第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、解三角形 [知识能否忆起]1．任意角

(1)角的分类：①按旋转方向不同分为

、

、

．②按终边位置不同分为

和

．

(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成

．正角负角零角象限角轴线角α＋k·360°(k∈Z)超链接[动漫演示更形象，见配套课件](3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于

的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．半径长正数负数零

无关角的大小2ππl＝|α|r2．任意角的三角函数yx自变量函数值(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为

，即

，其中cos

α＝

，sinα＝

，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝

.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的

、

、

.(cos

α，sinα)P(cos

α，sinα)OMMPAT余弦线正弦线正切线三角函数线有向线段

为正弦线有向线段

为余弦线有向线段

为正切线MPOMAT [小题能否全取]1．－870°的终边在第几象限 (

)A．一B．二C．三

D．四解析：因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角．答案：C答案：

B3．(教材习题改编)若sinα<0且tanα>0，则α是(

)A．第一象限角

B．第二象限角C．第三象限角

D．第四象限角解析：由sinα<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：C5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案：4

6π

1.对任意角的理解

(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．

(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解[例1]已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．A．1个 B．2个C．3个

D．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限．答案：(1)C

(2)一[例2]

(1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tanα的最小值为 (

)[答案]

(1)B

(2)D定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．答案：（1）B（2）C[例3]

(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？[答案]－81.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定义，从而得出错误结果.2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.答案：C1．已知点P(sin

α－cos

α，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是 (

)教师备选题（给有能