梁的弯曲应力

材料力学III哈尔滨工业大学本科生课关威航天科学与力学系2010年12月2日2yzdAzyo1、静矩,及其与形心的关系若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。2、惯性矩,极惯性矩，惯性积§3.6梁横截面的正应力§3.7梁横截面的切应力§3.8梁的强度计算弯曲梁横截面上的应力

哈尔滨工业大学本科生课§3.9提高梁抗弯强度的主要途径4１.纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。2.横力弯曲梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。MxFsxFaFF一、纯弯曲和横力弯曲的概念aaFBAF5二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何条件：

由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。1、观察变形：6abcdabcdMM2、变形规律：⑴、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。⑵、纵向线：由直线变为曲线，靠近上部的线段缩短，靠近下部的线段伸长。任意两条纵向线的间距不变7abcdMM3、假设：（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。推理：（1）.横截面上没有切应力（2）.横截面上有正应力83、假设：（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。推理：（1）.横截面上没有切应力（2）.横截面上有正应力切应力τ正应力σ9凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长

推理：（3）根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层--------称为中性层

。中间层与横截面的交线－－中性轴纵向对称轴Zy10ＢAabcdＢ１A１4、线应变的变化规律：dxyoo1在弹性范围内，（二）物理条件：由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。abcd11应力的分布图：MZyσmaxσmax中性轴的位置？12yxMZ（中性轴为形心轴）（y轴为对称轴，自然满足）zydAσ——弯曲变形计算的基本公式（三）、静力学条件：由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。13弯曲正应力计算公式。

弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M>0时，上压下拉；当M<0时，上拉下压。yxMZyzAσ将上式代入式得：——弯曲变形计算的基本公式14工程中常见的平面弯曲是横力弯曲三、正应力公式的推广

实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲BA15Wz

——抗弯截面模量最大正应力的确定⑴截面关于中性轴对称矩形截面圆截面bhydy16⑵截面关于中性轴不对称最大拉应力和最大压应力不相等，分别计算17FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的中性层曲率半径ρFSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：xM2.C

截面上K点正应力

例题1830zy180120KFSx90kN90kN3.C截面最大正应力C

截面弯矩xM

例题FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m1930zy180120KFSx90kN90kN4.全梁最大正应力最大弯矩xM

例题FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m2030zy180120KFSx90kN90kN5.C截面曲率半径ρC截面弯矩xM

例题已知E=200GPa，求C截面的中性层曲率半径ρFAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m一、矩形截面梁横截面上的切应力1、假设：⑴横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。⑵切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、切应力表达式zybhyτFs注意：Fs为横截面的剪力；Iz

为整个横截面对z轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽度；为所求点对应位置以外的面积对Z轴的静矩。3、矩形截面剪应力的分布：t(1)t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。弯曲正应力与弯曲切应力比较当l>>h时，smax

>>tmax二、非矩形截面梁——“剪力流”规律切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；与

y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿y方向的分量ty

沿宽度相等。zyOtmaxkk'O'd1.圆截面梁最大切应力tmax

在中性轴处zyOtmaxkk'O'dyzOC2d/3p2、工字形薄壁梁假设:t//腹板侧边，并沿其厚度均匀分布

腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。——下侧部分截面对中性轴z的静矩3、薄壁环形截面梁

薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1)d<<r0→沿壁厚切应力的大小不变；(2)内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切；(3)y轴是对称轴→切应力分布与y轴对称；与

y轴相交的各点处切应力为零。最大切应力tmax

仍发生在中性轴z上。zyOtmaxttr0tmaxzyOtr0yz2r0/pOC薄壁环形截面梁最大切应力的计算例

FS=15kN，Iz

=8.8410-6m4，b=120mm，d=20mm，yC

=45mm。试求

：tmax

；腹板与翼缘交接处切应力

ta解：一、梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax为充分发挥材料的强度，最合理的设计为弯曲正应力强度条件

1、强度校核——2、设计截面尺寸——3、确定外荷载——[]ss£max；[]

maxsMWz³[];

maxszWM£解：1)求约束反力例、T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MPa，

[c]=60MPa.其截面形心位于E点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k

N

m2）画弯矩图3）求应力B截面—（上拉下压）MC截面—（下拉上压）EC截面—（下拉上压）:1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kN4)强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k

N

mMB截面—（上拉下压）:最大拉、压应力不在同一截面上EA1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论——对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：x

2.5kNm-4k

N

mM二、梁的切应力强度条件tmax发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2弯曲切应力的强度条件1、校核强度2、设计截面尺寸3、确定外载荷。需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，如工字梁，由于腹板的宽度较窄，腹板切应力可能较大(1)梁的跨度较小或载荷作用点靠近支座时（M

较小，而

Fs较大）(3)各向异性材料（如木材），其顺纹方向的抗剪能力较差，三.提高梁承载能力的措施1、合理安排梁的受力，减小弯矩。ABqq0.2L0.2LMmax

=ql2

/8Mmax

=ql2

/40合理安排梁的受力，减小弯矩。FABL/2L/2Mmax=FL/4F/2Mmax

=FL/8L/4L/4F/2F合理截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面模量大的截面。2、合理安排梁的截面，提高抗弯截面