零点，证明：x1x22．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心C2,，半径r3．4（1）求圆C的极坐标方程；（2）若0,x2tcos，直线l的参数方程为2（t为参数），直线l交圆C4ytsin于A、B两点，求弦长AB的取值范围．23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)x3x2k．1）若f(x)3恒成立，求k的取值范围；2）当k1时，解不等式：f(x)3x．5数学（理科）参照答案一、选择题：题号123456789101112答案BDCDABABCCBD（1）【分析】B；52i，其共轭复数为2i；i2（2）【分析】D；注意当a0N，也知足NM，应选D；时，（3）【分析】C；22352f(x)2cosxsinx+2cos2x，T==，；21221（4）【分析】D；由题可知：x时，sinx成立，所以知足充分条件；但sinx2时，62x不用然为，所以必需条件不可以立，故D错；6（5）【分析】A；设an的公比为q，则2a52a33a4，2a3q22a33a3q，2，q2或q1（舍），2q23q2Sna1a2⋯an12⋯2n12n1；6）【分析】B；由于相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，恰似两个扣合在一同的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，应选B；（7）【分析】A；由题意fxax2是指数型的，gxlogax是对数型的且是一个偶函数，由f2g20，可得出g20，故loga20，故0a1，由此特点可以确立C、D两选项不正确，且fxax2是一个减函数，由此知B不对，A选项是正确答案，应选A；（8）【分析】B；Qx1404143434446474844，8s2142321212022232427.应选B；8（9）【分析】C；设F1F2=2c，QVABF2是等边三角形，AF2F1=30o，AF1=c,AF23c，a3cc2，所以ec31.应选C；a6（10）【分析】C；可求出正四棱锥的高为3．设其外接球的半径为R，则由二者的地点关系可得3232R2，R解得R3，所以S4R236．应选C.（11）【分析】B；考虑直线yk(x2)与曲线yf(x)相切时的情况。设切点为(m，f(m)），此时f(m)0f'(m)，即mmlnmm22lnm，化简得：m42lnm0，m2设g(m)m42lnm，由于g(e2)e242lne20，g(e3)e342lne30。故e2me3，所以切线斜率k=f'(m)=2lnm的取值范围是4,5，又kZ，kmax4，选B；（12）【分析】D；设直线l:ykx2，Ax1,y1,Bx2,y2，将直线方程代入抛物线方程得：k2x241k2x4k20，由韦达定理得：x1x24①，分别过点A,B作准线的垂线AA,1BB1，垂足分别为点A1,B1，SVACFACAA1AFx112，即5x2x230②，解得x1，SVBCFBCBB1BFx21511AF2，应选D。二、填空题：（13）3（14）2（15）12（16）293xy10（13）【分析】画出不等式组xy10表示的平面地区，z2xy在点2，1处取y10得最大值，∴zmax3．rrx,1，rr2x,2rrr（14）【分析】向量a2,1，bab，又ab与b共线，可得2x2x，解得x2．（15）【分析】由题意可得，有2种分派方案：7①甲部要2个程人，有3种情况；两名英翻人的分派有2种可能；依据分步数原理，共有3×2=6种分派方案．②甲部要1个程人，有3种情况特学生，方法有3种；两名英翻人的分派方法有2种；共3×2=6种分派方案．由分数原理，可得不同的分派方案共有6+6=12种。（16）【分析】ana1n1d，aiaj2a1ij2d，由意1ijn，当i1，j2，ij2取最小1，当in1，jn，ij2取最大2n3，易知ij2可取遍1,2,3,⋯，2n3，即cnn3n3.数中前16行共有2123⋯16136个数，所以第17行左数第10个数三、解答：（17）分析：（1）Q2sin2Ccos2C35，251cos2Ccos2C⋯⋯⋯⋯2分321cos2C33cos2Csin2C，222cos2C63，⋯⋯⋯⋯4分2又2C7，666C.⋯⋯⋯⋯6分3（2）由（1）可知VAPC等三角形，且APB2，3在中，PBAB，即3AB，AB19，VAPBsinBAPsin23572338sin3⋯⋯⋯⋯9分AB2PA2PB22PAPBcos2，即19PA293PA，3PA2，故BC235，AC2⋯⋯⋯⋯11分SVABC153⋯⋯⋯⋯12分CACBsin3228（18）（1）四棱柱ABCDAB11C1D1的棱a12BF，11BEFBE∵BFBCF∽，∴a2由DAB600ABE，ABC1200，得AE3a，AC3a⋯⋯⋯2分2∵CE3a，∴AE2CE2AC2，AECE⋯⋯⋯⋯3分2ABCDABCD是直四棱柱，CCABCD，又AE，11111ABCD∴CC1AE，∵CEICC1C，∴AE平面BCC1B1⋯⋯⋯⋯4分∵AE平面AC1E，∴平面AC1E平面BCC1B1⋯⋯⋯⋯5分（2）（方法一）C作CGAC1于G，CHC1F于H，接GH⋯⋯6分由平面AC1E平面BCC1B1，平面AC1EI平面BCC1B1C1E，CH平面AC1E⋯⋯⋯⋯7分∴CHAC1，又CGAC1，CGICHC，∴AC1平面CGH，AC1GH，CGH是二面角EAC1C的平面角⋯⋯⋯⋯9分在RtACC1中，AC3a，CC1a，AC12a，CG3a，在RtECC12中，CE3a，CC1a，EC1133133313a，CHa（CGa、CHa2213213（求得任何一个2分，两个全3分）GHCG2239CHa，26cosCGHGH13⋯⋯⋯⋯分CG1312（方法二）以E原点，EC、EA所在直x、y，平行于BB1的直EE19z成立空直角坐系，E(0,0,0)3a,0)，，A(0,2C1(3a,0,a)⋯⋯⋯⋯7分2uuruuruuur3aqnEA0平面EAC1的一个法向量n(p,q,r)，uuuur2即uur3apnEC1ar02q0uur(2,0,3)，3p2r，不如取n0⋯⋯⋯⋯9分由（1）知B(1a,0,0)3，平面BCC1B1的一个法向量，D(a,a,0)22uruuur(13⋯⋯⋯⋯11分n1BDa,a,0)22二面角EAC1C的平面角的余弦uruurcos|n1n|13⋯⋯⋯⋯12分uruur131||n||n（19）解：（1）由意知a2b222，⋯⋯⋯⋯2分a，b＝1，a2所以E的方程x2y21．⋯⋯⋯⋯4分2（2）明：直PQ的方程y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入x2y21，2得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由意知＞0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2≠0，x1x24kk1，12k2x1x22kk2，⋯⋯⋯⋯6分12k2所以kAPkAQy11y21kx1k2kx2k22k2kx1x2x1x2x1x2x1x2⋯⋯⋯⋯9分2k24kk12k2k12kk22k故直AP与AQ的斜率之和定2．⋯⋯⋯⋯12分10（20）解：（1）“抽取的两天送餐数都大于40”事件M，P(M)C20219⋯⋯⋯⋯4分；（2）（ⅰ）乙企业送餐送餐数a，当a38，X384152a39，X394156；当；当a40，X404160a41X40416166；；当，当a42，X40426172．所以X的全部可能取152，156，160，166，172．⋯⋯⋯⋯6分故X的散布列：X152156160166172P111211055510E(X)15211561160116621721162．1055510⋯⋯⋯⋯8分（ⅱ）依意，甲企业送餐日均匀送餐数380.2390.4400.2410.1420.139.5．⋯⋯10分所以甲企业送餐日均匀工70239.5149元．⋯⋯⋯⋯11分由（ⅰ）得乙企业送餐日均匀工162元．因149162，故介绍小明去乙企业聘．⋯⋯⋯⋯12分（21）解：（1）由fx0得a2xex，令gx2xex，函数fx的零点个数即直ya与曲gx2xex的交点个数，Qgxex2xex1xex⋯⋯1分0x1gx,1如，由gx得在增，，∴函数由gx0得x1，∴函数gx在1,减。∴当x1，函数gx有最大，gmaxxg1e⋯⋯⋯⋯3分又当x2，gx0，g20，当x2，gx0∴当ae，函数fx没有零点；当ae或a0，函数fx有一个零点；当0ae，函数fx有两个零点。⋯⋯⋯⋯6分（2）明：法一：11函数fx的零点即直ya与曲gx2xex的交点横坐，由（1）知a0，不如x11x2，得2x21，∵函数gx2xex在,1上增，在1,上减，∴函数fxgxa在,1减，在1,上增；要x1x22，只要x12x2，∴只要fx1f2x2，⋯⋯⋯⋯8分又fx0，即要f2x201∵由agx2得f2x2x2e2x2ax2e2x2x22ex2x21结构函数hxxe2