第四章弯曲内力

材料力学第四章弯曲内力材料力学§4.1弯曲的概念和实例弯曲内力/弯曲的概念和实例材料力学q弯曲：杆件受到垂直于杆轴线的外力即横向力或受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线由直线弯成曲线。轴线以弯曲为主要变形的杆件称之为梁。弯曲内力/弯曲的概念和实例一.弯曲的概念材料力学工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：弯曲内力/弯曲的概念和实例矩形梁圆截面梁工形梁T形梁材料力学轴线纵向对称面FqM梁弯曲后的轴线梁所受外力和弯曲后的轴线都在纵向对称面上。通过梁轴线和截面对称轴的平面。弯曲内力/弯曲的概念和实例纵向对称面：平面对称弯曲：概念图解横截面对称轴材料力学二.弯曲实例杠铃横杠材料力学起重机横梁材料力学§4.2受弯杆件的简化弯曲内力/受弯杆件的简化材料力学

梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应对受弯杆件进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化2.载荷的简化3.支座的简化一.受弯杆件的简化材料力学1.构件本身的简化通常取梁的轴线代替梁。材料力学2.载荷的简化通常将载荷简化为集中载荷和均布载荷。F1F2桥面板作用在钢梁的力材料力学均布载荷（设载荷为F，长度为L）：q=F/Lq为单位长度内的载荷，称为载荷集度。材料力学3.支座的简化（1）固定铰支座两个约束，一个自由度（2）可动铰支座一个约束，两个自由度材料力学（3）固定端XAYAMAA三个约束，无自由度材料力学弯曲内力/受弯杆件的简化二.静定梁的基本形式静定梁：

支座反力可由静力平衡方程完全求出。静定梁分类：简支梁外伸梁悬臂梁材料力学（a）简支梁（c）悬臂梁（b）外伸梁弯曲内力/受弯杆件的简化材料力学弯曲内力/剪力和弯矩§4.3剪力和弯矩材料力学一.弯曲内力的含义

设有一简支梁AB，受集中力F作用。现分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。xALBFabmm材料力学x1.根据平衡条件求支座反力2.求m-m截面上的内力AxmmM剪力

——使截面不产生移动弯矩M——使截面不产生转动oALBFabmm材料力学AxmmMo注：弯曲时横截面上的内力既包括剪力又包括弯矩。材料力学弯曲内力/剪力和弯矩

为使同一位置处两侧截面上内力分量必须具有相同的正负号，根据梁的变形来规定内力的符号。思考：

如截取m-m截面右段梁，则内力方向有何改变？材料力学剪力FS

符号规定：规定产生顺时针转动效果的剪力为正，反之为负。概括为“左上右下，剪力为正”。弯曲内力/剪力和弯矩材料力学使梁弯曲呈下凸的弯矩为正，反之则为负。概括为“左顺时针右逆时针，弯矩为正”。压拉弯曲内力/剪力和弯矩弯矩M符号规定：材料力学二.弯曲内力的计算练习qAB4aaaC练习一：简支梁受力如图，试求C截面（跨中截面）上的内力。材料力学1.根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC材料力学2.求C截面（跨中截面）上的内力qAaC弯曲内力/剪力和弯矩材料力学qBaC如以右侧梁作为研究对象，则：弯曲内力/剪力和弯矩材料力学弯曲内力/剪力和弯矩总结：截面法求内力的注意事项1.切一刀：2.取一段：3.加内力：4.列平衡：按指定截面和指定要求切；取简单的一段；内力必须为正方向；平衡方程中的正负号。材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF练习二：一外伸梁受力如图所示，试求（1）C截面上的内力；（2）B左和B右截面上的内力；（3）分析B左和B右截面上内力的相互关系。材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1.根据平衡条件求支座反力弯曲内力/剪力和弯矩材料力学2、求指定横截面上的剪力和弯矩AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩FSC(↓)+q×1(↓)－FAY(↑)

=0FSC=1KNM(逆)+q×1×0.5(逆)+Mo(逆)-FAY×2

(顺)

=0M=－3KNm（2）求C截面上的内力材料力学（3）求B左截面上的内力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩FSB左=－3KNM=－5KNm材料力学（4）求B右截面上的内力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩FSB右=4KNM=－5KNm材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩（5）B左右截面内力的关系材料力学弯曲内力/剪力和弯矩结论

在集中力作用处的截面两侧，剪力有突变，而弯矩没有变化。材料力学ABqFCa2a练习三：一外伸梁受力如图，分析D左截面和D右截面上内力的相互关系。a/2M0D材料力学

在集中力偶作用处的截面两侧，弯矩有突变，而剪力没有变化。结论材料力学弯曲内力/剪力和弯矩完成课本118页例4.1材料力学§4.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图一.剪力方程和弯矩方程

在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。（如图）AB1m1m1m3mq=2KN/mP=2KNEDF材料力学

因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即

称为剪力方程和弯矩方程。FS=FS(x)M=M(x)弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图思考：

一般情况下梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化，在解题的时候，如何对梁进行分段？利用控制截面分段控制截面指外力规律发生变化的截面，例如集中力、集中力偶的作用点、分布载荷的起点和终点对应的横截面。以控制截面为分界线，将梁进行分段，各段单独列剪力方程和弯矩方程。材料力学AB1m1m1m3mq=2KN/mP=2KNEDF练习：利用控制截面法将梁进行分段弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图5个控制截面，将梁分为４段．材料力学xx二.剪力图和弯矩图弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图用图示的方法表示剪力和弯矩沿轴线的变化情况。剪力图：弯矩图：材料力学绘制剪力图和弯矩图的注意事项：1.横坐标要与杆件长度相对应；2.纵坐标要标明数值大小及正负;3.纵坐标大小要成比例；4.是一条连续的图线，不能间断；5.在图上要画出阴影线.材料力学练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的FSmax和Mmax

及其所在截面位置。Pm=PaACBaa材料力学Pm=PaACBaa1.列出梁的剪力方程和弯矩方程弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图

不同截面上的内力是不同的，因此，先利用控制截面法将梁进行分段．材料力学求AB段的剪力和弯矩：Pm=PaACBaax(1)切一刀(2)取一段(3)加内力(4)列平衡m=Pa材料力学求BC段的剪力和弯矩：Pm=PaACBaa(1)切一刀(2)取一段(3)加内力(4)列平衡xxm=PaP材料力学2.作梁的剪力图和弯矩图-PPa弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图Pm=PaACBaaAB段：BC段：材料力学3.求FSmax和Mmax

（在AB段的各横截面上）（在BC段的各横截面上）Pm=PaACBaa-PPa材料力学

注意：1.在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x的区间）即可。2.剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，FS(x)应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3.若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学练习二：外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a材料力学ABqF=qaCa2a1.根据平衡条件求支座反力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学2.分段列剪力方程和弯矩方程CA段:弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图ABqF=qaCa2ax材料力学AB段:x弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图ABqF=qaCa2a材料力学ABqF=qaCa2a3.作剪力图-qaCA段:AB段:材料力学ABqF=qaCa2a4.作弯矩图-qaCA段:AB段:AB段的弯矩为二次函数，必须求极值，方法如下：材料力学

弯矩为二次函数时,在剪力为零的位置,弯矩出现极值。结论

弯矩的凹凸性由均布载荷的方向决定。材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图相似题目课本119页例4.2、例4.3、例4.4材料力学AB横梁、立柱与刚节点。立柱刚节点横梁特点：1.平面刚架简介弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图组成：受力以后，刚节点处夹角保持不变。刚节点能承受力与力矩。三.平面刚架内力图（专题讲座）材料力学2.根据刚架的外力特征，判断其变形形式刚架在F1的作用下：刚架在F1和F2共同作用下：AC杆产生弯曲变形；BC杆产生弯曲和拉压的组合变形。同上。材料力学3.根据刚架的变形形式，判断其内力组成刚架的变形：拉压和弯曲刚架的内力：轴力、剪力和弯矩回顾：轴力、剪力和弯矩的符号规定思考：轴力、剪力和弯矩的正负号与观察者的位置是否有关？材料力学*

内力分量的正负号与观察者位置的关系：轴力：材料力学剪力：材料力学弯矩：材料力学结论

轴力和剪力的符号与观察者的位置无关，而弯矩的符号与观察者的位置有关。材料力学4.刚架内力图的规定轴力FN图和剪力FS图由于轴力和剪力的符号与观察者的位置无关，因此轴力和剪力的符号规定仍然适用于立柱；刚架立柱横截面上的轴力和剪力画在立柱的里侧和外侧均可，但必须标出正负号。材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图弯矩图压拉由于弯矩的符号与观察者的位置有关，所以立柱的弯矩不再规定为下凸为正，而是要求弯矩的数值标注在受压一侧（即凹入的一侧）。材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图练习：求做刚架的剪力图和弯矩图材料力学1.分段列剪力方程和弯矩方程

首先将横梁和立柱分为两大段，再根据具体的受力情况分别将横梁和立柱分段。材料力学AC段（横梁）：注：如题目没要求列方程，则可以不标注x的范围。材料力学BC段（立柱）：加内力时注意：3.立柱截面上除了剪力和弯矩外还有轴力；2.立柱的弯矩不再规定为下凸为正。1.立柱的剪力符号规定仍然为左上右下为正；材料力学BC段（立柱）：材料力学2.根据剪力方程做剪力图AC段（横梁）：BC段（立柱）：+—材料力学3.根据弯矩方程做弯矩图AC段（横梁）：BC段（立柱）：材料力学§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系材料力学弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系了解载荷集度、剪力、弯矩之间相互关系的目的：1.剪力图和弯矩图的检验;2.在不列方程的情况下，根据关系直接绘制剪力图和弯矩图.材料力学ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)在梁的某一段内若无均布载荷作用，即q(x)=0，则剪力图是平行于x轴的直线，弯矩为斜直线。载荷集度、剪力图和弯矩图的关系材料力学ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)2.在梁的某一段内若作用均布载荷，即q(x)=常数，则剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。材料力学ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)3.在梁的某一截面上，若剪力为0，则在这一截面上，弯矩有一极值。集中力作用处剪力有突变，弯矩图有尖角；集中力偶作用处，剪力无变化，弯矩图有突变。材料力学ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)4.两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。材料力学无均布荷载集中力FC集中力偶MC水平直线一般斜直线或在C处有尖角一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化根据载荷集度、剪力和弯矩的变化规律填空：向下倾斜的直线上凸的二次抛物线q<0向下的均布荷载材料力学弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系练习一：外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、弯矩图。AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m要求：不列剪力方程和弯矩方程，利用载荷集度、剪力和弯矩的关系绘图。材料力学1.根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m载荷CADBAD斜直线斜直线水平线水平线斜直线抛物线q=常数弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系2.分段并根据关系判断各段的形状材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m-3KN4.2KN-3.8KN弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系3.作剪力图材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m(-)-3KN4.2KN-3.8KN(+)(-)-3KN.mEx-2.2KN.m3.8KN.m弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系4.作弯矩图材料力学AB2m2m4mF=2KNCDq=2KN/m练习二：外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、弯矩图。2.利用载荷集度、剪力和弯矩的关系绘图。1.利用剪力方程和弯矩方程绘图；要求：材料