现代控制工程(II)-7

6.最优控制与应用6.1引言

最优控制理论的发展历史已有半个多世纪。1950年代初，Bushaw博士就研究了使继电式伺服控制系统误差为零的时间最优控制的问题，随后LaSalle在时间最优控制方法的基础上，进一步研究提出了Bang-Bang控制方法。随着控制技术的发展，对多输入/多输出系统、非线性系统提出了更高的控制要求，如消耗能量最少、成本最低、耗时最短等。这些工程需求极大地促进了最优控制理论的研究和发展。现代控制工程(II)

最优控制的问题属于最优化问题。但是，求解最优控制问题会受到许多约束，特别是控制作用的受限。因此，需寻求在各种约束下的最优化算法。1950年代中期，贝尔曼(Bellman)研究发展了最优化中的变分法，创立了“动态规划”原理。同一期间，俄国学者庞特里亚金(Pontryagin)等创立了“极大值原理”。这两个原理和方法是最优控制理论的基石。最优控制理论发展到现在，已经形成了多种研究分支和方向，如分布参数系统的最优控制、随机系统的最优控制、大系统的最优控制等。现代控制工程(II)6.2最优控制的基本问题控制系统的极点配置设计方法，一般是以系统输出的超调量、过渡过程时间、振荡衰减次数、稳态误差等数值来作为评价控制系统的性能指标，依此设计控制系统的结构和参数。显然，这类性能指标主要是从系统输出响应方面反映系统的稳定性、响应的快速性和响应精度，对一般工业调节器和随动系统基本能满足控制设计的要求。但是，控制系统的性能不仅体现在输出响应方面，如要求以最短时间达到预定目标、要求所消耗的能量最少、要求在有限资源下实现资源的最优分配等等。显然，这类控制属于最优化问题，仅采用系统输出响应的性能指标是难以描述其控制性能的。现代控制工程(II)最优控制：对被控对象或被控过程施加某种控制作用，使其某性能指标达到最优。因此，最优控制是最优化问题在控制领域应用的技术。例1：在忽略其他一些因素时，移动机器人的运动方程为为使机器人运动平稳，其控制作用和加速度都应有相应的限制，设为（m是质量，u是控制作用，是加速度）边界条件为取机器人运动的性能指标为选择u(t)使J(u)为最小的问题就是一个时间最少的最优控制问题。现代控制工程(II)例2：设某企业的商品生产，满足的方程为（x是库存商品，u是生产率，r(t)是商品销售率）为了保证市场需求，最大生产率还应满足假定生产的单位成本是生产率的函数，即f(u(t))。若b是单位时间存储一个商品的费用。那么，单位时间的总成本就为从0时刻到t时刻的总成本就为边界条件：库存商品满足选取的生产率满足库存商品满足此时，寻求最佳生产率u*使总成本J最小就是最优控制的问题。现代控制工程(II)

最优控制属于最优化问题，其基本思想就是在某些约束条件下，通过评价函数的极值化来寻求最佳的(有效的)控制输入。

对于一个控制系统，其最优化性能的好坏与状态量和输入量有密切的关系，或者说系统输出是否满足期望的输出与其状态量和输入量有关。因此，作为目标评价函数往往是对系统状态量和输入量的评价，一般取为显然，针对这个目标评价函数的约束条件就是控制系统的状态方程最优控制问题的提法：在系统状态方程的约束下，寻求一个控制输入u(t)，使目标评价函数J达到极值。此时的控制输入被称为最优控制律或最优控制。现代控制工程(II)

显然，最优控制问题是一个动态最优化问题，求解的方法主要有变分法、极大（小）值原理、动态规划法等。在求解之前，必须针对具体的控制情况，对约束和目标评价函数作进一步的分析和确定。（1）控制作用域——在工程控制问题中，控制输入量u(t)一般不能任意取值，须受到一定的物理限制。这就是说实际的控制输入应当满足一定的约束条件

U是r维控制空间中的一个集合，称为系统的控制作用域。（2）边界条件——这是指系统状态具备的初始条件和终端条件。

初始状态：固定始端X(t0)=constant可变始端X(t0)∈Ω0，

Ω0={X(t0)|f(X(t0))=0}称为始端集合自由(任意)始端X(t0)终端状态：固定终端X(tf)=constant可变终端X(tf)∈Ωtf，Ωtf={X(tf)|g(X(tf))=0}称为目标集合自由(任意)终端X(tf)现代控制工程(II)（3）目标评价函数J是一个标量函数

连续系统：离散系统：其中的Φ(tf)或Φ(n)称为终端指标函数，反映对终端性能的要求，如目标的容许偏差等。L[X(t),u(t),t]或L[X(k),u(k),k]称为动态指标函数，反映系统的动态品质及能量消耗等的要求。对于线性系统，其评价函数一般取为（Qf、Q、H是加权矩阵）

所以，最优控制问题可以表述为：系统在状态方程的约束下，从控制作用域U中寻求一个控制输入u(t)，使系统在时域[t0,tf]内从初始状态X(t0)转移到终端状态X(tf)时，系统的目标评价函数J取极值(极大或极小)。这样求得的控制输入u(t)就称为最优控制律，简称最优控制。现代控制工程(II)6.3静态最优化的基本方法

最优化问题一般分为静态最优化和动态最优化，研究提出的相应的最优化解的方法有很多。静态最优化解的基本方法是函数求极值的方法；动态最优化解的基本方法有变分法、极大值原理和动态规划等方法。这里介绍静态最优化的基本算法，这是求解动态最优化的基础。（1）连续函数极值的求解方法

无约束条件下的函数极值

设函数f=f(u)是关于向量u=[u1u2

…un]T的n元函数，该函数存在极值的必要条件是：函数f(u)关于向量u的梯度为零，即此时，获得的u称为驻点。现代控制工程(II)函数f(u)在u上取极值的充要条件是（矩阵▽2f一般是对称矩阵）

有约束条件下的函数极值

设函数f=f(u)是关于向量u=[u1u2

…un]T的n元函数，该函数的约束条件为g(u)=0∈Rm。此时，函数f=f(u)的极值求解方法主要有：嵌入法（消元法）——即由g(u)=0∈Rm解出m个ui（这m个ui是由其他(n-m)个u的分量表示），然后将这解ui代入函数f=f(u)中，从而可以按无约束条件的函数极值求法进行求解。这种方法适于较简单的情况。现代控制工程(II)增元法（拉格朗日乘子法）——对约束函数g(X,u)=0乘上一个列向量λ，然后与求极值的函数f=f(X,u)相加，构成一个新的函数H(X,u,λ)=f(X,u)+λTg(X,u)λ,g(u)∈Rm×1这样就将有约束条件下的函数f=f(X,u)的极值求解问题转化成了无约束条件下的函数H(X,u,λ)的极值求解问题，称H(X,u,λ)为拉格朗日函数。此时，函数H(X,u,λ)存在极值的必要条件是这时就可按无约束条件下的函数极值的解法进行求解。显然，由于λTg(X,u)=0，因此函数H(X,u,λ)的极值就是函数f=f(X,u)的极值。其中现代控制工程(II)（2）离散函数极值的求解方法

设某一系统的目标离散标量函数和约束条件分别为目标离散标量函数约束条件引入向量λ∈Rm×1，得到拉格朗日函数H(X(k),u(k),λ(k))为拉格朗日函数H(X(k),u(k),λ(k))的一次增量∆H为现代控制工程(II)函数H(X(k),u(k),λ)取极值的必要条件是∆H=0。由于△X、△u、△λ是任意的，因此使△H=0就需对于H(X(k),u(k),λ)取极大或极小的判断，可由∆2H是正定或负定来确定。现代控制工程(II)例：计算函数的极值，约束条件是，其中的Q1、Q2是正定对称矩阵，F为任意对称矩阵。解：构造拉格朗日函数由拉格朗日函数取极值的必要条件，有现代控制工程(II)例：计算从坐标原点到以下平面的最短距离解：坐标原点至空间任意点(x,y,z)的距离的平方为要使g(x,y,z)函数值最小，且点(x,y,z)位于f(x,y,z)=0平面上。这是一个条件极值问题。取拉格朗日函数H(x,y,z)函数取极值的必要条件为极值点坐标：最短距离：现代控制工程(II)

6.4变分法求解的基本问题（1）基本概念泛函数——若对于某类函数集合{x(t)}中的每一个函数x(t)，变量J都有一个值与之对应，则称这变量J是函数x(t)的泛函数。显然，泛函数的自变量是函数，不是变量。泛函数的极值——对于在函数xe(t)的领域内的任意函数x(t)，若总满足J(x(t))-J(xe(t))≤0（或≥0），则称泛函数J在函数xe(t)上取极大值（或极小值）。现代控制工程(II)

变分：

函数x(t)的变分：定义为同类函数集合中二个函数之差，即

δx(t)=x1(t)-x2(t)

泛函数J[x(t)]的变分：定义为泛函J(x)增量的线性主部，即（δJ是泛函J的变分；R(x,δx)是关于δx的高阶无穷小）因为有因此，泛函的变分也定义为现代控制工程(II)例题：求如下泛函数的变分

这是计算泛函数J的一个普遍公式。应当指出：函数变分的导数与其导数的变分相等。因为现代控制工程(II)定理：若泛函数J(x(t))可微，且在xe(t)上达到极值，则泛函数J(x(t))在函数xe(t)上的变分为零，即δJ(xe(t))=0。这个定理说明：泛函数取极值的必要条件是其变分为零，它给出了最优控制问题求解的一个基本方法。多元泛函数——若对于n个不同函数(x1(t),…,xn(t))，变量J都有一个值与之对应，则称这变量J是函数(x1(t),…,xn(t))的多元泛函数。

多元泛函数的变分——多元泛函数J(x1(t),…,xn(t))增量的线性主部，也即引理：多元泛函数J(x1(t),…,xn(t))在函数点(x1e(t),…,xne(t))上取极值的必要条件是其变分为零，即δJ(x1e(t),…,xne(t))=0。现代控制工程(II)（2）泛函数取极值的必要条件——欧拉方程和横截条件设X=[x1,…,xn]T为n维变量，其初始值X(t0)和终端值X(tf)已知。对应的多元泛函数为那么，按照多元泛函数的变分计算方法，有现代控制工程(II)由于则有现代控制工程(II)因此，根据多元泛函数取极值的必要条件，多元泛函数取极值的条件是欧拉方程横截条件应当指出：欧拉方程是二阶微分方程，积分时需确定二个积分常数，这与系统的边界条件——即初始点和终端点的状态密切相关。

现代控制工程(II)①对于固定端点，即初始点和终端点的数值及其初始时刻(t0和终端时刻tf)都为固定值。此时可以用初始点和终端点的固定值作为边界条件来确定积分欧拉方程时的二个积分常数。②对于自由端点，初始时刻t0和终端时刻tf虽然固定，但初始点和(或)终端点的数值是任意的，即有δX(t0)≠0和(或)δX(tf)≠0。那么积分常数的确定就欠缺一个(或二个)边界条件，此时需借助横截条件来补充边界条件：自由始端，δX(t0)≠0自由终端，δX(tf)≠0现代控制工程(II)③对于可变端点，初始点和(或)终端点的数值是初始时刻t0和(或)终端时刻tf的函数。此时的横截条件为：固定始点X(t0)，可变终点X(tf)=h(tf)可变始点X(t0)=h(t0)，固定终点X(tf)现代控制工程(II)（3）综合型目标泛函数的极值——欧拉方程和横截条件综合型目标泛函数不仅包含从初始时刻到终端时刻的性能积分项，还包含终端的性能评价项，即此时，对于初始点X(t0)=X0固定，终端点X(tf)自由的边界条件，性能泛函数J取极值的必要条件是：欧拉方程横截条件现代控制工程(II)例题：性能目标泛函数为边界条件为x(0)=0，x(1)任意。试计算性能目标函数J取极值的x。解：这是固定初始点和自由终端点下的泛函数极值求解问题。此时由欧拉方程得由横截条件得现代控制工程(II)6.5最优控制问题求解

设系统的状态方程为(X(t)∈Rn,u(t)∈Rr)系统的性能目标函数为系统的最优控制问题就是在[t0,tf]时间内寻求使性能目标函数J取极值的控制律u(t)。显然，最优控制问题是有约束条件下求解泛函数极值的问题。此时的约束条件就是取拉格朗日乘子向量λ∈Rn，构成增广泛函数现代控制工程(II)

这样，增广泛函数JA的极值问题就是无约束条件下的极值求解问题。对此，令标量函数为则有按欧拉方程和横截条件，增广泛函数Ja取极值的条件是：（1）固定初始状态x0和固定终端xf状态的情况

或哈密尔顿函数伴随方程(协态方程)状态方程正则方程正则方程现代控制工程(II)（2）固定初始状态x0和可变终端状态xf、tf未知的情况——波尔札问题此时初始值X(t0)=X0，终端值满足(N∈Rq,q≤n)系统的性能目标函数应为这时存在二个约束：状态方程约束和终端边界约束。为此引入二个拉格朗日乘子向量λ∈Rn、μ∈Rq，构成增广泛函数JA令哈密尔顿函数为